Première STMG Dérivation sguhel
... 0 Chapitre 7 : Dérivation... 2 1 Introduction... 2 1.1 Equation de droite, coefficient directeur... 2 1.2 Vers la notion de tangente... 3 1.3 Approche du nombre dérivé et de la fonction dérivée avec le logiciel Geogebra... 4 2 Tangente... 5 2.1 Nombre dérivé... 5 3 Fonction dérivée... 6 3.1 Nombre dérivé en x des fonctions usuelles... 6 3.2 Fonction dérivée... 6 3.3 Opérations sur les fonctions dérivables... 7 4 Signe de la dérivée et sens de variation... 7 4.1 Théorème fondamental... 7 4.2 Application 1... 8 4.3 Application 2... 8 5 Equation de la tangente à une courbe en un point... 8 6 Exercices... 8 1
Chapitre 7 : Dérivation 1 Introduction 1.1 Equation de droite, coefficient directeur Chapitre 7 : Dérivation 2
1.2 Vers la notion de tangente Introduction 3
1.3 Approche du nombre dérivé et de la fonction dérivée avec le logiciel Geogebra On considère la fonction définie pour tout réel par ( ) = ² et on note représentative dans un repère orthonormé. sa courbe Construction de la figure A l aide du logiciel Geogébra, tracer la courbe curseurs pour a de 3 à 3 et h de 3 à 3 avec un incrément de 0,1. en introduisant ( ) = ² dans la barre de saisie. Créer deux Créer le point A en introduisant : A = (a, (a)) dans la barre de saisie. Créer le point M en introduisant : M = (a + h, (a + h)) dans la barre de saisie. Tracer la droite (AM). Calculer le coefficient directeur m de la droite (AM) en introduisant : m = dans la barre de saisie. Nombre dérivé pour a = 1 Dans cette partie, le point A est fixe, d abscisse a =1. Manipuler le curseur h pour faire bouger le point M d abscisse 1 + h. 1) Compléter le tableau suivant : h 2 1 0,5 0,2 0,1 0,1 0,2 0,5 1 2 m 2) a. Que fait le logiciel pour h = 0?.. b. Pourquoi m n est-il pas calculé pour h = 0?. 3) Comment doit-on choisir h pour que M soit très proche de A? Introduction 4
4) Faire se rapprocher M de A. La sécante (AM) tend vers une position limite appelée tangente à la courbe au point A. a. Quel est le coefficient directeur de cette tangente?.. b. On appelle coefficient directeur de cette tangente, nombre dérivé de f en 1 et on le note 1. c. Quelle est la valeur de 1? Vers la fonction dérivée 1) En manipulant le curseur a et en procédant comme dans la partie précédente, compléter le tableau suivant : a 3 2 1 0,5 0 0,5 1 2 3 (a) 2) Pour a quelconque, proposer une expression de a) en fonction de a. 2 Tangente 2.1 Nombre dérivé La courbe ci-dessous représente une fonction f. Tangente 5
La tangente en A à la courbe a pour coefficient directeur : on dira que le nombre dérivé de f en 4 est et on notera f (4) =. Cette droite a un autre point d intersection avec : le point C. Il est clair que cette droite n est pas tangente à en C De même, le nombre dérivé de f en 3 est. : on note : Définition : On appelle nombre dérivé d une fonction f en a le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse a. On note ce nombre f (a). Si une fonction f admet en a un nombre dérivé, on dit que f est dérivable en a. 3 Fonction dérivée 3.1 Nombre dérivé en x des fonctions usuelles Les résultats suivants sont admis : f(x) f (x) a (constante) 0 a x a x+ b a a x² 2 x x 3 3 x² Exemples : 1) Si f (x) = x 3 alors f (x) =.. 2) Si f (x) = alors f (x) =.. 3.2 Fonction dérivée Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I et dérivable en toute valeur de I. La fonction qui à tout x de I associe f (x) est appelée fonction dérivée de f et in la note f. Fonction dérivée 6
3.3 Opérations sur les fonctions dérivables Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et k un nombre réel fixé. Les théorèmes suivants sont admis : Théorème : La fonction u + v est dérivable sur I et (u + v) = u + v La fonction ku est dérivable et (ku) = k u 4 Signe de la dérivée et sens de variation 4.1 Théorème fondamental Observation d un graphique Le théorème suivant généralise les observations précédentes : Théorème : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si f > 0 sur I, alors f est strictement croissante sur I. Si f < 0 sur I, alors f est strictement décroissante sur I. Si f = 0 sur I, alors f est constante sur I. Signe de la dérivée et sens de variation 7
4.2 Application 1 Soit f la fonction définie sur par f(x) = x² 4x + 3. 1) Déterminer f (x) ou f est la dérivée de la fonction f. 2) Etudier le signe de f (x). 3) En déduire les variations de f et donner son tableau de variation. 4) Déterminer l extremum de la fonction f. 4.3 Application 2 Soit f la fonction définie sur par f(x) = x 3 + 7,5 x² 18 x + 13. 1) Déterminer f (x) ou f est la dérivée de la fonction f. 2) Etudier le signe de f (x). 3) En déduire les variations de f et donner son tableau de variation. 4) Déterminer l extremum de la fonction f. 5 Equation de la tangente à une courbe en un point Propriété : La tangente au point A(xA ;ya) à la courbe représentative d une fonction polynôme f de degré 2 a pour équation : y = f (a) (x xa) + ya 6 Exercices Voir livre : exercices 1 à 8 p 139 Equation de la tangente à une courbe en un point 8
Dans chacun des exercices qui suivent : a) Déterminer f ( ), où f est la dérivée de la fonction f ; b) Etudier le signe de f ( ) ; c) Etudier les variations de la fonction f et donner son tableau de variation ; Exercice C1 f est définie sur par f( ) = 2 + 7 ; Exercice C2 f est définie sur par f( ) = 2 ² 5 + 12 ; Exercice C3 f est définie sur par f( ) = 5 ² 20 + 112 ; Exercice C4 f est définie sur par f( ) = 2 3 + 3 ² 12 + 40 ; Exercice C5 f est définie sur par f( ) = 7 ² + 14 + 3 ; Exercice C6 f est définie sur par f( ) = 4 ² + 3 17 ; Exercice C7 f est définie sur par f( ) = 7 ² 14 + 7 ; Exercice C8 f est définie sur par f( ) = ² 7 + 23 ; Exercice C9 f est définie sur par f( ) = 4 ² 16 20 ; Exercice C10 f est définie sur par f( ) = 2 3 3 ² 72 + 14 ; Exercice C11 f est définie sur par f( ) = 2 3 + 7,5 ² 9 + 13 ; Voir livre : exercices p 138-139 Exercices 9
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