Mécanique I 1TPC TD 17 Approche énergétique du mouvement d un point matériel Exercice 1 Energie cinétique et théorème de l énergie cinétique (cours) 1. Donner la définition de l énergie cinétique d un point matériel M de masse m se déplaçant à la vitesse v.. Enoncer la loi de l énergie cinétique et la retrouver à partir de la loi fondamentale de la dynamique (on pourra pour démarrer multiplier chaque terme du PFD par le vecteur vitesse). Exercice distance de freinage (Utilisation du théorème de l énergie cinétique) On réalise un essai de freinage sur une piste horizontale rectiligne d'une voiture de masse m = 900kg. Lors d'un parcours AB = 63 m, on enregistre en A une vitesse va = 110 km.h -1 et en B une vitesse vb = 85 km.h -1. L'ensemble des forces résistantes est équivalent à une force de freinage unique f de valeur f constante et de norme opposée à la vitesse. a. Énoncer le théorème de l'énergie cinétique. b. En déduire la valeur f de la force de freinage et la distance AC nécessaire pour obtenir l'arrêt de la voiture.. On réalise maintenant l essai de freinage avec la même voiture lancée à la même vitesse sur une piste rectiligne inclinée de θ = 1 par rapport au plan horizontal (ligne de plus grande pente). Quelle distance parcourt la voiture avant de s arrêter en considérant que la valeur constante f de la force de freinage est la même que précédemment? Exercice 3 Solide tracté par un fil (théorème de l énergie cinétique) Un mobile autoporteur (S), de masse m1 = 600 g, est tracté sur une table horizontale, par un fil inextensible passant sur une poulie de très faible masse auquel est accroché un objet (s) de masse m = 84 g. La table n'exerce aucune force de frottement sur (S) Le système est abandonné sans vitesse initiale. Le centre d'inertie de (S) est alors au dessus du point O. On enregistre les positions du centre d'inertie de (S) toutes les 60 ms grâce à un générateur d'étincelles. L'enregistrement commence dès le début du mouvement. Les résultats obtenus sont résumés dans le tableau ci-dessous. On se propose de remplir les cases blanches du tableau. 1
1. Calculer la valeur de la vitesse de (S) aux instants 0,4 s et 0,36 s en expliquant la méthode employée.. En déduire la valeur de l'énergie cinétique Ek(m1) du solide à ces deux instants. 3. Utiliser l'énergie cinétique du solide (S) à ces deux instants pour déterminer la valeur T, supposée constante de la tension du fil qui le tracte. 4. Calculer l'énergie cinétique du solide (s) aux mêmes instants que ceux choisis dans la question précédente. 5. En utilisant l'énergie cinétique de (s), calculer la valeur T', également supposée constante, de la tension du fil attaché à (s). 6. Comparer les valeurs trouvées pour T et T' et conclure. Exercice 4 Étude de mouvement de glissement Une bille M de masse m glisse sans frottement dans une portion de gouttière circulaire (quart de cercle de centre C et de rayon a). a C a M1 M0 a. Faire un bilan des forces appliquées à M. b. Quelle(s) est (sont) la (les) force(s) qui travaille(nt). On justifiera son (leur) caractère résistant ou moteur dans le cas où M va de M0 vers M1 et dans le cas où M va de M1 vers M0 c. Déterminer en utilisant le théorème de l'énergie cinétique la vitesse minimale v0 qu'il faut communiquer à M en M0 afin qu'elle puisse atteindre le point M1. Exercice 5 Énergie potentielle (cours) Les forces suivantes sont-elles des forces conservatives? Justifier. Si oui, de quelle énergie potentielle dérive la force? (Schéma et démonstration attendus). 1. La force de rappel élastique.. Le poids. 3. La force de frottement. Exercice 6 Le «grand huit» (Utilisation de la conservation de l énergie mécanique) Un mobile supposé ponctuel glisse sans frottements sur le rail dessiné ci-contre : A quelle hauteur h faut-il lâcher la boule pour qu elle parvienne à «boucler la boucle» de rayon R? Exercice 7 Pendule simple (Energie et pendule simple ; détermination de l équation du mouvement à l aide de l énergie) Une bille de masse m = 50,0 g, est attachée à un fil de longueur l = 60,0 cm. La position d'équilibre de la bille est prise comme origine des altitudes. On écarte le fil de la verticale d'un angle α = 40,0 et on abandonne la bille sans vitesse initiale. On néglige les frottements. 1. Vitesses de la bille a. Faire un schéma.
b. Avec quelle vitesse v1 la bille passe-t-elle par sa position d'équilibre? c. Quel angle fait le fil avec la verticale lorsque la vitesse de la bille est le tiers de sa valeur maximale v1?. Equation du mouvement a. Exprimer l'énergie potentielle de la bille en fonction de l'angle θ du fil avec la verticale. b. Montrer qu'au cours du mouvement de la bille la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle est constante. c. En déduire l équation du mouvement de la bille qui relie θetθ &. d. En déduire l équation entre θ etθ &. Que devient cette équation quand θ reste faible? Quelle est l expression de la solution θ(t)? Exercice 8 Masse au bout d un ressort vertical (Energie potentielle de rappel élastique) Soit un solide matériel M (de masse m) qui se déplace verticalement. O M est relié à un ressort de constante de raideur k et de longueur au repos l0. On notera z la position de M sur cet axe. On considérera le référentiel lié au sol comme galiléen et on considérera qu'il n'y a aucun amortissement. Données: accélération de la pesanteur: g = 9,8m.s - ; k = 0N.m -1 ; l0 = 10cm; m = 100g. z M 1/ Déterminer la longueur du ressort à l'équilibre. Application numérique. A t = 0, le ressort a une longueur l0 et on lâche M sans vitesse initiale. / Déterminer l'équation différentielle qui régit les mouvements de M. 3/ Déterminer alors z(t) en précisant l'origine prise pour l'axe des z. 4/ Avec ces conditions initiales, M peut-il remonter jusqu'en O? Justifier qualitativement votre réponse (on ne demande aucun calcul). 5/ Justifier que l'énergie mécanique de M se conserve au cours de son mouvement. Donner l'expression de cette énergie mécanique en fonction de la position z de M, de la vitesse v de M, et des constantes (m, ) du problème. 6/ A t = 0, la longueur du ressort étant toujours l0, avec quelle vitesse minimale aurait-il fallu lancer M pour qu'il remonte jusqu'au point O? Application numérique. Exercice 9 Critère de stabilité On considère un élastique E de raideur k et de longueur au repos l0, ainsi qu'un point matériel de masse m. 1. M étant suspendu à E, déterminer l'allongement a de E, ainsi que la pulsation ω 0des oscillations verticales de M autour de sa position d'équilibre.. On réalise un quart de circonférence de centre O et de rayon a. E, accroché en A passe en B dans un petit anneau. AB = l0. M coulisse sans frottement sur le cercle. - Montrer que BM = asin(θ/). - Montrer que l'équation différentielle du mouvement de M s'écrit : & θ k + (sin θ cosθ ) = 0 - Calculer 1 θ, valeur de θ pour laquelle M est en équilibre. - Discuter la stabilité de l'équilibre. m 3
Exercice 9 Portrait de phase Un pendule simple est constitué d'un fil de longueur l et d'une petite sphère métallique de masse m. On néglige tout d'abord les phénomènes d'amortissement. Lorsque le pendule est en équilibre, on communique à la sphère une vitesse initiale v0. Données l = 30cm ; m = 0,10 kg ; v0 = 0,30 m.s -1. 1. a. Exprimer l'énergie potentielle de pesanteur du pendule en fonction de son élongation angulaire θ si l'origine de Ep est prise à la position d'équilibre. b. Que devient cette expression dans l'approximation des petits angles? c. Exprimer l'énergie mécanique du pendule en fonction de son abscisse angulaire θ et de sa vitesse angulaire & θ dans le cas général. Donner sa forme dans l'approximation des petits angles et en déduire dans ce cas l'équation du mouvement. De quel type d'oscillateur s'agit-il?. Calculer l'amplitude angulaire du mouvement. L'approximation des petits angles est-elle justifiée (on admet qu'elle est justifiée pour des angles inférieurs à 15 )? 3. a. Pour un mouvement effectué sous de petits angles avec la verticale, on pose: θ & θ X = E m mgl et Y = E m ml, X et Y sont appelées coordonnées réduites de position et de vitesse. En vous servant de l'expression de l'énergie mécanique établie au 1.c, tracer la courbe joignant les points de coordonnées X et Y (portrait de phase). Dans quel sens cette courbe est-elle parcourue au cours du temps? b. Le mouvement du pendule est maintenant amorti au cours de temps. Représenter sommairement son portrait de phase. Exercice 10 Energie mécanique Un point matériel, de masse m, est mobile sans frottement sur un axe horizontal et soumis à un champ de force conservatif qui dérive de l énergie potentielle Ep(x), dont le graphe, à l échelle, est donné ci-dessous : - Si l énergie mécanique E du point matériel a pour valeur E1 telle que E1=Um/, mesurer sur le graphe les valeurs approchées possibles de x en fonction de xm. - Si l énergie mécanique E du point matériel a pour valeur E telle que 0<E<UM, le système est-il en état lié ou de diffusion? 4
- Quelle vitesse doit avoir le point matériel, placé en x = xm, pour s échapper à l infini? Exprimer cette vitesse de libération en fonction de Um, UM et m. 5