Baccalauréat blanc 2014-2015 Lycée Janson de Sailly Epreuve de Mathématiques Série S durée : 4 heures L usage de la calculatrice est autorisé Le numéro de la classe devra figurer dans la partie anonymée. Indiquez en tête de la copie si vous avez ou non suivi l enseignement de spécialité mathématiques. Pour les candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité, l annexe est à remettre avec la copie. Faire figurer sur la feuille annexe et sur la feuille de papier millimétré seulement vos initiales. La feuille annexe et la feuille de papier millimétré devront être numérotées comme les autres feuilles. Page 1 sur 8
Exercice 1 (5 points) Commun à tous les candidats Pour chacune des affirmations, dire si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse. Partie A Dans un cube ABCDEFGH, on désigne par I, J et L les milieux respectifs des segments [AB], [GH] et [FB]. K désigne ( le centre de la face BCGF. Les calculs pourront être effectués dans le repère orthonormal A ; AB, AD, ) AE. H J G E F K L D C A I B Affirmation 1 : Le quadrilatère DIFJ est un losange. Affirmation 2 : Les vecteurs DI, JL et GK sont coplanaires. Partie B On se place dans l espace muni d un repère orthonormé. On considère la droite D dont une représentation paramétrique est : et les points A(1; 1; 0) et B(3; 0; 1). x = 2t y = 1 + t z = 5 + 3t, t R Affirmation 3 : Les droites D et (AB) sont coplanaires. Partie C Au cours d une épreuve aléatoire, on considère deux événements A et B vérifiant : P (A) = 0, 4 ; P A (B) = 0, 7 ; P A (B) = 0, 1. Affirmation 4 : Les événements A et B sont indépendants. Cette épreuve aléatoire est répétée 10 fois de suite de façon indépendante. On appelle X la variable aléatoire comptabilisant le nombre de réalisations de l événement A. Affirmation 5 : P (3 X 6) 0, 605 à 10 3 près. Page 2 sur 8
Exercice 2 (5 points) Commun à tous les candidats 1. Soit f la fonction définie sur [0; + [ par f(x) = xe x 1. (a) Déterminer la limite de la fonction f en + et étudier le sens de variation de f. (b) Démontrer que l équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans l intervalle [0; + [ et que α [0; 1]. (c) On donne l algorithme ci-dessous : Variables : a, b et m sont des nombres réels. Initialisation : Affecter à a la valeur 0. Affecter à b la valeur 1. Traitement : Tant que b a 0, 1 Affecter à m la valeur 1 (a + b). 2 Si f(a) f(m) 0 alors Affecter à b la valeur m. Sinon Affecter à a la valeur m. Fin de Si. Fin de Tant que. Sortie : Afficher a. Afficher b. i. Faire tourner cet algorithme en complétant le tableau ci-dessous que l on recopiera sur la copie. étape 1 étape 2 étape 3 étape 4 étape 5 a 0 b 1 b a m ii. Que représentent les valeurs affichées par cet algorithme? (d) Déterminer le signe de f(x) suivant les valeurs de x. 2. On note C la courbe représentative de la fonction exponentielle et Γ celle de la fonction logarithme népérien dans le plan muni d un repère orthonormé (O; i, j ). Les courbes C et Γ sont données ci-après. Soit x un nombre réel strictement positif. On note M le point de C d abscisse x et N le point de Γ d abscisse x. On rappelle que pour tout réel x strictement positif, e x > ln x. 2 M 2 C 1 1 1 Γ 1 2 3 N (a) Montrer que la longueur MN est minimale lorsque x = α. Montrer que cette longueur minimale est égale à 1 + α2 α. (b) Démontrer que la tangente à C au point d abscisse α et la tangente à Γ au point d abscisse α sont parallèles. Page 3 sur 8
Exercice 3 (5 points) Candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité Le graphique de l annexe sera complété et remis avec la copie. Soit la fonction f définie sur l intervalle [0 ; 2] par f(x) = 2x + 1 x + 1. 1. Étudier les variations de f sur l intervalle [0 ; 2]. Montrer que si x [1 ; 2] alors f(x) [1 ; 2]. 2. (u n ) et (v n ) sont deux suites définies sur N par : u 0 = 1 et pour tout entier naturel n, u n+1 = f(u n ). v 0 = 2 et pour tout entier naturel n, v n+1 = f(v n ). (a) Le graphique donné en annexe représente la fonction f sur l intervalle [0 ; 2]. Construire sur l axe des abscisses les trois premiers termes de chacune des suites (u n ) et (v n ) en laissant apparents tous les traits de construction. A partir de ce graphique, que peut-on conjecturer concernant le sens de variation et la convergence des suites (u n ) et (v n )? (b) Montrer à l aide d un raisonnement par récurrence que : Pour tout entier naturel n, 1 v n 2. Pour tout entier naturel n, v n+1 v n. On admettra que l on peut démontrer de la même façon que : Pour tout entier naturel n, 1 u n 2. Pour tout entier naturel n, u n u n+1. v n u n (c) Montrer que pour tout entier naturel n, v n+1 u n+1 = (v n + 1) (u n + 1). En déduire que pour tout entier naturel n, v n u n 0 et v n+1 u n+1 1 4 (v n u n ). (d) Montrer que pour tout entier naturel n, v n u n ( ) n 1. 4 (e) Montrer que les suites (u n ) et (v n ) convergent vers un même réel α. Page 4 sur 8
Exercice 4 (5 points) Candidats ayant suivi l enseignement de spécialité Un logiciel permet de transformer un élément rectangulaire d une photographie. Ainsi, le rectangle initial OEFG est transformé en un rectangle OE F G, appelé image de OEFG. F F G E G E O Figure 1 L objet de cet exercice est d étudier le rectangle obtenu après plusieurs transformations successives. Partie A Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O; i, j ). Les points E, F et G ont pour coordonnées respectives (2 ; 2), ( 1 ; 5) et ( 3 ; 3). La transformation du logiciel associe à tout point M(x ; y) du plan le point M (x ; y ), image du point M tel que : x = 5 4 x + 3 4 y y = 3 4 x + 5 4 y F G E O Figure 2 1. (a) Calculer les coordonnées des points E, F et G, images des points E, F et G par cette transformation. (b) Comparer les longueurs OE et OE d une part, OG et OG d autre part. ( ) ( ) x x Donner la matrice carrée d ordre 2, notée A, telle que : y = A. y Page 5 sur 8
Partie B Dans cette partie, on étudie les coordonnées des images successives du sommet E du rectangle OEFG. On définit la suite des points E n (x n ; y n ) du plan par E 0 = E et la relation de récurrence : ( ) ( ) xn+1 xn = A, y n+1 y n où (x n+1 ; y n+1 ) désignent les coordonnées du point E n+1. Ainsi x 0 = 2 et y 0 = 2. 1. On admet ( que, ) pour tout entier n 1, la matrice A n peut s écrire sous la forme : A n αn β = n. β n α n Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n 1, on a : α n = 2 n 1 + 1 2 n+1 et β n = 2 n 1 1 2 n+1. 2. (a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, le point E n est situé sur la droite d équation y = x. On pourra utiliser que, pour tout entier naturel n, les coordonnées (x n ; y n ) du point E n vérifient : Partie C ( xn y n ) ( ) = A n 2. 2 (b) Démontrer que la longueur OE n tend vers + quand n tend vers +. 1. Soit x et y entiers, montrer que x et y sont entiers si et seulement si x y(modulo4). 2. Soit w et t entiers. A quelle condition sur w et t le point P (w, t) est-il image d un point M à coordonnées entières? Page 6 sur 8