Chapitre 3 Exponentielles TABLE DES MATIÈRES page - Chapitre 3 Exponentielles Table des matières I Exercices I-................................................ I- 2................................................ I- 3................................................ I-2 4................................................ I-2 5................................................ I-2 6................................................ I-2 7................................................ I-2 8................................................ I-2 9................................................ I-2 0................................................ I-3................................................ I-3 2................................................ I-3 3................................................ I-3 4................................................ I-5 5................................................ I-5 6................................................ I-6 7................................................ I-6 8................................................ I-6 9................................................ I-6 20................................................ I-6 2................................................ I-6 22................................................ I-7 23................................................ I-7 24................................................ I-8 25................................................ I-8 26................................................ I-8 27................................................ I-8 28................................................ I-9 29................................................ I-9 30................................................ I-9 3................................................ I-9 32................................................ I-0 33................................................ I-0 34................................................ I-0
Chapitre 3 Exponentielles TABLE DES MATIÈRES page -2 35................................................ I-0 36................................................ I-0 37................................................ I-0 38................................................ I- 39................................................ I- 40................................................ I- 4................................................ I- 42................................................ I- 43................................................ I- 44................................................ I- 45................................................ I-2 II Cours II- Les fonctions exponentielles x q x (q > 0)....................... II- a Définition...................................... II- b Représentations graphiques............................ II- c Propriétés de calcul................................. II- d Propriétés de la fonction définie par f(x) = q x.................. II-2 2 La fonction exponentielle x e x............................. II-3 2a Définition et propriétés............................... II-3 2b Dérivée de x e u(x)............................... II-3
Chapitre 3 Exponentielles I EXERCICES page I- I Exercices Les fonctions exponentielles x q x (q > 0). On considère les suites géométriques (u n ) et (v n ) définies pour tout entier naturel n par u n =, 5 n et v n = 0, 7 n. Pour chacune de ces deux suites, répondre aux questions suivantes.. Donner le premier terme de cette suite et sa raison. 2. Quelle est le sens de variation de cette suite? Justifier. 3. Calculer les 5 termes suivants (du 2 e au 6 e ). Arrondir au dixième près. 4. Placer ci-dessous les six points de la représentation graphique et joindre ces points par une courbe continue. On admettra que ces deux courbes continues sont les représentations graphiques des fonctions f et g définies sur IR par f(x) =, 5 x et par g(x) = 0, 7 x. suite (u n ) suite (v n ) 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 2 3 4 5 2 3 4 5 Nous allons par la suite étudier des fonctions comme celles définies par f(x) =, 5 x ou g(x) = 0, 7 x. Le problème qui se pose pour l instant est que nous ne savons pas ce que signifie, 5 x ou 0, 7 x lorsque x n est pas un nombre entier, par exemple que veut dire, 5 3, ou 0, 7 4? 2 Nous allons étudier la fonction f définie par f(x) = 3 x. Pour l instant, nous savons ce que veut dire 3 n quand n est entier. Compléter le tableau suivant (donner les valeurs exactes) x 3 2 0 2 3 3 x
Chapitre 3 Exponentielles I EXERCICES page I-2 2. Nous allons étudier un premier cas où l exposant n est pas entier. (a) En appliquant les règles sur les puissances, calculer ( 3 2 ) 2. (b) Que veut donc dire 3 2? 3. Si on applique les règles de calculs sur les puissances, on a : 3 5 2 = 3 2 5 = ( 3 2 Que veut donc dire 3 5 2? Rappels : a n = a n (a n ) p = a np 3 Avec la calculatrice, déterminer les arrondis au millième de : () 5 4 (2) 7 2 3 (3) 2, 4 3,6 (4) 0, 98 37 2 4 Résoudre les équations suivantes sur [0 ; + [ (c est à dire, ne donner que les solutions positives) : () x 2 = 7 (2) x 3 = 5 (3) x 6 =, 2 (4) x 2 = 2, 5 5 Écrire sous la forme d une seule puissance. () 5 2 7 5 3 7 (2), 3 0,5 0 0,5 (3) 73,8 7 4,5 (4) ( 0,43 ) 0 (5) 6 Écrire sous la forme d une seule puissance. () 7 2x 7 x+ 49 73x+5 (2) (3) (7 x ) 3 49 x 7 x 7 Les fonctions f, f 2, f 3, f 4, sont définies par : f (x) =, 8 x f 2 (x) = 0, 7 x f 3 (x) = 0, 5 x f 4 (x) =, 5 x, 82,4 3 2,4 Quelles sont les courbes de chacune de ces fonctions parmi les courbes ci-dessous? ) 5 C C 2 4 C 3 C 4 2 8 4 2 2 4 Quels sont les sens de variations des fonctions définies par : ( ) 2 x () f (x) =, 4 x (2) f 2 (x) = (3) f 3 (x) = 5 x (4) f 4 (x) = 0, x 3 9 Un capital de 8 000eest placé à intérêts composés à 3 % par an. Calculer le montant du capital après 7 ans et 5 mois. Indication : 5 mois = 5 2 d année.
Chapitre 3 Exponentielles I EXERCICES page I-3 0 200esont placés à 3,2 % l an à intérêts composés. Calculer le montant du capital () après 7 ans et demi ; (2) après 6 ans et 7 mois Une action était côtée 50eet a augmenté de 80 % en 4 ans. 2. Calculer son prix après 4 ans. 2. Cette action a augmenté d un taux annuel moyen t. Calculer t. La consommation d eau minérale est passée de 33,7 L par personne en 998, à 5,5 L par personne en 2008. 3. Calculer le taux d évolution T de 998 à 2008 (taux global). 2. Calculer le taux annuel moyen t de 998 à 2008. 3. Si ce taux annuel reste le même après 2008, estimer la consommation en 205. Un article a baissé de 30 % en un an. Calculer le taux mensuel moyen t.
Chapitre 3 Exponentielles I EXERCICES page I-4 Manuel Déclic Math TES, Hachette 202, page 83 Fonctions définies sous la forme f(x) = a q x, modélisant différentes évolutions.
Chapitre 3 Exponentielles I EXERCICES page I-5 La fonction exponentielle x e x. Rappel pour une fonction dérivable Le coefficient directeur de la tangente à la courbe d une fonction f au point d abscisse a est le nombre dérivé de f en a et on l écrit f (a). On peut le calculer approximativement à la calculatrice : math 8 et compléter ainsi nbredérivé(f(x),x,a) 4 Les fonctions f et g représentées graphiquement ci-dessous sont définies par : f(x) = 2 x et g(x) = 4 x.. (a) Sur la courbe C f, placer le point A d abscisse 0. (b) Calculer f (0) à la calculatrice comme cela est indiqué ci-dessous : math 8 et compléter ainsi nbredérivé(2 X,X,0) Arrondir au dixième près. (c) Tracer la tangente à la courbe C f au point A, sachant que cette droite passe par le point A et que son coefficient directeur est f (0). 2. Mêmes consignes (a), (b), (c) pour la fonction g. 3. On veut trouver une fonction h définie par h(x) = a x telle que h (0) =. (a) Quel nombre a faut-il choisir pour qu on ait h (0) =? Faire des essais à la calculatrice pour obtenir un arrondi au centième de a. (b) Compléter ce tableau de valeurs en utilisant la commande table. Arrondir au dixième. x 2, 5 0, 5 0 0,5,5 2 2,5 3 h(x) = (c) Tracer la courbe de la fonction h dans le troisième repère ci-dessous. 4 C f 4 C g 4 C h 3 3 3 2 2 2 2 2 2 5 La fonction f est définie par f(x) = e x. 2 2 2. À l aide de la calculatrice, dresser le tableau de variations de f sur [ 5 ; 5]. 2. Dresser le tableau de signe de f sur [ 5 ; 5]. 3. Répondre à ces deux questions en faisant quelques essais à la calculatrice. (a) Comment évolue e x lorsque x tend vers +? (b) Comment évolue e x lorsque x tend vers?
Chapitre 3 Exponentielles I EXERCICES page I-6 6 Écrire sous la forme d une seule puissance. () e 0,3 e,4 (2) e2 e 5 (3) (e 4 ) 2 (4) e 2x e x+3 (5) e2x 3 e x (6) (e x ) 3 e 0,5x 7 8. QCM : choisir la bonne réponse parmi les propositions (a), (b), (c). Le nombre réel e x 2 est égal à : (a) ex e 2 (b) e x e 2 (c) e x 2. Justifier par un calcul. Simplifier les expressions A = e6x e 2x B = (e 3x ) 2 e 5 x e 5 9 Justifier par des calculs les affichages ci-contre obtenus avec le logiciel Xcas (exp(x) veut dire e x ). 20 Résoudre l équation (3x 7) e x = 0 2 On considère une fonction f définie sur l intervalle [0 ; 5] et on donne sa courbe représentative C f dans le repère ci-contre. QCM : choisir la bonne réponse parmi les propositions (a), (b), (c). Sur l intervalle [0 ; 5], l équation exp (f(x)) = 0 (a) admet une solution (b) admet deux solutions (c) n admet aucune solution 3 2 0 2 3 2 3 4 5
Chapitre 3 Exponentielles I EXERCICES page I-7 22 Dérivée et fonction exponentielle x e x. L objectif de cet exercice est de revoir le calcul de dérivée ; utiliser la dérivée pour tracer des tangentes à la courbe. La fonction f est définie par f(x) = x 2 + 5x 7 sur l intervalle [0 ; 4] et elle est représentée graphiquement ci-dessous par la courbe C f. La fonction f est dérivable sur l intervalle [0 ; 4].. Calculer f (x) 2. Calculer f ( 8), f ( 3), f (0), f (3). 3. Placer sur la courbe C f les points A, B, C, D d abscisses respectives 8, 3, 0, 3. 4. Tracer la droite tangente à la courbe C f en A. On rappelle que cette droite passe par le point A et que son coefficient directeur est f ( 8). 5. Utiliser la même méthode pour tracer les tangentes à la courbe C f en B, en C, en D. 30 C f 20 0 0 9 8 7 6 5 4 3 2 0 2 3 23 La fonction f est définie sur l intervalle [ 4 ; 4] par f(x) = e x x 2, et elle est représentée graphiquement ci-contre par la courbe C f. La fonction f est dérivable sur l intervalle [ 4 ; 4].. Calculer f (x) 2. Calculer f ( 2) et f (3). Arrondir à l unité. 3. Placer sur la courbe C f les points A et B d abscisses respectives 2 et 3. 4. Tracer les tangentes à la courbe C f en A et en B. 4 3 20 2 30 20 0 0 20 2 3 C f
Chapitre 3 Exponentielles I EXERCICES page I-8 24 Dans la figure ci-dessous se trouve la représentation graphique C f d une fonction f définie et dérivable sur [ 4 ; 7]. L unité du repère est un carreau. Les points A, B, C sont des points de la courbe C f et les droites (DE), (FG), (HK) sont les tangentes à la courbe C f respectivement en A, en B, en C.. Par lecture graphique, déterminer f (). 2. Par lecture graphique, déterminer f ( 3). On rappelle que f ( 3) est le coefficient directeur de la tangente (DE) et que ce coefficient directeur est égal à y E y D x E x D 3. Déterminer de même f (5) D A F E B H C G C f K 25 La fonction f est définie sur l intervalle [ 2 ; 0] par f(x) = 2x 2 5x 7. La fonction f est dérivable sur [ 2 ; 0].. Calculer la dérivée f (x). 2. Compléter le tableau de variations ci-dessous. x 2 0 Signe de f (x) Variations de f 26 Même exercice que l exercice 25 pour la fonction f définie sur l intervalle [ 3 ; 6] par : f(x) = 3x 2 + 9x + 4, et qui est dérivable sur cet intervalle. 27 Les deux repères page suivante ont pour unité carreau. À gauche est représentée une fonction f définie et dérivable sur l intervalle [ 6 ; 4] et à droite une fonction g définie et dérivable sur l intervalle [ 6 ; ]. Dresser les tableaux de variation des fonctions f et g sur leurs intervalles de définition (le signe de la dérivée sur la 2 e ligne du tableau et les variations sur la 3 e ligne du tableau).
Chapitre 3 Exponentielles I EXERCICES page I-9 C f C g 28 Objectif : calculer des dérivées Calculer les dérivées des fonctions définies par les égalités suivantes. Chacune de ces fonctions est dérivable sur l intervalle I indiqué. () f(x) = x I = IR (2) f(x) = x 2 I = IR (3) f(x) = x + x 2 I = IR (4) f(x) = 5x 2 I = IR (5) f(x) = 4x + 6 I = IR (6) f(x) = x 5 I = IR (7) f(x) = 8x 3 I = IR (8) f(x) = x + x I = ]0 ; + [ (9) f(x) = 0, 5e x + 7 I = IR (0) f(x) = 3x 2 6x + 8 I = IR () f(x) = x 3 + 5x 2 9x + I = IR 29 La fonction f, définie par f(x) = 2x 3 + 9x 2 + 60x 7 est dérivable sur l intervalle [ 5 ; 9].. Calculer la dérivée f. 2. Résoudre l équation f (x) = 0. f (x) est un trinôme du second degré, il faut donc utiliser le discriminant. 3. Compléter le tableau de variations ci-dessous. x 5 9 Signe de f (x) Variations de f 30 Même exercice que l exercice 29 pour la fonction f, définie par f(x) = x 3 + 9x 2 + 27x, dérivable sur l intervalle [ 6 ; ]. 3 Objectif : revoir les résolutions d équations du 2 nd degré. Résoudre les équations suivantes : () 3x 2 + 24x + 36 = 0 (2) 4x 2 + 4x + = 0 (3) 5x 2 3x + 2 = 0 qui est
Chapitre 3 Exponentielles I EXERCICES page I-0 32 La fonction f est définie sur l intervalle [ 2 ; 0] par f(x) = (2x 7)e x.. Calculer la dérivée f, et démontrer que pour tout réel, on a : f (x) = (2x 5)e x. 2. Calculer f( 5), f(2, 5), et f(4). Donner les valeurs exactes et les arrondis au centième. 3. Compléter le tableau de variations ci-dessous. x 5 4 Signe de 2x 5 Signe de e x Signe de f (x) Variations de f 33 4. Avec la calculatrice, tracer la courbe de cette fonction. Utiliser le tableau de variation pour bien régler les valeurs de la fenêtre. 5. (a) Résoudre algébriquement l équation f(x) = 0. (b) Que représente la solution pour la courbe? 6. Calculer les coordonnées du point d intersection de la courbe avec l axe des ordonnées. La fonction f est définie sur l intervalle [ 3 ; 8] par f(x) = ( 3x + 2)e x. 34. Calculer la dérivée f. 2. Dresser le tableau de signes de la dérivée. Même exercice que l exercice 33 pour la fonction f définie sur l intervalle [ 6 ; 4] par : f(x) = (4x + 7)e x. 35 Objectif : calculer des dérivées de sommes, de produit et de quotient Calculer les dérivées des fonctions définies par les égalités suivantes. () f(x) = (5x 2)e x (2) f(x) = e x + 4 36 (3) f(x) = ex + 0 x La fonction f est définie sur l intervalle [0, 2 ; 3] par f(x) = ex x.. Calculer la dérivée f. 37 (4) f(x) = x2 3x x 2 2. Dresser le tableau de variations complet de la fonction f (signe de f et variations de f), en indiquant les valeurs remarquables. Même exercice que le précédent avec la fonction f est définie sur l intervalle [0 ; 2] par f(x) = ex 2x +.
Chapitre 3 Exponentielles I EXERCICES page I- 38 Calculer la dérivée de chacune des fonctions définies ci-dessous. () f(x) = e 3x (2) f(x) = e 0,7x (3) f(x) = e x2 (4) f(x) = 4e 8x (5) f(x) = 5x 2 + e 6x (6) f(x) = x 3 + 7x 2 6 + e x (7) f(x) = x + 9 2e 0,5x (8) f(x) = 0, 3e 0,3x e 0,3x + 4 39 La fonction f est définie sur l intervalle [ 6 ; 6] par f(x) = (4x + 3)e 5x. 40. Calculer la dérivée f en utilisant les indications ci-dessous : on pose : u(x) = 4x + 3 v(x) = e 5x w(x) = 5x ; calculer u (x) et w (x) ; calculer v (x), pour cela il faut utiliser la formule de dérivée de e w ; calculer f (x), sachant que f(x) = u(x) v(x). Calculer la dérivée de chacune des fonctions définies ci-dessous. () f(x) = ( x + 3)e 0,7x (2) f(x) = (x + )e x (3) f(x) = 6 + (3 x)e x (4) f(x) = 2 (x + 5)e x 4 QCM : choisir la bonne réponse parmi les propositions (a), (b), (c). La fonction g définie sur l ensemble des nombres réels IR par g(x) = xe x est la dérivée de la fonction G définie sur IR par : (a) 42 G(x) = x2 2 ex (b) G(x) = (x + )e x (c) G(x) = (x )e x Calculer les dérivées des fonctions définies sur IRpar : () f(x) = (4x 7)e x (2) f(x) = 4ex (3) f(x) = e x2 (4) f(x) = 5(x 3)e 2x e x + (5) f(x) = (6 + x)e x 3 (6) f(x) = (3x x 2 )e x 6 43 La fonction f est définie pour tout réel par f(x) = e 5x Parmi les fonctions ci-dessous, laquelle a pour dérivée la fonction f? () F(x) = e 5x (2) F(x) = 5 e5x + 3 3) F(x) = 5e 5x + 3 44 Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = ( x + 2)e x.. L équation f(x) = 0 : (a) n admet aucune solution dans IR (b) admet une seule solution dans IR (c) admet deux solutions dans IR 2. L équation réduite de la tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse 0 est : (a) y = 3x + 2 (b) y = x + 2 (c) y = x + 2 3. Le minimum de f sur IR est : (a) (b) (c) e 3 e 3 e 3
Chapitre 3 Exponentielles I EXERCICES page I-2 45 Bac Réunion, juin 200. Suite à un accident industriel, un gaz se répand dans un local d usine. L évolution du taux de gaz dans l air peut être modélisé grâce à la fonction f définie sur l intervalle [0 ; + [ par : f(x) = 2xe x où x est le nombre de minutes écoulées depuis l accident et f(x) le taux de gaz dans l air exprimé en parties pour million (ppm). 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.. (a) On admet que la fonction f est dérivable sur l intervalle [0 ; + [ et on note f sa fonction dérivée. Calculer f (x) et étudier son signe pour x élément de l intervalle [0 ; + [. (b) Donner le tableau complet des variations de la fonction f sur l intervalle [0 ; + [. (c) Après combien de minutes le taux de gaz est-il maximum? Quel est ce taux maximum? Justifier. 2. On admet que le taux de gaz dans l air est négligeable lorsqu il est inférieur ou égal à 0, 08 ppm. y (a) Calculer f(6) et arrondir le résultat au centième près. (b) Justifier que l équation f(x) = 0, 08 admet une unique solution α dans l intervalle [ ; 6]. (c) À l aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de α d amplitude 0, 00 Le plan est muni d un repère orthogonal. La courbe représentative de la fonction f sur l intervalle [0 ; 7] est donnée ci-dessous. O x 2 3 4 5 6
Chapitre 3 Exponentielles I EXERCICES page I-3 Manuel TES mathématiques, Déclic, Hachette 202. Exercices 30 p 96, 36 p 98, 4 p 00.
Chapitre 3 Exponentielles II COURS page II- II Cours Les fonctions exponentielles x q x (q > 0). a Définition q est nombre réel strictement positif. Si l on représente graphiquement la suite géométrique (q n ), on obtient une série de points (voir exercice sur fiche n o ). La représentation graphique de la fonction définie sur IR par f(x) = q x est obtenue en reliant ces points par une ligne continue et régulière. Cette fonction est appelée fonction exponentielle de base q. b Représentations graphiques Le programme de TES précise qu un élève doit connaître l allure de la représentation graphique de la fonction x q x selon les valeurs de q. Selon que 0 < q < ou que q >, nous obtenons donc ci-dessous deux types de courbes. 0 < q < q > y y y = q x y = q x q q O x O x c Propriétés de calcul Propriété Les règles de calcul sur les puissances étaient déjà connues pour des exposants entiers. Ces règles (ci-dessous) restent vraies pour des exposant non entiers. Pour tous nombres réels q et r strictement positifs, et pour tous nombres réels x et y x = q x = q x q y = q x+y q x q x q = y qx y (qr) x = q x r x q x ( ) q x r = (q x ) y = q xy x r Exemples 5,2 5 2,4 = 5,2+2,4 = 5 3,6 328, 359756 ( ) 2 5 2 7 3 = 7 3 5 = 7 0 3 656, 353957
Chapitre 3 Exponentielles II COURS page II-2 Propriété : le cas particulier de q n Si on applique les règles de calculs précédentes, avec q > 0 et n entier, n > 0 on a : ( ) n q n = q n n = q = q On retiendra donc ce qui suit. Soit q un nombre réel strictement positif et n un nombre entier strictement positif. Alors ( q n ) n = q q n est le nombre strictement positif dont la puissance n ième est égale au nombre q. Exemples 7 2 = 7 2, 645753, c est la racine carrée de 7. 7 3, 929383 est le nombre positif dont le cube est égal à 7, c est la racine cubique de 7 Propriété Le cas de la racine carrée Pour tout nombre réel q strictement positif, et pour tout nombre réel x, q 2 = q et q x 2 = q x. d Propriétés de la fonction définie par f(x) = q x Propriété Sens de variation Pour un nombre réel q, si 0 < q < la fonction définie par f(x) = q x est strictement décroissante ; si q > la fonction définie par f(x) = q x est strictement croissante. Propriété Signe de q x Pour un nombre réel q strictement positif, et pour tout nombre réel x, q x est strictement positif. Représentation graphique : voir plus haut, paragraphe b,. Propriété Pour un nombre réel q > 0, et pour tous nombres réels x et y, q x = q y x = y Propriété Relation fonctionnelle D après les propriétés de calcul du paragraphe c, on sait que, si q est un réel q strictement positif, alors pour tous réels x et y, q x+y = q x q y Pour la fonction f définie par f(x) = q x, la propriété précédente signifie que pour tous réels x et y, f(x + y) = f(x) f(y). Propriété Continuité Pour tout réel q > 0, la fonction f définie par f(x) = q x est continue sur IR. Propriété Dérivabilité Pour tout réel q > 0, la fonction f définie par f(x) = q x est dérivable sur IR.
Chapitre 3 Exponentielles II COURS page II-3 2 La fonction exponentielle x e x Le programme de TES précise qu un élève doit connaître la dérivée, les variations et la représentation graphique de la fonction exponentielle ; savoir utiliser les propriétés de calcul pour transformer une écriture. 2a Définition et propriétés À l aide d un logiciel ou d une calculatrice, on peut observer que parmi les fonctions définies sous la forme f(x) = q x, il y en a une seule telle que f (0) =. On remarque que, dans ce cas q 2, 78. On appelle e la valeur exacte de ce nombre, on a donc e 2, 78. Parmi les fonctions définies sous la forme f(x) = q x, la fonction définie par f(x) = e x est celle telle que f (0) =. On l appelle la fonction exponentielle. Propriété La fonction exponentielle est strictement croissante. Propriété Pour tout réel x, e x > 0 Représentation graphique 4 2 4 2 Propriétés de calculs Pour tous réels x et y, e x+y = e x e y e x 2 = e x e x = e x e x y = ex e y (e x ) y = e xy On admet la propriété suivante. Propriété Dérivée de la fonction exponentielle La fonction exponentielle est égale à sa fonction dérivée. Autrement dit : si f(x) = e x, alors f (x) = e x 2b Dérivée de x e u(x) Le programme de TES précise qu un élève doit savoir calculer la dérivée d une fonction définie sous la forme f(x) = e u(x). Propriété Si la fonction u est dérivable sur un intervalle, alors la fonction définie par f(x) = e u(x) est dérivable sur cet intervalle et sa dérivée est donnée par : (e u ) = u e u