Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle 2006-2007 Déterminants Définition Déterminant d une matrice On définit par récurrence le déterminant, noté det(a), de A M n (k) a Si n, A s identifie a k On pose det(a) a b Supposons n 2 et le déterminant défini pour toute matrice de M n (k) Soit A (a ij ) ij M n (k), alors det(a) a a 2 2 + +( ) n+ a n n où i est le déterminant de la matrice de M n (k) obtenue à partir de A en supprimant la première colonne et la i-ème ligne a a n On note aussi det(a) a n a nn Exemple 2 Soit A (a ij ) i,j n M n (k) a Supposons n 2 On obtient a 22, 22 a, 2 a 2, 2 a 2 Par conséquent, det(a) a a 22 a 2 a 2 b Supposons n 3 Alors A a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 et a 22 a 23 a 32 a 33, 2 a 2 a 3 a 32 a 33, 3 a 2 a 3 a 22 a 23 D où det(a) a a 2 2 + a 3 3 a a 22 a 33 a a 23 a 32 a 2 a 2 a 33 + a 2 a 3 a 32 + a 2 a 3 a 23 a 3 a 3 a 22 a a 22 a 33 + a 2 a 32 a 3 + a 3 a 2 a 23 a 3 a 22 a 3 a 23 a 32 a a 33 a 2 a 2 On obtient ainsi la règle de Sarrus Théorème 3 Propriétés du déterminant Soit A, B M n (k) Alors det(ab) det(a) det(b) et det( t A) det(a) Preuve Admise
2 Déterminants Remarque 4 D après la propriété sur la transposée, tout résultat obtenu sur les colonnes est valable pour les lignes et réciproquement Entre autre, on peut développer le déterminant par rapport à la première ligne Définition 5 Matrice triangulaire Soit A (a ij ) i,j n M n (k) On dit que A est une matrice triangulaire supérieure si a ij 0 pour i > j, une matrice triangulaire inférieure si a ij 0 pour i < j, une matrice triangulaire supérieure strictement si a ij 0 pour i j, une matrice triangulaire inférieure strictement si a ij 0 pour i j Proposition 6 Déterminant de certaines matrices a Le déterminant d une matrice triangulaire supérieure ou inférieure est égal au produit des termes de la diagonale b Soit i, j,, n (i j), λ k et µ k Alors det(i n ), det(t ij ), det ( D i (λ) ) λ, det ( U ij (µ) ) Preuve a Si la matrice est triangulaire supérieure, la démonstration se fait par récurrence et si la matrice est triangulaire inférieure, sa transposée est triangulaire supérieure et les deux matrices ont même éléments diagonaux b D après a, on calcule facilement le déterminant de I n, D i (λ) et U ij (µ) Pour T ij, en supposant i < j, on a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 det(t ij ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) j i 0 ( ) j i ( ) j i
Déterminants 3 Théorème 7 Déterminant et opérations élémentaires a Si on permute deux lignes (resp deux colonnes) d un déterminant, le déterminant change de signe b Si on multiplie une ligne ou une colonne par un scalaire λ k, le déterminant est multiplié par λ c Si on ajoute à une ligne (resp une colonne) une combinaison linéaire des autres lignes (resp colonnes), le déterminant est inchangé Preuve Ce sont des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d une matrice et donc le déterminant de la matrice est multiplié par le déterminant des matrices de transposition, d affinité ou de transvection correspondantes Corollaire 8 Nullité d un déterminant a Si tous les termes d une ligne (resp colonne) sont nuls, le déterminant est nul b Si deux lignes (resp deux colonnes) sont identiques, alors le déterminant est nul Preuve a Si on multiplie la ligne par, le déterminant est multiplié par Mais puisque la ligne (resp colonne) est nulle, on retrouve le même déterminant Ainsi le déterminant est nul b Si on permute ces deux lignes (resp colonnes), le déterminant est multiplié par d après la propriété précédente, mais on retrouve le même déterminant car les lignes (resp colonnes) sont identiques Donc le déterminant est égal à son opposé, il est nul On peut aussi retrancher l une des lignes (resp colonnes) à l autre Remarque 9 a Pour A M n (k) et λ k, det(λa) λ n det(a) b Le déterminant d une somme n est pas généralement égal à la somme des déterminants Par exemple A 4 2 B 2 5 3 A + B 3 9 5 0 det(a) 9 det(b) 3 det(a + B) 45 det(a) + det(b) Théorème 0 Matrice inversible et déterminant Une matrice A M n (k) est inversible si et seulement si det(a) 0et dans ce cas Preuve Si A est inversible, on a det(a ) det(a) det(a) det(a ) det(aa ) det(i n ) et donc det(a) est inversible et / det(a) det(a ) Réciproquement, si A n est pas inversible, rg A < n et donc les vecteurs-colonne de A forment une famille liée En ajoutant à une colonne une combinaison linéaire des autres colonnes, on peut faire apparaître une colonne nulle Et donc le déterminant de A est nul Définition Mineur, cofacteur Soit A (a ij ) i,j n M n (k) Pour i, j,, n, on appelle mineur de A, le déterminant ij de la matrice de M n (k) obtenue de A en supprimant la i-ème ligne et la j-ème colonne et on appelle cofacteur de a ij le scalaire ( ) i+j ij
4 Déterminants Théorème 2 Développement du déterminant Soit A (a ij ) i,j n M n (k) Avec les notations de, pour i, j,, n, on a det(a) ( ) i+k a ik ik k ( ) h+j a hj hj La première expression est appelée le développement de det(a) suivant la i-ème ligne de A et la deuxième le développement suivant la j-ème colonne Preuve Pour j, n h ( )h+j a hj hj a a 2 2 + +( ) n+ a n n est par définition le déterminant de A Pour j 2, en faisant j permutations de colonnes, on obtient une matrice B déduite de A par déplacement de la j-ème colonne en première position Les mineurs de B par rapport à la première colonne sont égaux à ceux de A par rapport à la j-ème colonne Donc det(a) ( ) j det(b) ( ) j n h h ( ) h+ a hj hj ( ) h+j a hj hj Le développement de det(a) suivant la i-ème ligne est égal au développement de det( t A) par rapport à la i-ème colonne On conclue puisque A et t A ont même déterminant Exercice 3 Calculer les déterminants des matrices suivantes : 4 3 8 2, 2 0 3 0 2 2 4 5 0 4, 4 3 5 2 2 5 2 5 7 5 6 2 h Solution On a 4 3 8 2 2 5 4 3 0 33 26 0 3 5 33 26 3 5 87 2 0 3 0 4 2 5 7 5 2 3 4 25 0 2 2 4 5 0 4 3 5 2 5 6 2 Pour le dernier déterminant, la quatrième colonne est la somme des trois premières, il est donc nul Remarque 4 Ainsi pour calculer un déterminant, par des opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes, on fait apparaître des 0 sur une ligne ou une colonne et on développe par rapport à cette ligne ou colonne Attention, à chaque étape intermédiaire, ne faire qu une opération et plutôt une transvection (qui ne modifie pas le déterminant) Définition 5 Comatrice Soit A (a ij )) i,j n M n (k) Avec les notations de, la matrice (( ) i+j ij ) i,j n de M n (k) des cofacteurs de A est appelée la comatrice de A et est notée Com(A)
Déterminants 5 Théorème 6 Comatrice et inverse Soit A GL n (k) Alors A t (Com A) det(a) Preuve Admise Exercice 7 Déterminer, si elles existent, les inverses des matrices (avec a, b, c, d k): a b A, B 3 2 2, C 3 2 2 c d 2 2 a b Solution a Soit A M c d 2 (k) On a det(a) ad bc Si ad bc ( 0, la matrice ) A n est pas inversible et si ad bc 0, on a alors : A d b ad bc c a b Pour B 3 2 2, on a det(b) 8 et 2 Com B c Pour C 4 5 3 2 7 3, 8 3 t Com B 4 2 8 5 7, B 4 2 8 5 7 8 3 3 3 3 3 3 3 2 2, det(c) 0, donc la matrice n est pas inversible 2 Proposition 8 Déterminant d un endomorphisme Soit E un espace vectoriel de dimension finie non nulle, u L(E) et e, e des bases de E Alors les matrice mat(u; e) et mat(u; e ) ont même déterminant Ce déterminant commun est appelé le déterminant de l endomorphisme u et est noté det(u) Preuve On pose P P e e la matrice de passage de la base e à la base e, A mat(u; e) et B mat(u; e ) Alors B P AP et det(b) det(p AP ) det(p ) det(a) det(p ) ( det(p ) ) det(a) det(p ) det(a) d où la conclusion Remarque 9 Deux matrices semblables ont même déterminant mais deux matrices équivalentes peuvent avoir des déterminants distincts et deux matrices ayant même déterminant ne sont pas nécessairement semblables