4 ème D DS4 triangles : milieux, parallèles sujet 1 2009-2010 Agrandissement - réduction NOM : Prénom : Note : 20 Objectif Acquis En cours Non Acquis d acquisition Connaître et utiliser les théorèmes relatifs aux milieux de deux côtés d'un triangle Connaître et utiliser la proportionnalité des longueurs pour les côtés des deux triangles déterminés par deux droites parallèles coupant deux sécantes Exercice 1 : (4 points) 1. Tracer un triangle ABC et placer le point M milieu de [AB]. Soit le point N symétrique de B par rapport à C. Démontrer que les droites (MC) et (AN) sont parallèles. Exercice 2 : (6 points) Sur la figure ci-contre, on sait que les droites (AB) et (CD) sont parallèles et : CE = 12 cm ; AB = 7,5 cm ; EB = 6 cm ; BD = 2 cm. (La figure n est pas à l échelle.) a/ Calculer AE. b/ Calculer CD. Exercice 3 : (4 points) a) Construire un rectangle KLMN, note I le point d intersection de ses diagonales et J le point d intersection du segment [NK] et de la droite perpendiculaire à (NK) passant par I b) Démontrer que J est milieu de [KN] Exercice 4 : (4 points) 4. Tracer un rectangle ABCD de 8 cm de diagonale. Placer les milieux respectifs I, J, K, L des côtés [AB], [BC], [CD] et [DA]. a) Démontrer que IJ = 4 cm b) Quelle est la nature du quadrilatère IJKL? Justifier. Exercice 5 : (2 points) Cette figure représente un triangle AIJ qui est une réduction du triangle ABC, avec AI = 7,5 cm et IB = 3 cm. Calculer la valeur exacte du rapport de réduction. 1
4 ème D DS4 triangles : milieux, parallèles sujet 2 2009-2010 Agrandissement - réduction NOM : Prénom : Note : 20 Objectif Acquis En cours Non Acquis d acquisition Connaître et utiliser les théorèmes relatifs aux milieux de deux côtés d'un triangle Connaître et utiliser la proportionnalité des longueurs pour les côtés des deux triangles déterminés par deux droites parallèles coupant deux sécantes Exercice 1 : (4 points) Soit un parallélogramme ABCD. Placer le point E symétrique de A par rapport à D. La droite (EB) coupe (DC) en F. Démontrer que le point F est le milieu de [BE]. Exercice 2 : (6 points) Sur la figure ci-contre, on sait que les droites (AB) et (CD) sont parallèles et : CE = 24 cm ; AB = 15 cm ; EB = 12 cm ; BD = 4 cm. (La figure n est pas à l échelle.) a/ Calculer AE. b/ Calculer CD. Exercice 3 : (4 points) a) Construire un rectangle ABCD, on note I le point d intersection de ses diagonales et J le point d intersection du segment [AD] et de la droite perpendiculaire à (AD) passant par I. b) Démontrer que J est milieu de [AD] Exercice 4 : (4 points) Tracer un rectangle IJKL dont la diagonale mesure 6 cm. Placer les milieux respectifs A, B, C, D des côtés [IJ], [JK], [KL] et [IL]. a) Démontrer que AB = 3 cm b) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD? Justifier. Exercice 5 : (2 points) Cette figure représente un triangle STU qui est un agrandissement du triangle SVA avec ST = 8 cm et VT = 2,5 cm. Calculer la valeur exacte du rapport d agrandissement. 2
4 ème D DS4 triangles : milieux, parallèles sujet 1 2009-2010 Exercice 1 : (4 points) On sait que M est le milieu de [AB] (donnée) et que C est le milieu de [BN] (symétrie). Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle alors elle est parallèle au troisième côté. Donc (MC) // (AN). Exercice 2 : (6 points) On sait que, dans le triangle CED, les droites (AB) et (CD) sont parallèles. D après la propriété de proportionnalité des longueurs dans le triangle, (appelée aussi théorème de Thalès), on a : EA EC = EB ED = AB CD. a/ En utilisant EA EC = EB et le fait que ED = EB + BD = 6 + 2 = 8 ED on peut écrire : EA 12 = 6 72 donc 8 EA = 12 6 d où EA = 8 8 = 9. Donc EA = 9 cm. b/ En utilisant : AB CD = EB ED on peut écrire : 7,5 CD = 6 60 donc 6 CD = 8 7,5 d où CD = 8 6 = 10. Donc CD = 10 cm. 3
4 ème D DS4 triangles : milieux, parallèles sujet 1 2009-2010 Exercice 3 : (4 points) a) b) Données : (IJ) (KN) (NM) (KN) Propriété : Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles. Conclusion : (IJ) // (MN) Données : (IJ) // (MN) I est le milieu de [MK] (car les diagonales d un rectangle se coupent en leur milieu) Propriété : dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d'un côté et qui est parallèle à un deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu. Conclusion : J est le milieu de [KN] Exercice 4 : (4 points) a) Données : I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [BC]. Propriété : dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté. Conclusion : IJ = AC / 2 = 8 / 2 = 4 cm b) On montre de même que JK = KL = IL = IJ = 4 cm Le quadrilatère IJKL a quatre côtés de même longueur. 4
4 ème D DS4 triangles : milieux, parallèles sujet 1 2009-2010 C est donc un losange. Exercice 5 : (2 points) Le rapport de réduction est égal à AI AB = 7,5 3+7,5 = 7,5 10,5 = 75 105 = 5 7 5
4 ème D DS4 triangles : milieux, parallèles sujet 2 2009-2010 Exercice 1 : (4 points) On sait que ABCD est un parallélogramme. Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont parallèles. Donc (AB) // (DC). Dans le triangle ABE, on sait que (DF) // (AB) et que D est le milieu de [AE] (symétrie). Si, dans un triangle, une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un deuxième côté alors elle coupe le troisième côté en son milieu. Donc F est le milieu de [BE]. Exercice 2 : (6 points) On sait que, dans le triangle CED, les droites (AB) et (CD) sont parallèles. D après la propriété de proportionnalité des longueurs dans le triangle (appelée aussi théorème de Pythagore), on a : EA EC = EB ED = AB CD. a/ En utilisant EA EC = EB et le fait que ED = EB + BD = 12 + 4 = 16 ED on peut écrire : EA 24 = 12 24 12 donc 16 EA = 24 12 d où EA = 16 16 = 18. Donc EA = 18 cm. b/ En utilisant : EB ED = AB CD on peut écrire : 12 16 = 15 15 16 donc 12 CD = 15 16 d où CD = CD 12 = 20. Donc CD = 20 cm. 6
4 ème D DS4 triangles : milieux, parallèles sujet 2 2009-2010 Exercice 3 : (4 points) a) b) Données : (IJ) (AD) (AD) (DC) Propriété : Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles. Conclusion : (IJ) // (DC) Données : (IJ) // (DC) I est le milieu de [AC] (car les diagonales d un rectangle se coupent en leur milieu) Propriété : dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d'un côté et qui est parallèle à un deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu. Conclusion : J est le milieu de [AD] Exercice 4 : (4 points) a) Données : A est le milieu de [IJ] et B est le milieu de [JK]. Propriété : dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté. Conclusion : AB = IK 2 = 3 cm b) On montre de même que BC = CD = AD = AB = 3 cm Le quadrilatère IJKL a quatre côtés de même longueur. 7
4 ème D DS4 triangles : milieux, parallèles sujet 2 2009-2010 C est donc un losange. Exercice 5 : (2 points) Le rapport d agrandissement est égal à ST SV = 8 8 2,5 = 8 5,5 = 80 55 = 16 11 8