Convergence des solutions faibles du système de Vlasov-Maxwell stationnaire vers des solutions faibles du système de Vlasov-Poisson stationnaire quand la vitesse de la lumière tend vers l infini Convergence of weak solutions for the stationary Vlasov-Maxwell system to weak solutions for the stationary Vlasov-Poisson system for infinite light speed Mihai BOSTAN a a Laboratoire de Mathématiques de Besançon, UMR CNRS 663, Université de Franche-Comté, 16 route de Gray F-5030 Besançon Cedex, tél : 03.81.66.63.38, fax : 03.81.66.66.3 Abstract We study here the behavior of weak solutions for the relativistic stationary Vlasov-Maxwell system with boundary conditions in a three dimensional bounded domain with strictly star-shaped boundary, when the light speed becomes infinite. We prove the convergence toward a weak solution for the stationary Vlasov-Poisson system. The time periodic problem and the problem with initial-boundary conditions can be treated by the same method. Résumé Nous étudions le comportement des solutions faibles pour le système relativiste de Vlasov-Maxwell stationnaire avec des conditions aux limites dans un domaine borné tridimensionnel dont la frontière est strictement étoilée, lorsque la vitesse de la lumière tend vers l infini. Nous montrons la convergence vers une solution faible du système classique de Vlasov-Poisson stationnaire. Le problème périodique en temps et le problème avec condition initiale et conditions aux limites peuvent être traités par la même méthode. Email address: mbostan@descartes.univ-fcomte.fr (Mihai BOSTAN). Preprint submitted to Elsevier Science 6th January 005
Abridged English version We consider an open bounded set R 3 with boundary regular and strictly star-shaped. We introduce the notations = and ± = {(x, p) ± (v(p) n(x)) > 0}, where n(x) denotes the unit outward normal to at x and v(p) is the velocity function associated to some energy function e(p) by v(p) = p e(p), p. For the classical and relativistic cases these functions are given by e(p) = p m, v(p) = p m and respectively e c(p) = mc ( ( 1 + p m c ) 1/ 1 ), v c (p) = p m (1 + p m c ) 1/, where m is the mass of particles, c is the light speed in the vacuum. We analyze here the behavior of weak solutions for the relativistic stationary Vlasov-Maxwell system when the light speed becomes infinite : v c (p) x f c + q(e c (x) + v c (p) B c (x)) p f = 0, (x, p), (1) c rot B c = j c ε 0, rot E c = 0, div E c = ρ c ε 0, div B c = 0, x, () f c (x, p) = g(x, p), (x, p), n E c (x) + c n (n B c (x)) = h(x), x, (3) where g, h are given functions such that g 0, g L ( ), (n h) = 0 and M + K := (v(p) n(x)) (1 + e(p))g(x, p) dσdp < +, H := h(x) dσ < +, ρ c (x) = q f R 3 c (x, p) dp, x is p the charge density and j c (x) = q v R 3 c (p)f c (x, p) dp, x is the current density. The existence of the p solutions (f c, E c, B c ) c>0 was proved in [3] (see also [5], [4]). One of the key point was to estimate the total energy with respect to the boundary data. To simplify, we suppose that (f c, E c, B c ) is a regular, stationary solution, compactly supported in momentum. As usual, the conservation law of the mass and the energy gives : (v c (p) n(x))γ + f c (x, p) dσdp = + (v c (p) n(x))g(x, p) dσdp, (4) and : (v c (p) n(x))e c (p)γ + f c (x, p) dσdp+ ε { n E c + c n B c } dσ = ε h(x) dσ + + (v c (p) n(x)) e c (p)g(x, p) dσdp, (5) where γ + f c represents the trace of f c on +. By using also the momentum conservation law we obtain an estimate for the total (kinetic and electro-magnetic) energy and the normal traces of the electro-magnetic field. Remark that the inequality (5) gives an uniform estimate with respect to c for the tangential traces of the electro-magnetic field (and in particular we have n B c L () 3 = O(1/c)), but not for the outgoing kinetic energy (unless h = 0). In order to analyze the behavior of (f c, E c, B c ) c>0 we need to establish uniform estimates in c. One of the main difficulties consists of removing the dependence on c of the outgoing kinetic energy. The convergence toward a weak solution for the stationary classical Vlasov-Poisson system follows by using the weak stability result of DiPerna and Lions (cf. [8]). 1. Introduction Le système des équations de Vlasov-Maxwell est un modèle classique dans la théorie cinétique des plasmas. En négligeant le champ magnétique on obtient l approximation électrostatique ; ce sont les équations de Vlasov-Poisson. De nombreux résultats on été obtenus pour le problème de Cauchy dans
l espace tout entier ([8], [1]) ainsi que pour le problème avec des conditions aux limites ([9], [], [10], [11]). Dans cette note on se propose de justifier l approximation électrostatique pour des solutions faibles des équations stationnaires de Vlasov-Maxwell quand la vitesse de la lumière tend vers l infini. Rappelons qu un résultat de ce type a été montré pour des solutions fortes des équations de Vlasov-Maxwell dans l espace tout entier (voir [7]). Notre résultat s en déduit des estimations a priori pour des solutions faibles des équations de Vlasov-Maxwell, obtenues dans des travaux précédents (cf. [3]).. Le système de Vlasov-Maxwell stationnaire Dans [3] nous avons montré l existence de solution faible pour le problème : v c (p) x f c + q(e c (x) + v c (p) B c (x)) p f = 0, (x, p), (6) c rot B c = j c, rot E c = 0, div E c = ρ c, div B c = 0, x, ε 0 ε 0 (7) f c (x, p) = g(x, p), (x, p), n E c (x) + c n (n B c (x)) = h(x), x, (8) où 0 g L ( ), (n h) = 0 et M + K := (v(p) n(x)) (1 + e(p))g(x, p) dσdp < +, H := h(x) dσ < +. La preuve repose essentiellement sur des estimations a priori pour l énergie totale en fonction des données g et h. Nous rappelons brièvement ici les calculs qui permettent d obtenir ces estimations pour des solutions régulières, à suport compact en impulsion. Tout d abord la conservation de la masse se traduit par : (v c (p) n(x))γ + f c (x, p) dσdp = + (v c (p) n(x))g(x, p) dσdp, (9) et : (v c (p) n(x))e c (p)γ + f c (x, p) dσdp+ ε { n E c + c n B c } dσ = ε h(x) dσ + + (v c (p) n(x)) e c (p)g(x, p) dσdp, (10) où γ + f c représente la trace de f c sur +. Signalons que l inégalité précédente nous donne une estimation uniforme par rapport à c > 0 des normes L () 3 des traces tangentielles du champ électromagnétique. Par contre, bien qu on ait aussi une estimation pour l énergie cinétique sortante K c + := (v + c (p) n(x))e c (p)γ + f c (x, p) dσdp, la borne obtenue dépend de c (sauf si h = 0). D autres estimations peuvent être obtenues par la conservation de la quantité de mouvement. On impose une hypothèse géométrique sur la frontière : on suppose que est strictement étoilée par rapport à un point x 0, i.e., r > 0 tel que n(x) (x x 0 ) r, x. Après translation on peut supposer que x 0 = 0 et puisque est borné, il existe 0 < r R tels que r (n(x) x) x R, x. En utilisant la formulation faible de (6) avec la fonction test ϕ(x, p) = p x on en déduit : (v c (p) n(x))(p x)γf c dσdp = (v c (p) p)f c dxdp + (ρ c E c + j c B c ) x dx. (11) En tenant compte des équations de Maxwell on vérifie que : ρ c E c + j c B c = ε 0 (E c div E c E c rot E c ) + ε 0 c (B c div B c B c rot B c ), et par conséquent, en utilisant l identité u i div u (u rot u) i = 3 j=1 x j (u i u j ) 1 x i u, 1 i 3, et en décomposant (E c, B c ) = ((n E c )n n (n E c ), (n B c )n n (n B c )) on déduit après intégration par parties : 3
(ρ c E c + j c B c ) x dx= ε 0 {(n E c )(n (n E c )) + c (n B c )(n (n B c ))} x dσ + ε 0 {(n E c ) + c (n B c ) }(n x) dσ ε 0 { n E c + c n B c }(n x) dσ + ε 0 { E c + c B c } dx. (1) Le premier terme de (11) peut s estimer en utilisant (4), (5) et l inégalité p C(m) (1+e c (p)), p, c 1 : (v c (p) n(x))(p x)γf c (x, p) dσdp R C(m) (v c (p) n(x)) (1 + e c (p))γf c (x, p) dσdp R C(m)(M + K + ε H). (13) En combinant (11), (1), (13) et en observant que e c (p) (v c (p) p), p, on obtient immédiatement une borne de l énergie totale ainsi que des traces du champ électromagnétique : e c (p)f c dxdp + ε 0 { E c + c B c } dx + (v c (p) n(x))(1 + e c (p))γ + f c dσdp + + ε 0 {(n E c ) + c (n B c ) } dσ + ε 0 { n E c + c n B c } dσ C(m, ε 0,, c) (M + K + H). (14) D autre part notons que la seule dépendence de C(m, ε 0,, c) par rapport à c vient de (13) et par conséquent l estimation (14) sera uniforme par rapport à c dès qu on aura montré une estimation uniforme par rapport à c de K + c. 3. Estimation uniforme par rapport à c de K + c Dans la suite nous allons utiliser le résultat : Proposition 1 On suppose que R 3 x est un ouvert borné, régulier et simplement connexe. Soit E L () 3 vérifiant rot E = 0 en distributions sur D() et de trace tangentielle n E L () 3. Alors il existe une fonction Φ H 1 () telle que E(x) = x Φ, x, γφ H 1 () et γφ H 1 () C() n E L () 3. En appliquant la formulation faible du problème de Vlasov avec la fonction test e c (p) + q Φ(x), nous en déduisons : (v c (p) n(x))e c (p)γ + f c (x, p) dσdp= (v c (p) n(x))e c (p)g(x, p) dσdp + q (v c (p) n(x))γφ(x)γf c (x, p) dσdp. (15) En utilisant des inégalités classiques d interpolation nous obtenons : 4
(v c (p) n(x)) γf c (, p) dp C(m) g 1/5 5 L 4 () L ( ) ( (v c (p) n(x)) (1 + e c (p))γf c dσdp ) 4/5 C(m) g 1/5 L ( ) (M c + K c + K + c ) 4/5. (16) En tenant compte du fait que γφ H 1 () et en utilisant des inégalités de Sobolev on peut estimer le dernier terme de (15) : (v c (p) n(x))γφ(x)γf c (x, p) dσdp = γφ(x) (v c (p) n(x))γf c (x, p) dp dσ (17) R 3 p γφ L 5 () (v c (p) n(x)) γf c (, p) dp L 5 4 () C(m, ) γφ H 1 () g 1/5 L ( ) (M c + K c + K + c ) 4 5. En combinant (15), (17) on trouve immédiatement une borne pour K c + qui ne dépend pas de c. Par conséquent l estimation (14) sera uniforme par rapport à c. En particulier nous avons : ( ) 1 B c L () 3 + n B c L () 3 + (n B c) L () = O. c 4. Convergence vers une solution faible du système de Vlasov-Poisson stationnaire En utilisant les équations de Maxwell stationnaires et l équation de continuité div j = 0 on montre tout d abord que les traces tangentielles du champ électromagnétique satisfont les équations suivantes au sens des distributions : c div τ (n B c ) = (n j c), (multiplier c rot B c = j c par x ϕ, ϕ C 1 ()), (18) ε 0 ε 0 et : div τ (n E c ) = 0, (multiplier rot E c = 0 par x ϕ, ϕ C 1 ()). (19) Ici div τ représente la divergence au sens des distributions dans D(). On peut montrer le résultat suivant : Theorem 4.1 On suppose que R 3 x est un ouvert borné, régulier, de frontière strictement étoilée. On considère g et h des fonctions vérifiant 0 g L ( ), M + K := (v(p) n(x))(1 + e(p))g(x, p) dσdp < +, (n h) = 0, H = h(x) dσ < + et (c r ) r une suite divergente vers +. On note par (f r, E r, B r ) les solutions du système de Vlasov-Maxwell stationnaire avec c = c r construites à la section. Alors il existe une sous-suite (c rk ) k telle que f rk f faiblement dans L ( ), E rk E faiblement dans L () 3, où (f, E) est une solution faible du système de Vlasov-Poisson classique stationnaire : v(p) x f + q E(x) p f = 0, (x, p), rot E = 0, div E = ρ ε 0, x, (0) f(x, p) = g(x, p), (x, p), n E(x) = n τ h, x, où h = τ h 1 +n τ h, h 1, h H 1 () est la décomposition orthogonale dans L () 3 de h en parties irrotationnelle et rotationnelle et τ est le gradient tangentiel au long de. De plus nous avons : 5
(1 + e(p))f(x, p) dxdp+ ε 0 + ε 0 E(x) dx + (v(p) n(x))(1 + e(p))γ + f(x, p) dσdp + { n E + (n E) } dσ C(m, ε 0,, M, K, H). (1) Identifions seulement la trace tangentielle du champ limite E = lim k + E rk faiblement dans L () 3. On note n E = lim k + (n E rk ) faiblement dans L () 3. Par l équation (19) nous avons div τ (n E) = 0 et comme div τ (n τ h ) = 0 on en déduit également que div τ (n E n τ h ) = 0 (or (n E n τ h ) τ ϕ 1 dσ = 0, ϕ 1 C 1 ()). L équation (18) et la deuxième condition aux limites de (8) impliquent : (n τ h n E k ) (n τ ϕ ) dσ= (c k n (n B k )) (n τ ϕ ) dσ = c k (n B k ) τ ϕ dσ = 1 ε 0 c k (n j k )ϕ dσ, k 1, ϕ C 1 (), et après passage à la limite pour k + on en déduit que (n τ h n E) (n τ ϕ ) dσ = 0, ϕ C 1 (). Finalement, comme tout champ tangent ϕ L () 3, (n ϕ) = 0 se décompose en ϕ = τ ϕ 1 + n τ ϕ, ϕ 1, ϕ H 1 (), on obtient que n E = n τ h. Les arguments précédents s adaptent facilement pour traiter des modèles à plusieurs espèces de particules chargées ou des conditions aux limites du type : γ f(x, p) = g(x, p) + a(x, p) γ + f(x, p (p n)n), (x, p), avec 0 a(x, p) a 0 < 1, (x, p). Signalons qu il est possible d obtenir un résultat du même type pour des solutions faibles T -périodiques en temps. Nous renvoyons à [6] pour les détails de démonstration. Références [1] A. Arseneev, Global existence of a weak solution of the Vlasov system of equations, U.R.S.S. Comp. and Math. Phys. 15(1975), pp. 131-143. [] N. Ben Abdallah, Weak solutions of the initial-boundary value problem for the Vlasov-Poisson system, Math. Meth. Appl. Sci. 17(1994), no.6, pp. 451-476. [3] M. Bostan, Solutions périodiques en temps des équations de Vlasov-Maxwell, C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. I 339(004), pp. 451-456. [4] M. Bostan, Boundary value problem for the N dimensional time periodic Vlasov-Poisson system, soumis. [5] M. Bostan, Boundary value problem for the three dimensional time periodic Vlasov-Maxwell system, soumis. [6] M. Bostan, Asymptotic behavior of time periodic weak solutions for the relativistic Vlasov-Maxwell system. Convergence toward time periodic weak solutions for the classical Vlasov-Poisson system, en préparation. [7] P. Degond, Local existence of solutions of the Vlasov-Maxwell equations and convergence to the Vlasov-Poisson equations for infinite light velocity, Math. Meth. in the Appl. Sci. 8(1986), pp.533-558. [8] R. J. Diperna and P. L. Lions, Global weak solutions of the Vlasov-Maxwell system, Comm. Pure Appl. Math. XVII (1989), pp. 79-757. [9] C. Greengard and P.-A. Raviart, A boundary value problem for the stationary Vlasov-Poisson equations : the plane diode, Comm. Pure and Appl. Math. vol. XLIII (1990), pp. 473-507. [10] Y. Guo, Global weak solutions of the Vlasov-Maxwell system with boundary conditions, Commun. Math. Phys. 154(1993), pp. 45-63. [11] F. Poupaud, Boundary value problems for the stationary Vlasov-Maxwell system, Forum Math. 4(199), pp. 499-57. 6