Rappels de théorie des probabilités

Rappels de théorie des probabilités 1. modèle probabiliste. 1.1. Univers, événements. Soit un ensemble non vide. Cet ensemble sera appelé l univers des possibles ou l ensemble des états du monde. Dans beaucoup de cas (notamment lorsqu il n est pas fini ou dénombrable), on ne l explicite pas. Exemple. On suppose que l on veut modéliser une expérience aléatoire qui a un ensemble fini ou dénombrable d issues possibles. L ensemble sera alors l ensemble de ces issues. Par exemple : (i) On jette deux dés discernables en même temps, l ensemble des résultats possibles peut-être modélisé par l ensemble = {1,..., 6} 2. (ii) On jette un nombre infini de fois une pièce de monnaie. On peut choisir = {0, 1} N. Certains sous-ensembles de, appelés des événements, jouent un rôle essentiel dans la modélisation probabiliste. Ce sont les parties de dont on veut connaître la probabilité. Les événements ne contenant qu un seul point de sont appelés des événements élémentaires. 1.2. Tribus. Il paraît naturel de demander que l ensemble des événements soit stable par les opérations ensemblistes élémentaires. Plus précisément, on a la définition suivante : Définition 1.1. On appelle tribu de parties de toute famille F de parties de satisfaisant (i) F; (ii) A F = A c F; (iii) Si (A n ) n 1 est une suite de F alors A n F. n 1 Le couple (, F) où F est une tribu de parties de est appelé un espace probabilisable. Exemple. Souvent, lorsque est fini ou dénombrable, on peut considérer tout sousensemble de comme un événement. On note P() cette tribu, c est la tribu la plus fine dont on peut munir. A l inverse, la tribu la plus grossière, appelée la tribu triviale, est F = {, }. Il arrive qu on souhaite que certaines parties données de soient des événements. Si l ensemble des parties de de ce type n est pas une tribu, on a besoin de considérer la plus petite tribu contenant ces parties : Définition 1.2. Soit A un ensemble non vide de parties de. On appelle tribu engendrée par A et on note σ(a) la plus petite tribu contenant A. On peut montrer que la tribu engendrée par une famille A P() est aussi l intersection de toutes les tribus contenant A. Remarquons également que si A est déjà une tribu de parties de, alors σ(a) = A. 1

2 Exemple. Cas d une partition de. Soit A = {A 1,..., A n } une partition de. Alors { } σ(a) = A i / I {1,..., n}. Un corollaire immédiat de ce résultat est que si est fini et si A est l ensemble des singletons de alors σ(a) = P(). Pour conclure cette présentation sur les tribus, donnons deux exemples qui illustrent le fait que la tribu à considérer dans une modélisation n est pas nécessairement P(). Exemple. Dans le cas non dénombrable, considérer tout sous-ensemble de comme un événement peut ne pas avoir de sens. Par exemple, considérons le lancer d une fléchette sur une cible de rayon 1 et notons = [0, 1] l ensemble des résultats possibles donnant la distance de la fléchette au centre de la cible. Il semble clair que les événements doivent au moins consister en les intervalles de [0, 1]. On sait (cf. le cours de première année) que la tribu engendrée par les intervalles de [0, 1] forme l ensemble des boréliens qui est strictement inclus dans P([0, 1]). Exemple. Même dans le cas fini, on peut avoir besoin de considérer des tribus moins fines que P(). Considérons par exemple que l on a lancé N fois une pièce de monnaie mais que l on ne connaît que le résultat du premier jet. On a = {0, 1} N mais l information à laquelle on a accès à l issue du premier jet est seulement constituée du résultat de ce premier jet. Si on note A l événement le premier jet a donné pile et A c l événement le premier jet a donné face alors la tribu des événements accessibles à l issue du premier jet est la tribu engendrée par {A, A c }, soit F = {, A, A c, }. Remarquer que A peut s écrire (si 1 représente pile ) A = {ω = (ω 1,..., ω N ) {0, 1} N / ω 1 = 1}. A titre d exercice, construire la tribu naturelle des événements connus à l issue du n-ième jet pour n 2. 1.3. Probabilités. Soit (, F) un espace probabilisable. Définition 1.3. On appelle probabilité sur (, F) toute application P : F [0, 1] satisfaisant (i) P [] = 1; (ii) pour toute suite (A n ) n 1 d éléments de F deux à deux disjoints de F, (on dit que les événements sont deux à deux incompatibles), on a : P A n = P [A n ]. n 1 n 1 Le triplet (, F, P) s appelle alors un espace probabilisé. Définition 1.4. Soit (, F, P) un espace probabilisé. On dit que - un événement A F est négligeable si P [A] = 0. Une propriété dépendant de ω est dite presque sûre (ou est satisfaite presque sûrement) si elle est satisfaite en dehors d un ensemble négligeable.

3 - Deux événements A et B de F sont dits indépendants si P [A B] = P [A]P [B]. - Une suite d événements (A n ) n 1 F est appelée suite d événements deux à deux indépendants si, pour tous n, m 1, n m, A n et A m sont indépendants. - Une suite d événements (A n ) n 1 F est appelée suite d événements indépendants si, pour tout I N fini, [ ] P A i = P [A i ]. Soit (, F, P) un espace probabilisé. 2.1. Définition. 2. Variables aléatoires. Définition 2.1. On dit que l application X définie sur et à valeurs dans R n est une variable aléatoire sur (, F, P) si elle est mesurable de (, F) dans (R n, B(R n )). Rappelons que B(R n ) est la tribu des boréliens de R n, c est-à-dire la tribu engendrée par les pavés de R n. Rappelons également que X est dite mesurable de (, F) dans (R n, B(R n )) si, pour tout borélien B B(R n ), X 1 (B) F. Notation. On note en général [X B] l événement X 1 (B). Exemple. Soit X une application définie sur et à valeurs dans R n. (1) Si F est la tribu triviale, alors X est mesurable de (, F) dans (R n, B(R n )) si et seulement si X est constante. (2) Si F est une tribu engendrée par une partition finie de, alors X est mesurable de (, F) dans (R n, B(R n )) si et seulement si X est constante sur chacune des composantes de la partition. Remarquons que la tribu P() rend toutes les applications mesurables. Autrement dit, si X est une application de dans R n, X est mesurable de (, P()) dans (R n, B(R n )). La plus petite tribu qui rend X mesurable est appelée la tribu engendrée par X et notée σ(x). On peut la définir facilement. C est l objet de la proposition suivante. Proposition 2.1. Soit X une application de dans R n. La tribu engendrée par X est σ(x) = {X 1 (B)/ B B(R n )}. 2.2. Loi d une variable aléatoire. Définition 2.2. Soit X une variable aléatoire définie sur (, F, P) prenant ses valeurs dans R n. On appelle loi de X et on note µ X la mesure borélienne (i.e. définie sur les boréliens) définie, pour tout B B(R n ), par µ X (B) = P [ X 1 (B) ] = P [X B]. Cette mesure s appelle également la mesure image de P par X. C est une mesure de probabilité sur R n (mesure positive de masse totale est 1).

4 Connaître la loi de X permet donc de déterminer la probabilité de tous les événements que l on peut écrire avec la variable X. Parmi les lois les plus courantes, on comptes les lois discrètes et les lois à densité. Les lois discrètes sont les mesures qui sont portées par un ensemble dénombrable de R n. Une variable aléatoire discrète sera une variable aléatoire dont la loi est discrète. Plus précisément, si la variable aléatoire X prend ses valeurs dans un ensemble {x k, k 1}, alors sa loi est donnée par µ X = k 1 P [X = x k ]δ xk où, pour tout x R n, δ x est la mesure de Dirac au point x, c est-à-dire la mesure définie, pour tout B B(R n ), par { 1 si x B δ x (B) = 0 sinon. Parmi les variables aléatoires discrètes bien connues, on a : la loi uniforme sur un ensemble fini, la loi de Bernoulli, la loi binomiale, la loi hypergéométrique, la loi de Poisson, la loi géométrique, etc. Les lois à densité sont les lois qui sont absolument continues par rapport à la mesure de Lebesgue. Une mesure de probabilité µ est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue sur R n s il existe f : R n R, Lebesgue-mesurable telle que, pour tout B B(R N ), µ(b) = f(x)dx. B En particulier, la fonction f, qui s appelle alors la densité de µ (sous-entendu : par rapport à la mesure de Lebesgue) est positive et d intégrale sur R n égale à 1. Parmi les lois à densité les plus courantes, on a : la loi uniforme, la loi de Gauss (ou loi normale), la loi de Cauchy, les lois exponentielles, les lois gamma, bêta, etc. 2.3. Moments d une variable aléatoire. Comme on l a fait pour les fonctions Lebesguemesurables en première année, on peut construire l intégrale d une variable aléatoire réelle par rapport à une mesure quelconque. Rappelons brièvement la méthode de construction de l intégrale sur (, F, P). Etape 1 : On intègre les fonctions indicatrices d ensembles mesurables. Soit A F. La fonction indicatrice de A est mesurable de (, F) dans (R, B(R)) (l image réciproque d un borélien quelconque de R ne peut être que, A, A c ou ). On la note 1 A, et on définit son intégrale par 1 A dp = P [A]. Noter que cette intégrale est nécessairement finie car la mesure P est finie. Etape 2 : On intègre les fonctions étagées, c est-à-dire qui sont combinaisons linéaires finies de fonctions indicatrices d ensembles mesurables. Si X est une fonction étagée, elle s écrit donc n X = α i 1 Ai i=1 où n est un entier positif quelconque, A 1,...,A n sont n éléments de F et α 1,...,α n sont n réels. L intégrale d une telle fonction est alors définie par n XdP = α i P [A i ]. i=1

5 Etape 3 : On intègre les fonctions mesurables positives. On montre que ces fonctions peuvent s écrire comme limite croissante ponctuelle de fonctions étagées. C est-à-dire que si X est une variable aléatoire réelle positive, il existe une suite croissante (X n ) n 1 de fonctions étagées qui converge simplement vers X. On définit alors l intégrale de X par XdP = lim n + X n dp en montrant que cette limite ne dépend pas de la suite choisie. intégrale peut être infinie. Etape 4 : Soit alors X une variable aléatoire réelle. Si X dp < +, on dit que X est intégrable et on définit son intégrale par XdP = X + dp X dp où, pour tout a R, a + = max(a, 0) et a = max( a, 0). Remarquons que cette Comme dans le cours d intégration de première année, on définit la classe des applications intégrables L 1 (, F, P), celles des applications de carré intégrable L 2 (, F, P) et celle des application presque sûrement bornées L (, F, P). Ces espaces sont complets pour les normes 1, 2 et respectivement et l espace L 2 (, F, P), muni du produit scalaire X, Y = E [XY ] = XY dp, est un espace de Hilbert. Définition 2.3. Soit X une variable aléatoire réelle définie sur (, F, P). (i) Si X est intégrable, on appelle espérance de X le réel E [X] = XdP. (ii) Si X est de carré intégrable, on appelle variance de X le réel Var [X] = E [ (X E [X]) 2] = E [ X 2] E [X] 2. Remarquer que, si X est de carré intégrable alors X est intégrable puisque, d après Cauchy-Schwarz, ( ) 1/2 ( 1/2 X dp dp X dp) 2. Théorème 2.1. (Formules de transfert). Soit X une variable aléatoire définie sur (, F, P) et à valeurs dans R n. Alors pour toute fonction ϕ : R n R borélienne (c est-à-dire mesurable de (R n, B(R n )) dans (R, B(R))) bornée ou positive, on a : E [ϕ(x)] = ϕ(x)dp = ϕ(x)dµ X (x). R n En particulier, si X est une variable alátoire discrète prenant ses valeurs dans {x k, k 1}, E [ϕ(x)] = k 1 ϕ(x k )P [X = x k ],

6 et si X admet pour densité f X, E [ϕ(x)] = ϕ(x)f X (x)dx. R n Remarquer que ces formules sont également satisfaites dès que la variable aléatoire réelle ϕ(x) est intégrable. Par exemple, si X est une variable aléatoire réelle intégrable et ϕ = Id, on obtient une formule pour le calcul de E [X]. 3. Exercices. Exercice 3.1. Soit un ensemble non vide et soit A = {A 1,..., A n } une partition de. Montrer que { } σ(a) = A i / I {1,..., n}. Exercice 3.2. Soit (, F) un espace probabilisable. Soit X une application définie sur et à valeurs dans R n. (1) Montrer que si F est la tribu triviale, alors la variable aléatoire X est mesurable de (, F) dans (R n, B(R n )) si et seulement si X est constante. (2) Plus généralement, montrer que si F est une tribu engendrée par une partition finie de, alors X est mesurable de (, F) dans (R n, B(R n )) si et seulement si X est constante sur chacune des composantes de la partition. Exercice 3.3. Soit un ensemble non vide et soit X une application de dans R n. Montrer que la tribu engendrée par X (i.e. la plus petite tribu rendant X mesurable) est σ(x) = {X 1 (B)/ B B(R n )}. Exercice 3.4. Soit ϕ une fonction borélienne sur R n et soit x R n. Montrer, en vous inspirant de la construction d une intégrale par rapport à une mesure de probabilité, que R n ϕ dδ x = ϕ(x).