Cours 7 : Ecoulement supersonique bidimensionnel, stationnaire, adiabatique, d un fluide non-visqueux

Master Dynamique des fluides et énergétique Cours 7 : Ecoulement supersonique bidimensionnel, stationnaire, adiabatique, d un fluide non-visqueux Théorie des caractéristiques Méthode numérique des caractéristiques Reynald Bur Reynald.Bur@onera.fr

Écoulement supersonique bidimensionnel, stationnaire, adiabatique, d un fluide non visqueux Dassault Aviation Mirage 000 et Rafale

Les méthodes de prévision en aérodynamique classique LES EQUATIONS GENERALES DU MOUVEMENT ESSAIS EN SOUFFLERIE EQUATIONS DE NAVIER-STOKES APPROXIMATION DU FLUIDE NON VISQUEUX Cas général : Equations d'euler Ecoulement irrotationnel Equation du potentiel Monodimensionnel Bidimensionnel complète linéarisée stationnaire instationnaire Supersonique : Méthode des caractéristiques Ecoulement incompressible Equation de Laplace Solutions analytiques Méthode des singularités théorie des profils minces et de la ligne portante Transsonique, Supersonique : Méthodes numériques Tridimensionnel : Méthodes numériques L'approximation de couche limite Equations d'euler : modèles non visqueux PRISE EN COMPTE DES EFFETS VISQUEUX frottement, flux de chaleur Méthode de couplage : fluide parfait - fluide visqueux Problème complet Résolution numérique des équations de Navier -Stokes Simulation numérique directe (DNS) Simulation des grosses structures (LES) Equations moyennées (RANS)

Théorie des caractéristiques Système de coordonnées intrinsèques y y P V ϕ x ligne de courant y O x x : selon la ligne de courant y : selon la normale locale y : distance à l axe de révolution

Équations du mouvement en coordonnées intrinsèques ϕ x y sinϕ y ( ρ V ) + ρ V + ε 0 continuité mouvement V ρ V x ρ V ϕ x + + p x p y 0 0 (équilibre radial) énergie s x 0 isentropie ε 0 ε : écoulement plan : écoulement de révolution

Équations du mouvement en coordonnées intrinsèques V - vitesse du son V a ρ x p ρ + ρ V s ϕ y + ε ( p / x) ( ρ / x ) sinϕ y p x 0 (car isentropique) V p ϕ + ρv ε ρv a x y sinϕ y ρv ϕ x + p y 0 s x 0 système différentiel du premier ordre quasi linéaire

Problème de Cauchy : prolongement de la solution de P en P+dP y P V ϕ x courbe initiale (C) dy P + dp dx écoulement connu sur la courbe initiale (C)

Directions caractéristiques angle de Mach α α Arc sin M l angle de Mach n est défini que si M> supersonique directions caractéristiques - montante (η) angle +α par rapport au vecteur vitesse - descendante (ξ) angle - α par rapport au vecteur vitesse y + α caractéristique montante V P - α caractéristique descendante x

Relations ou équations caractéristiques Formes que prennent les équations de conservation projetées sur les directions caractéristiques les équations de base sont projetées sur les directions caractéristiques (η) et (ξ) au moyen des opérateurs η cosα x + sinα y ξ cosα x sinα y

Relations caractéristiques équations caractéristiques pour des variations le long de (η) et (ξ) sur (η) sinα γ cos p α p η + ϕ η ε sinα sinϕ y sur (ξ) sinα γ cos p α p ξ ϕ ξ ε sinα sinϕ y chaque équation ne fait intervenir que les dérivées par rapport à une des variables indépendantes ε 0 ε : écoulement plan : écoulement de révolution

Relations caractéristiques autres formes sur (η) γ M pm p η + ϕ η ε sinα sinϕ y sur (ξ) γ M pm p ξ ϕ ξ ε sinα sinϕ y ε 0 ε : écoulement plan : écoulement de révolution

Relations caractéristiques autres formes écoulement bidimensionnel plan sur (η) γ M ( + ) ( + ) δp + δϕ pm 0 sur (ξ) γ M ( ) ( ) δp pm δϕ 0 δp (+), δϕ δϕ (+) δp (-), δϕ δϕ (-) variations de p et ϕ pour un déplacement δη sur (η) variations de p et ϕ pour un déplacement δξ sur (ξ)

i M p p γ γ γ + Cas du gaz calorifiquement parfait M MdM p dp γ + γ p i constante M dm M M p dp M M γ + γ Relations caractéristiques

Relations caractéristiques Cas du gaz calorifiquement parfait il existe une fonction ω(m,γ) telle que : dω + M γ M dm M ω(m, γ) γ γ + Arctg γ γ + ( ) M Arctg M nombre de pression de Busemann ou angle de Prandtl-Meyer

Relations caractéristiques Propriétés de la fonction de pression ω(m,γ) ω (M) M valeur asymptotique ω ω max (γ) O M angle limite γ + ωmax ( γ) 90 30,45 pour γ γ,4

Propriétés de la fonction de pression ω(m,γ) ω 300 g.0 om(lim) 3.43 g.5 om(lim) 50.73 ( ) g.0 om(lim) 08.50 g.5 om(lim) 80.00 g.30 om(lim) 59.0 50 g.35 om(lim) 43. g.40 om(lim) 30.45 00 50 00 50 0 3 4 5 6 M

Relations caractéristiques Écoulement plan d'un gaz calorifiquement parfait sur (η) M dp + dϕ γ pm 0 dω ( M, γ) dϕ d[ ω( M, γ) ϕ] 0 sur (ξ) M dp dϕ γ pm 0 dω ( M, γ) + dϕ d[ ω( M, γ) + ϕ] 0 sur (η) ω( M, γ ) ϕ cons tante sur (ξ) ω( M, γ ) + ϕ cons tante

Transmission d'une perturbation écoulement uniforme jusqu'à la section AH écoulement uniforme M, p 0 0 ϕ 0 0 ( ) ξ 0 H P 0 ( ) η 0 ( η 0 ) A paroi rectiligne A B sur caractéristique ( η 0 ) sur caractéristique ( ξ 0 ) ω( M, γ ) ϕp ω(m 0) ϕ0 (M 0) P ω 0 0 ω( M, γ ) + ϕp ω(m 0) + ϕ0 (M 0) P ω 0 0 ω M ϕ ϕ 0 ( MP, γ ) ω(m 0) MP 0 0 0 P 0 0 écoulement uniforme jusqu'à la caractéristique ( η 0 ) A

Onde simple progressive de détente (ξ) (ξ) (η 0 ) M 0 (η) P 0 P 3 A Q B P P (η ) (η) Q M les points P et P sont sur la même onde montante (η)

Onde simple progressive de détente les points P et P sont sur la même onde montante (η) ω( M ϕ P, γ ) ϕ ω(m, γ ) P Q Q 3 4 sur la (ξ) sur la (ξ) ω( MP, γ ) + ϕp ω(m0, γ ) ω( M ϕ ω P, γ ) ϕ ω(m, γ ) P Q Q ( 0 MP, γ ) + ϕp ω(m, γ ) + 3 + 4 ω(m ϕ P, γ ) ω(m, γ ) + ω(m, γ ) Q 0 Q ω(m ϕ P, γ ) ω(m, γ ) + ω(m, γ ) Q 0 Q - 4-3 ϕ + ϕ P ω(m, γ ) ω(m, γ ) 0 Q Q ϕ + ϕ P ω(m, γ ) ω(m, γ ) 0 Q Q

Onde simple progressive de détente ω ( MP, γ ) ω(m, ) (M P γ ω Q ϕ ϕ ϕ P P Q, γ ) l écoulement est constant sur toute onde (η) sur l onde (ξ) aboutissant en Q ω( MQ, γ ) + ϕq ω(m0, γ ) ω( M ϕ Q, γ ) ω(m0, γ ) Q ω( M, γ ) > ω(m, ) car 0 γ ϕq Q < 0 (paroi convexe) les ondes (η) forment une onde de détente

Onde simple progressive de détente pente des caractéristiques (η) ψ ϕ + α ( η) α ψ ϕ V écoulement constant sur chaque (η) : ondes (η) rectilignes détente : la pression diminue dans l onde le nombre de Mach augmente α diminue comme ϕ diminue ψ ϕ + α diminue les ondes (η) sont de plus en plus couchées les ondes de détente (η) sont des droites divergentes

Onde simple progressive de détente à la limite : arc AB 0 discontinuité de pente ( ) η 0 ( η) M 0 AB ϕ M ( ) η ω( M, ϕ γ ) ω(m0, γ ) faisceau d ondes de détente centrées de Prandtl-Mayer

Onde simple progressive de détente ondes ( η) ondes ( η) M 0 M 0 p M p AB M pression à la paroi p0 p0 p p x x détente étalée détente centrée

Onde simple progressive de détente A B A (ξ) (ξ) détente étalée détente centrée paroi "en haut" détente par ondes descendantes (ξ)

Détente centrée à l'origine d'un jet supersonique ( f) p p a E ϕ M M0, V 0 la pression p a est imposée nombre de Mach M déflexion ϕ ϕ ϕ ω M, γ) ω( M, γ) 0 ( 0

Déviation maximale pour une détente jusqu au vide détente depuis M ϕ ω( M, γ ) vide p 0 ϕ max si M ϕ max ω max ϕ ϕmax ( γ) ( ϕ max 30,45 pour γ,4) détente depuis M 0 : ϕ max ϕ ϕ 0 ω max ( γ) ω(m0, γ )

Onde simple progressive de détente M 0 3 perturbation frontière de la couche limite défaut de surface document Onera - strioscopie interférentielle détente centrée provoquée par une déviation de paroi

Détente centrée à l'origine d'un jet supersonique région sonique détente centrée couche de mélange ligne de glissement document Onera - interférogramme détente centrée provoquée par un décrochement de paroi

Éclatement des jets des boosters du lanceur de la Navette Spatiale

Éclatement des jets des boosters du lanceur de la Navette Spatiale

Éclatement des jets des boosters du lanceur de la Navette Spatiale

Éclatement des jets des boosters du lanceur de la Navette Spatiale l angle de déflexion limite est atteint à haute altitude

Onde simple progressive de compression ondes ( η) M 0 ( ) η 0 ( ) η (ξ) P M A P Q B ϕ les points P et P sont sur la même onde montante (η) passant par le point Q à la paroi

Onde simple progressive de compression les points P et P sont sur la même onde montante (η) passant par le point Q à la paroi ω( M ϕ P, γ ) ϕ ω(m, γ ) P Q Q sur la (ξ) ω( MP, γ ) + ϕp ω(m0, γ ) ω( M ϕ P, γ ) ϕ ω(m, γ ) P Q Q sur la (ξ) ω ( 0 MP, γ ) + ϕp ω(m, γ )

Onde simple progressive de compression ω ( MP, γ ) ω(m, ) (M P γ ω Q ϕ P ϕ ϕ P Q, γ ) l écoulement est constant sur toute onde (η) sur l onde (ξ) aboutissant en Q ω( MQ, γ ) + ϕq ω(m0, γ ) ω( M ϕ Q, γ ) ω(m0, γ ) Q ω( M, γ ) < ω(m, ) car 0 γ ϕq Q > 0 (paroi concave) les ondes (η) forment une onde de compression

Onde simple progressive de compression pente des caractéristiques (η) ( η) α ψ ϕ V ψ ϕ + α écoulement constant sur chaque (η) : ondes (η) rectilignes compression : la pression augmente dans l onde le nombre de Mach diminue α croît comme ϕ augmente ψ ϕ + α croît les ondes (η) sont de plus en plus redressées les ondes de compression (η) sont des droites convergentes

Onde simple progressive de compression (η ) (η 0 ) P onde de choc (C) ligne de courant M 0 M F M M 0 ϕ A B A B les ondes de compression peuvent se croiser plusieurs états sont possibles en aval du point de croisement la solution par onde progressive n est plus acceptable au-delà du point de focalisation des ondes de compression il faut introduire une discontinuité ou onde de choc

Onde simple progressive de compression à la limite : arc AB 0 discontinuité de pente (η ) (η 0 ) onde de choc (C) M M 0 ϕ ϕ A A l onde finale précède l onde initiale! il faut remplacer l onde progressive par une onde de choc

Onde progressive de compression ( η) ( η) 0 il y a en un point du domaine limité par les caractéristiques 0 X ( η) 0, ( η) trois états possibles impossibilité physique nécessité d'une onde de choc p p 0 p 0 X

Théorie des caractéristiques Solutions élémentaires Onde progressive de détente détente étalée détente centrée p p a détente d un jet Onde progressive de compression focalisation onde de choc

Structure d'un jet supersonique document Onera

Structure d'un jet supersonique plan isobare sous - détendu 0,, 4, 6, 8, 0... régions uniformes, 3, 5, 7, 9,... régions par ondes simples frontière isobare (f) ligne de courant 0 p a 3 4 5 6 7 8 9 0 frontière isobare (f) onde de détente onde de compression

Structure d'un jet supersonique plan isobare sous - détendu Formation d'un choc par focalisation d'ondes de compression frontière isobare (f) point de focalisation zone rotationnelle onde de choc frontière isobare (f) point de focalisation zone rotationnelle

Structure d'un jet supersonique plan isobare sur - détendu Réflexion régulière de l'onde de choc sur le plan de symétrie ϕ frontière isobare (f) ligne de courant ϕ frontière isobare (f)

Structure d'un jet supersonique plan isobare sur - détendu Formation d'un disque de Mach 0 disque de Mach frontière isobare (f) ( C ) ( C ) ( ) C 3 3 M < point triple ligne sonique M > ligne de glissement frontière isobare (f) point triple

Intersection régulière de deux ondes de choc ( ) C ϕ ( ) C 3 X' I ϕ X ' ( C ) ' ( C )

Intersection régulière de deux ondes de choc soufflerie S8Ch Onera intersection régulière à Mach,95

Intersection régulière de deux ondes de choc ( ) polaire Γ p p cas M.95, ϕ 8 ( ) polaire Γ choc ( ) C 3 choc ( ) C ϕ ϕ ϕ intersection régulière dans le plan des polaires de choc

Intersection singulière ou phénomène de Mach ( ) C ϕ ( ) C X' point triple disque de Mach M > point triple ( ) C 3 ' ( C ) M > ' ( ) 4 3 C ( Σ) lignes de glissement M > M < ( Σ' ) X

Intersection singulière ou phénomène de Mach soufflerie S8Ch Onera intersection singulière ou phénomène de Mach à M,95

Intersection singulière ou phénomène de Mach shock ( C ) 3 p p cas M.95, ϕ 5 4 shock ( ) C 3 ( ) polar Γ shock ( ) C ( ) polar Γ ϕ ϕ ϕ intersection singulière dans le plan des polaires de choc

Disques de Mach dans un jet supersonique disques de Mach dans le jet d'un F04 apparition de points chauds rayonnement fortement dans l'infra-rouge vulnérabilité aux missiles anti-avion

Jet débouchant d'une tuyère propulsive de révolution ligne de glissement onde de choc de confluence écoulement externe

Jet débouchant d'une tuyère propulsive de révolution ( ) C choc droit ( ) C 3 point triple ( ) C subsonique lignes de glissement formation d'un disque de Mach

Théorie des caractéristiques Méthode numérique des caractéristiques soufflerie S5Ch de l'onera

Théorie des caractéristiques Directions caractéristiques angle de Mach α α Arc sin M y caractéristique montante ( ) η + α V P α caractéristique descendante ( ) ξ l angle de Mach n est défini que si M > supersonique x

Théorie des caractéristiques Équations caractéristiques sur (η) sinα γ cos p α p η + ϕ η ε sinα sinϕ y sur (ξ) forme équivalente sur (η) sinα γ cos p α p ξ M p + γ pm η ϕ ξ ϕ η sinα sinϕ ε y sinα sinϕ ε y sur (ξ) γ M pm p ξ ϕ ξ ε sinα sinϕ y écoulement plan : ε 0 - écoulement de révolution : ε

Méthode numérique des caractéristiques On pose pour condenser l écriture pression p r Z p z Log p r pression de référence constante M γ M N entropie s sinα sinϕ ε y p Log p i r Relations caractéristiques de travail Z dz Z dz + dϕ Ndη dϕ Ndξ dz, dϕ variations de z et ϕ le long de ( ) η ( ) ou ξ

Méthode numérique des caractéristiques Point courant : opérateur N calcul de l écoulement au sein d un champ l écoulement au point 3 est calculé à partir des points et où il est connu le point 3 est à l intersection : - de la (ξ) passant par - de la (η) passant par

Méthode numérique des caractéristiques Relations caractéristiques discrétisées et linéarisées Z Z ( (n) ) ( (n) ) (n ) z z ϕ ϕ 3 δξ 3 3 3 N ( (n) ) ( (n) ) (n ) z z + ϕ ϕ 3 δη 3 3 3 N (n) : rang de l itération courante (n-) : rang de l itération précédente où l état est connu valeurs moyennes pour la linéarisation: Z N ( (n ) Z + ) ( (n ) Z ) 3 Z + Z3 3 Z3 ( (n ) N + ) ( (n ) N ) 3 N + N 3 N3 3

Méthode numérique des caractéristiques Les caractéristiques sont assimilées à des droites - passant par et de pente pour la (ξ) ψ 3 - passant par et de pente pour la (η) ψ 3 3 3 ( (n ) (n ) ϕ α + ϕ α ) 3 3 ( (n ) (n ) ϕ + α + ϕ + α ) la résolution du système linéarisé donne un nouveau couple de valeurs [ ] (n) (n) z ϕ 3, d où l engagement dans un nouveau cycle d itération 3

Écoulement à entropie variable ou méthode des caractéristiques rotationnelle (voir relation de Crocco) l entropie est interpolée entre les lignes de courant passant par et s 3 s sin sin ( α3 ) η + s sin( α3 ) ( α ) η + sin( α ) ξ 3 3 ξ

Méthode numérique des caractéristiques Cycle d itération (n ) (n ) [ z 3, ϕ ] 3 x (n ) (n ) 3, y3 δξ (n ), δη (n ) Z 3, Z3, N3, N3 équations linéarisées état (n) remplace état (n-) [ ] (n) (n) z ϕ 3, 3 test de convergence non z (n) (n ) 3 z3 < εz et ϕ (n) 3 ϕ (n ) 3 < ε ϕ ( ) n s 3 oui passage au point suivant

Méthode numérique des caractéristiques Point sur une paroi : opérateur P la condition de glissement impose la direction de la vitesse ϕ p en P le point 3 est calculé à l intersection de la paroi et de la (η) assimilée à une droite de pente Z P 3 ( (n ) (n ) ϕ + α + ϕ + α ) ψ3 la relation caractéristique permet de calculer la pression en 3 ( (n) ) ( (n) ) (n ) z z + ϕ ϕ 3 δη 3 3 P N

Méthode numérique des caractéristiques Point sur une frontière fluide : opérateur J (j) la condition sur (j) impose la pression p 3 le point 3 est calculé à l intersection - de la frontière (j) : droite passant par de pente : - de la (η) : droite de pente : ψ 3 J J ϕ J (n ( ϕ ) + ϕ3 ( (n ) (n ) ϕ + α + ϕ + α ) la relation caractéristique permet de calculer la direction ϕ J en 3 ) Z ( (n) ) ( (n) ) (n ) z z + ϕ ϕ 3 δη 3 J J N

Méthode numérique des caractéristiques Point sur un axe de révolution : opérateur A problème : expression du terme N sinα sinϕ y sur axe de révolution y 0, ϕ 0 d'où : N 0 0 il faut lever l indétermination sinϕ ϕ 0 + ϕ y ξ dy ϕ y ξ y sinϕ y ϕ y ξ δϕ δy sinα sinϕ y δξ ϕ y ξ δξ sinα δϕ δy δy sinα sinα δϕ forme limite Z dz dϕ 0

Méthode numérique des caractéristiques Point sur un axe de révolution : opérateur A axe de révolution la condition sur l axe impose la direction ϕ 3 0 première relation (en ) : deuxième relation (en 3) : Z ( z z ) + ϕ δξ 3 N ( z z ) + ϕ 0 Z3 3 évaluation avec la moyenne z 3 z ϕ Z + Z 3 N Z δξ

Méthode numérique des caractéristiques Origine d un faisceau de détente : opérateur Q en Q la relation caractéristique sur (η) tend vers M γ M dp p + dϕ Ndη enq dη 0 M γ M dp p + dϕ 0 écoulement plan

Méthode numérique des caractéristiques Origine d un faisceau de détente : opérateur Q entre les états 0 et ω( M, γ) ω(m0, γ) + ϕ ϕ0 ω(m0, γ) + ϕ ϕ ϕ0 + ω( M, γ) ω(m0, γ) la détente est fractionnée en N Q détentes élémentaires δϕ ϕ N Q ϕ n ϕ 0 + n δϕ ω( Mn, γ) ω(m0, γ) + n δϕ

Méthode numérique des caractéristiques Domaines de dépendance et d'influence domaine calculable à partir d'une courbe initiale (C) non caractéristique courbe initiale (C) ABP : domaine de dépendance de P QAB : domaine d'influence de Q le calcul ne peut être prolongé au-delà de AP et BP

Méthode numérique des caractéristiques Données de départ sur une courbe caractéristique caractéristique montante 0 0 A courbe initiale (C) 03 04 3 4 caractéristique descendante 05 B 5 si la courbe initiale (C) est caractéristique, le champ ne peut être prolongé en dehors de (C)

Méthode numérique des caractéristiques Domaine calculable à partir d'une courbe initiale (C) non caractéristique et d'une paroi A C le calcul ne peut être prolongé au-delà de la descendante AC

Méthode numérique des caractéristiques Domaine calculable à partir d'une caractéristique initiale et d'une paroi caractéristique initiale (η 0 ) paroi la condition sur la paroi permet de prolonger le calcul au-delà de (η 0 ) on ne peut dépasser la descendante (05,45) si (η 0 ) s'arrête en 05

Écoulements élémentaires : détente continue par ondes simples caractéristiques M 0,5 déflexion : ϕ 0

Écoulements élémentaires : détente continue par ondes simples caractéristiques M 0,5 déflexion : ϕ 0 contours iso-mach

Écoulements élémentaires : compression et focalisation caractéristiques M 0,5 déflexion : ϕ + 0

Écoulements élémentaires : compression et focalisation caractéristiques zoom sur la focalisation M 0,5 déflexion : ϕ + 0

Écoulements élémentaires : compression et focalisation contours iso-mach M 0,5 déflexion : ϕ + 0 contours iso-pression génératrice

Application de la méthode des caractéristiques Définition de la forme d une tuyère supersonique

Application au calcul d une tuyère supersonique problèmes - direct calculer l'écoulement produit par une tuyère de forme donnée - inverse calculer le contour d'une tuyère donnant un écoulement aux propriétés données (uniforme, par exemple) deux étapes principales - calculer le domaine transsonique au col par une méthode adéquate (analytique, numérique) - à partir d'une caractéristique initiale déduite de, prolonger le calcul dans la partie supersonique par la méthode des caractéristiques

Détermination de la région transsonique du col paroi au col y R col géométrique v V axe de révolution ou plan de symétrie h our c u x O

Structure de la région transsonique du col d une tuyère ligne sonique : lieu géométrique des points tels que u + v ligne des sommets : points où la vitesse est parallèle à l axe ou des cols v 0 la ligne des sommets peut être graduée en valeurs de la courbure x v u R v 0 ( u / x) u

Structure de la région transsonique du col d une tuyère caractéristique de départ pour la partie supersonique définie par dy dx tg( ϕ α) avec α Arcsin M Arc sin u a + v et ϕ Arctg v u

Structure de la région transsonique du col d une tuyère ligne sonique ligne des cols ligne de courant la ligne sonique du col géométrique, elle présente une courbure la solution analytique obtenue par résolution de l équation du potentiel est valable tant que R/h > 4

Autre méthode : calcul de l écoulement dans la région du col par résolution des équations d Euler.5 0.5 Y 0-0.5 - -.5 - - - 0 X exemple : tuyère sonique pour le cas R/H

Autre méthode : calcul de l écoulement dans la région du col par résolution des équations d Euler.5 0.5 R 0-0.5 - -.5 - - - 0 exemple : calcul Euler pour le cas R/H, maillage X

Autre méthode : calcul de l écoulement dans la région du col par résolution des équations d Euler.5 0.5 R 0-0.5 - -.5 - - - 0 X exemple : calcul Euler pour le cas R/H, plages iso-mach

Autre méthode : calcul de l écoulement dans la région du col par résolution des équations d Euler ligne sonique caractéristique de départ Y 0.5 ligne des sommets 0 - -0.5 0 0.5 X exemple : domaine sonique pour le cas R/H

Détermination de la région transsonique du col ligne sonique y 00 0 0 03 dy M < M > caractéristique initiale ou de départ ( ξ) 0 0 04 05 06 x

Calcul de l'écoulement dans une tuyère de forme donnée : mode direct cheminement : 0+P, 0 +, +P - 0+ 3, 3+, +P 3-04+3 4, +4 3 etc jusqu'à la dernière montante [35,7]

Calcul de l'écoulement dans une tuyère de forme donnée : mode direct nombre de Mach en sortie M 0 réseau des caractéristiques

Calcul de l'écoulement dans une tuyère de forme donnée : mode direct nombre de Mach en sortie M 0 réseau des caractéristiques zoom sur la région du col

Calcul de l'écoulement dans une tuyère de forme donnée : mode direct nombre de Mach en sortie M 0 plages iso nombre de Mach

Calcul du contour d'une tuyère produisant un écoulement donné : mode inverse ou design la section de sortie A E et le nombre de Mach en sortie M E étant donnés calculer la section du col : A c A Σ(M E E, γ) Étape : calculer le domaine transsonique par la méthode numérique Étape : en extraire une caractéristique de départ (ξ 0 ) située dans la partie supersonique (caractéristique partant du col géométrique)

Calcul du contour d'une tuyère produisant un écoulement donné : mode inverse ou design Étape 3 : fixer une répartition de Mach sur l'axe de la tuyère a - passer par le point 0 dans le domaine transsonique connu b - atteindre un niveau M M E à partir de x x E c - être constante à la valeur M M E au-delà de x E X E

Calcul du contour d'une tuyère produisant un écoulement donné : mode inverse ou design Étape 4 : à partir de (ξ 0 ) et de la loi de Mach imposée sur l'axe, calculer l'écoulement supersonique par la méthode des caractéristiques

Calcul du contour d'une tuyère produisant un écoulement donné : mode inverse ou design Étape 5 : mise en place de la paroi de la tuyère conservation du débit entre le col et le point P n sur une caractéristique calculée dq m d πρ ( V.n) y ξ dq m q πρ V sinα ydξ d m ξ πρa ydξ débit au col q m π P 0 0 ρ a y d débit à travers (ξ) π P 0 n ρa ydξ q m définit la position du point P n à la paroi

Calcul du contour d'une tuyère produisant un écoulement donné : mode inverse ou design données de définition de la tuyère : M 0 donnée : nombre de Mach sur axe Algorithmique calcul du domaine transsonique caractéristique de départ opérateur A : point sur l'axe opérateur N : point courant calcul du débit q m sur la (ξ) en cours caractéristique (ξ) q m > (q m ) col non fin du calcul non oui oui Mach paroi constant M 0 localisation du point de la paroi

Définition d'une tuyère plane Mach Y X caractéristique de départ

Définition d'une tuyère plane Mach Mach X loi de nombre de Mach imposée sur l'axe

Définition d'une tuyère plane Mach réseau des caractéristiques calculées

Définition d'une tuyère plane Mach réseau des caractéristiques - zoom sur la région du col

Définition d'une tuyère plane Mach plages iso nombre de Mach

Structure de l écoulement dans une tuyère supersonique A α 0 M ligne de Mach 0 C α 0 A α 0 angle de Mach Arc sin M 0 écoulement uniforme en aval de CA et CA

Structure de l écoulement dans une tuyère supersonique A α 0 α 0 C C α 0 α 0 A écoulement uniforme dans le domaine CAC A rhombe de Mach

Soufflerie supersonique équipée d'une tuyère en forme maquette dans le rhombe de Mach tuyère Mach de la soufflerie S5Ch de l'onera-meudon

Tuyère symétrique plane type coquetier Caractéristiques M0,005 ME

Tuyère symétrique plane type coquetier Caractéristiques M0,005 ME

Tuyère symétrique plane type coquetier Plages iso-mach M0,005 ME

Tuyère symétrique plane type coquetier M0,005 ME Plages iso-mach

Tuyère symétrique plane type coquetier Caractéristiques domaine calculable M0,005 ME

Tuyère symétrique plane type coquetier Nombre de Mach sur les parois.5 M0,005 ME Mach.5 paroi superieure paroi inferieure 0.5 0 0 0 30 40 50 60 x

Jet supersonique plan caractéristiques contours iso-mach M p p p p 0 a 0 0 a 0,469,3 première cellule

Jet supersonique de révolution caractéristiques M p p p p 0 a 0 0 a 3 0,47 6,8 départ du choc de focalisation

Jet supersonique de révolution contours iso-mach M p p p p 0 a 0 0 a 3 0,47 6,8 contours iso pression génératrice

Fin du cours avion de transport supersonique Concorde