Chapitre APPLICATION Corrigés des exercices 63 a V(r) = 4 3 π r3 ; V (r)= 4 π r = S(r) a Sur R *, f ( x ) = x ( x 3 ) = x 4 3 x b Sur R *, g ( x ) = 3 ( x x ) x x = 3 4x x x a Sur R, f ( x ) = 6cos3x sin 4x ; b Sur R, g ( x ) = 5 sin(3x ) 7 f ( x ) = 3 ( x ) ( 3 x 7 ) = ( x ) ( x ) Pour a =, f ( ) = 4 et f ( ) = Équation réduite : y = (x ) 4 = x 3 Pour b = f () = 6 et f () = 3 4 Équation réduite : y = 6 (x ) 3 4, soit y = 6 x 7 8 3 Sur R, f ( x ) = 4(4x 5) = 8(4x 5), dy = 8(4x 5)dx Sur R \ { }, g ( x ) = ( x ) ( 3 x) 4 = ( x ) ( x ) 4 dy = ( x ) dx 43 x() = 3, x() = x (t) = 3t 4t ; x () = et x () = 7 x (t) = 6t 4 ; x () = 4 et x () = APPROFONDISSEMENT 5 Sur ] ; [, f ( x ) = x La fonction f est dérivable sur cet intervalle donc en On a f ( x ) =, donc f () = Si x >, g ( x ) = x et g ( ) = Le rapport g( x ) g( ) = x a le nombre réel pour limite à x droite en Si < x <, g ( x ) = x et g ( ) = Le rapport g( x ) g( ) = x a le nombre réel pour limite x à gauche en En conclusion, la fonction g n est pas dérivable en car les nombres dérivés en à droite et en à gauche, respectivement et, sont différents, b Cube : V(a) = a 3 ; V (a) = 3a Or S(a) = 6a = V (a) 73 a f est dérivable sur R et f ( x ) = x x x b g est dérivable sur ] ; [ et sur ] ; [ x avec g ( x ) = ( x ) x 78 f ( x ) = 3( tan 3x ), g ( x ) = 6 tan(3x)( tan 3x) 8 f () = a ; f ( x ) = b cx 3dx ; f () = b f ( x ) = c 6dx ; f () = c f (3) ( x ) = 6d ; f (3) () = 6d 84 f ( x ) = tan x = f ( x ) cos x f ( x ) = cos x d où cos x cos x tan x = tan x, donc la fonction f est solution de l équation différentielle (E) 86 f ( x ) = sinx cosx f ( x ) = cosx 4sinx = 4f( x ) d où f ( x ) 4f( x ) = La fonction f est donc solution de l équation différentielle proposée 89 Étudions les variations de la fonction f f ( x ) = 6x x = x (3x 5) Tableau de variations x f ( x ) f Plus petite valeur : 98 7 3,63 Plus grande valeur : 5 3 3 98 7 chapitre Dérivation
Chapitre Pour préparer le bac ROC Démonstration : Voir le cours partie b, p 68 Justification du dernier résultat : Application Voir le cours p 69 La réciproque est fausse Voir Le cours en action, Se méfier, p 69 VRAI ou FAUX? a Vrai : deux asymptotes verticales d équations : x = et x = Une seule asymptote horizontale d équation : y = b Faux : voir a c Faux : f ( x ) = x 8 x donc ( x x ) f ( 3 ) = 7 8 Épreuve pratique Le traitement des questions utilisant des Tice sont proposées sur calculatrice TI 8 stats et sur logicel TI Nspire Les écrans ci dessous peuvent être réalisés sans difficultés sur une Casio Graph 35 (voir p 6 du manuel) Calculatrices scientifiques A La courbe C est la courbe qui passe par le point de coordonnées ( ; 6) (l unité correspond à 4 sur l axe des ordonnées) d Vrai : f () =,5 et f () =, d où l équation réduite de la tangente au point d abscisse : y =,5(x ) soit y =,5x,5 e Vrai : voir c EXERCICE A f ( x ) = cos x x ; f ( x ) = sin x x ; f (3) ( x ) = cos x x f (3) ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) 3 Pour x, f ( x ) et f ( x ) d où l encadrement Lorsque x, x sinx x x 3 6 4 On utilise 3 et on étudie les limites à droite et à gauche pour la continuité et la dérivabilité La fonction g est continue et dérivable en et g () = Procédure calculatrice : recherche d une racine, p 4 ou 6 a Le triangle remarquable d aire 6 cm est le triangle ABB (H est en O, x = ) L autre triangle de même aire correspond à x 3,357 Procédure calculatrice : recherche d une intersection, p 4 ou 6 b Le triangle d aire maximale est tel que x Le graphique donne la valeur qui annule la dérivée donc l abscisse correspondant au triangle d aire maximale Le point H correspondant est le milieu du segment [OA ] Le graphique ci dessous donne une valeur approchée de l aire maximale :,7846, soit à 3 près :,785 B I = [, ;,] pour un pas de, I = [,8 ;,8] pour un pas de, J = [,6 ;,6] pour un pas de, J = [,65 ;,65] pour un pas de, 3 I = [,8 ;,8] pour un pas de, J = [,4 ;,4] pour un pas de, Procédure calculatrice : recherche d un maximum, p 4 ou 6 chapitre Dérivation
B AH = 4 x ; MM = 6 x d où l aire f ( x ) x 4 4 f ( x ) f ( x ) 3 L aire maximale vaut 3 (valeur approchée :,7846) et l abscisse correspondante est Le triangle d aire maximale est équilatéral (considérations d angles :,5 = cos ) Sur logiciel TI Nspire Voir le fichier prbac ctns La page 5 de ce fichier correspond à la demande de l énoncé Toutefois, il peut être intéressant d effectuer, avec le logiciel, une recherche s appuyant exclusivement sur la figure donnée Voici la procédure : Page : figure proposée par l énoncé Page : on effectue une capture de données dans le tableur Page 3 : on trace le nuage de points correspondant ; on peut alors évaluer l abscisse du maximum et les valeurs de x pour lesquelles f ( x ) = x Page 4 : calculs correspondants (avec TI Nspire CAS, calcul formel) Page 5 : tracés des courbes représentant f et f et de la droite d équation y = 6, ainsi que les résultats demandés chapitre Dérivation 3
Chapitre Les TICE Exploiter les courbes Pour représenter les fonctions, on a choisi pour TI et pour Casio la fenêtre suivante : Xmin = ; Xmax = 4 ; Ymin = 4 ; Ymax = 4 Applications On place en Y, l expression de f ( x ) et en Y, celle de sa dérivée Procédures calculatrice : recherche d une racine, puis recherche d un minimum, p 4 ou 6 x f ( x ) f La courbe représentative de la fonction et de sa dérivée figurent ci-dessous La dérivée s annule pour les réels 5 (valeur approchée indiquée :,6834) et 5 La fonction f est décroissante jusqu à 5 puis croissante de ce réel à 5 puis décroissante La calculatrice permet aussi de vérifier que la droite d équation y = est asymptote à la courbe Position de la courbe et de son asymptote oblique On rend inopérante Y, on définit Y 3 et Y 4 comme indiqué dans la page Tice Sur TI, pour Y 4, on obtient Y avec la séquence : VARS (Function) (Y ) On opère de même pour obtenir Y 3 Procédure calculatrice : recherche d une racine, p 4 ou 6 On place en Y, l expression de f ( x ) et en Y, celle de sa dérivée Sur Casio, VARS F4 (GRPH) F (Y) On obtient : Y 4 (),96 et Y 4 ( 5 ) 5 Procédure calculatrice : calcul d une valeur, p 4 ou 6 4 chapitre Dérivation
La dérivée s annule pour x = 3 et pour x = 3 Sur l écran ci-dessous figurent les représentations de la fonction et de sa dérivée pour x < et la matérialisation de l annulation de la dérivée Sur le dernier écran figurent les représentations de la fonction et de sa dérivée et la matérialisation du minimum relatif de la fonction pour x = 3 La courbe représentative de la fonction f possède une asymptote verticale d équation x = et une asymptote oblique d équation y = x 3 qui est tracée sur l écran chapitre Dérivation 5