Chapitre A 1 : Logique, ensembles, applications

Chapitre A 1 : Logique, ensembles, applications Les mathématiciens sont comme les français : quoi qu on leur dise, ils le traduisent dans leur propre langage, et cela devient tout de suite quelque chose de très différent. 1 J.W. von Goethe. Espérons que Goethe se trompe.. ou que nous sommes français. I Un peu de logique : opérations élémentaires sur les propositions 1) Définition d une proposition. a) On dira qu une proposition est une phrase d un langage (français, mathématique, formel) à laquelle on peut affecter une valeur vraie ou faux. Exples. b) Exemple de phrases qui ne sont pas des propositions : je ne dis que des mensonges ou en version plus mathématique, la phrase P la phrase P est fausse. c) Par ailleurs, la langue courante donne lieu à des ambiguïtés : on a besoin de se donner un langage de laboratoire. Exemple : que veut-dire je ne dois pas? Même le langage mathématique courant doit parfois être précisé : par exemple que veut dire un dans la phrase la somme des angles d un triangle est égale à π radians? 2) Opérations sur les propositions : Idée : Pour ces opérations les propositions sont vues comme des variables de vérités valant V ou F, qu on met en entrée, et chaque opération fabrique une nouvelle proposition dont on regarde les valeurs V ou F. En informatique, on parle de Définitions avec table de vérité de : a) Négation : notation ( P ). Comparaison circuit électronique : porte not. Déf. : deux propositions sont logiquement équivalentes si, et seulement si, elles ont même table de vérité. Exple : ( P ) et P. b) Ou (inclusif en mathématiques sauf mention du contraire) : notation (P ou Q). C est le ou standard en maths. L autre Ou : le ou exclusif xor avec sa table de vérité. c) Et : notation (P et Q). Lien avec les opérateurs électroniques (deux entrées et une sortie binaires) : portes and et or. d) Exple : P xor Q est logiquement équivalente à e) Exemples des règles de De Morgan : Une intuition importante : Sur les exemples en français, penser qu affirmer la négation de P, c est dire, ni plus ni moins, que celui qui dit P ment (i) Première Règle de De Morgan : ( (P et Q)) et (( P ) ou ( Q)) sont log. équiv. Comment prouver un telle règle avec le cadre donné par les définitions précédentes? (ii) Deuxième Règle de De Morgan : ( (P ou Q)) et (( P ) et ( Q)) sont log. équiv. (iii) En électronique, on a des opérateurs NAND et NOR : obtention des autres à partir de ceux-ci (Exercice). f) L Implication : vers la définition de (P Q) par table de vérité. (i) Exemple en français : papa promet : si tu as ton bac alors je te paie une voiture. La seule façon de dire que papa ment, i.e. que P Q est fausse, est d avoir son bac, donc d abord d avoir P vraie, et de constater que papa ne donne pas la voiture. On en déduit 2 la définition logique de la prop. (P Q). (ii) Ainsi, une façon de comprendre la déf. logique de (P Q) c est de commencer par définir (P Q) : cette déf. est alors naturelle! 1. Die Mathematiker sind eine Art Franzosen : redet man zu ihnen, so übersetzen sie es in ihre Sprache, und dann ist es alsobald ganz etwas anderes. 2. Ce n est qu une motivation : on ne démontre pas une définition! 1

(iii) Terminologie : condition nécessaire et condition suffisante, dans le cadre de phrases du langage courant. En croyant la promesse de papa i.e. en tenant (P Q) pour vraie, on dit que P (j ai mon bac) est une condition pour avoir Q (j ai la voiture). Dans une phrase comme si tu veux réussir au concours, il faut travailler la propriété je travaille est une condition pour la réussite au concours. Que donne cette phrase en terme d implication logique? Ce qui rend les choses un peu compliquées avec ces phrases en français, c est qu une notion d ordre temporel se mêle aux implications (par exemple, dira-t-on en français que le fait que j ai la voiture est une C.N pour que j ai mon bac? non..) En maths, cette notion de temps n existe pas. Conseil de méthode : mieux vaut raisonner sur des exemples mathématiques éternels (iv) C.N. et C.S. dans le cadre plus simple des maths : Par exemple on a l implication suivante pour tout entier n N : n 4 n 2. Dans ce contexte, qui sera toujours le nôtre, c est plus simple : n 4 est une pour que n 2, et n 2 est une pour que n 4. Un mot sur les usages en mathématiques : En mathématique, on utilisera plus souvent le mot propriété comme synonyme de celui de proposition. On dit souvent on a P pour dire que P est vraie. Par exemple, on a n 2. Attention : prendre garde que si un mathématicien dit on a n 4 n 2, il ne dit PAS qu on a n 4!! C est pour cela qu il faut faire très attention à votre usage du : ne l utilisez jamais pour relier des phrases en français dans vos démonstrations! (iv) Alors comment rédiger les démonstrations? si on a (P Q) et on a P alors on a Q. Par exemple : si on a n 4 et qu on sait que n 4 n 2, on peut conclure qu on a n 2. (v) Formes équivalentes de (P Q) : (( P ) ou Q) et la contraposée ( Q) ( P ). g) Equivalence : (P Q) par table de vérité, et par ((P Q) et (Q P )). Attention, pour les mêmes raisons que le symbole, le symbole est réservé à l énoncé de propriétés formelles (calculs..). Ils ne doivent pas relier des phrases en français! Remarque : dire que (P Q) est vraie, c est dire que les prop. P et Q sont II Notions élémentaires sur les ensembles 1) Ensembles et éléments d un ensemble : a) Première intuition de ce qu est un ensemble : une liste non ordonnée d objets distincts, écrite avec des accolades. Exemple : l ensemble R des élèves du premier rang, donné comme une liste où l ordre ne compte pas, les répétitions non plus. En python, on a un type set (ensemble en anglais) 3 : >>> a={1,2,3} >>> type(a) <class set > >>> 1 in a True >>> 4 in a False >>> b={2,3,4,3,1} >>>b {1, 2, 3, 4} 3. en fait ce type est très insuffisant car il n autorise pas les ensembles d ensembles 2

Chaque élève est un élément de l ensemble R. Notation : a R. Mais à son tour un élève peut-être vu comme un ensemble de cellules, chaque cellule comme un ensemble d atomes etc... Ainsi, la notion d élément est relative à la considération d un certain ensemble. b) Ce qui précède permet de voir que la notion d ensemble est indissociable de la notion d appartenance. Pour nous ce seront des notions premières i.e. non définies à partir d autres. La possibilité de construire des ensembles repose notamment sur l idée de pouvoir mettre en accolade : si on a des objets a,b,c, on peut considérer l ensemble {a, b, c} ayant ces objets comme éléments, qui est quelque chose de différent de ces objets! Un sac de carottes n est pas des carottes, il y a aussi l emballage! Ainsi, essentielle est la distinction entre un objet m et l ensemble {m} à un élément. Grâce à cette capacité de mettre en accolade, on peut fabriquer des ensembles à partir d éléments de nature très différente : par exemple A = {17, [0, 2], {2, 3}, exp} est un ensemble à 4 éléments! En mathématiques, la notion (et l existence) d ensemble(s) est précisée par certaines règles de manipulations sur les ensembles (axiomes) : pour nous, nous allons nous placer simplement dans un univers Ω contenant des objets, et relier la construction d ensembles à partir de ces objets aux opérations logiques déjà définies. 2) Sous-ensembles et lien avec les propriétés logiques. On se donne un univers Ω de référence : on ne considère que des éléments de Ω. a) Déf. un ensemble A est un sous-ensemble de B ssi tous les éléments de A sont des éléments de B. On note A B dans ce cas. L inclusion A B est une propriété équivalente à la propriété suivante : pour tout x Ω, x A x B b) Exemples avec des ensembles finis et infinis. Attention à bien distinguer les deux notations et. c) Sous-ensemble associé à une propriété logique portant sur les éléments : Soit E un ensemble. (i) si pour chaque x E, P (x) est une prop. qcq., on peut définir {x E P (x)} noté encore {x E, P (x)}, sous-ensemble de E. (ii) Exemple : N = {x Z, x 0}. (iii) Remarque : plusieurs propriétés logiques différentes peuvent définir le même ensemble. Par exemple dans E = {1, 2, 4, 6}, la prop. P (x) x 1 et la prop. Q(x) x est pair, vont définir le même sous-ensemble A = d) Caractérisation de l égalité de deux ensembles : (i) Idée clef : deux ensembles A et B sont égaux ssi ils ont les mêmes éléments. C est pour cela qu au 1) on a dit que A = {1, 2} et B = {1, 2, 1} sont le même ensemble. (ii) Formalisation à l aide des propriétés logiques : Pour deux ensembles A et B A = B si, et seulement si, pour tout x, x A x B Bien retenir ce lien entre égalité d ensembles et équivalence des prop. logiques : x A x B. (iii) Ainsi au c) (iii) les propriétés P et Q étaient équivalentes dans E. e) L ensemble vide noté (i) Comment le définir à l aide d une propriété logique? (ii) Comment montrer qu il est unique? (iii) En Python, l ensemble vide est set(). f) Retour sur les sous-ensembles : (i) Donner tous les sous-ensembles de E = {0, 1} (ii) Remarque : un ensemble E différent du vide à toujours au moins deux sous-ensembles qu on appelle triviaux : 3) Opérations sur les ensembles : a) Définition du complémentaire d un sous-ensemble : 3

Déf. si E est un ensemble et si A E, on définit le complémentaire de A dans E, noté C E (A) ou A c si E est sous-entendu, comme le sous-ensemble de E défini par la prop. logique suivante qui est vraie pour tous les x E x A c Exemples : patates et diagrammes de Venn. b) Union et l intersection : (i) Déf. Si A et B sont deux ensembles, on définit A B (resp. A B) comme l ensemble défini par la propriété suivante a pour tout x Ω : a. cela signifie que la prop. est vraie x A B x A B (ii) Remarque : l intersection (la réunion) de deux ensembles étant un, si D 1 et D 2 sont deux droites du plan qui se coupent en un (seul) point M, on notera D 1 D 2 = (iii) Attentions aux mauvaises habitudes prises en proba : en proba. les sous-ensembles de l univers sont appelés événements et dans ce langage probabiliste où l on mélange le sousensemble et une prop. qui le définit 4 on s autorise à dire l événement A ou B. Cet usage commode en proba. n est PAS l usage standard en mathématiques : le ou est un opérateur qui relie deux propositions, le relie deux ensembles. Exemples. Attention si D 1 et D 2 sont deux droites qui se coupent en M, D 1 D 2 = {M}. c) Ensembles disjoints (i) Déf. deux ensembles A et B sont disjoints ssi (ii) Déf. on dit qu un ensemble E est l union disjointe de A et de B si et seulement si : On pourra noter E = A B. d) Différence ensembliste : (i) Déf : si A et B sont deux ensembles, on définit l ensemble A B (lire A privé de B ) par le fait qu on a pour tout x Ω : x A B (ii) Exercice : illustrer cette déf. à l aide des diagrammes analogues à ceux donnés pour l union et l intersection. (iii) Exercice : écrire A B à l aide de A, de B et des autres opérateurs déjà vus c, ou. Puis prouver cette égalité de deux ensembles grâce à l équivalence logique des propriétés x A B et... e) Différence symétrique (i) Déf. si A et B sont deux ensembles on définit : A B = (A B) (B A). (ii) Exercice : dessiner A B dans un diagramme de Venn. (iii) Exercice : comment exprimer la propriété logique x A B à partir de x A et x B? (iv) Exercice : donner une autre écriture de A B avec des des et des, puis démontrer l égalité d ensembles que vous affirmez. 4. alors que justement on a vu que plusieurs prop. peuvent définir le même ensemble 4

Remarque de méthode pour prouver une égalité d ensembles. Si A et B sont deux ensembles, pour montrer A = B ou bien on peut procéder par équivalence x A x B ou bien on montre les deux inclusions A B et B A. 4) Ensembles produits : A B. a) (i) Par déf., si A et B sont deux ensembles, un couple (a, b) avec a A et b B est une écriture (a, b) où l on pose que par définition deux couples (a, b) et (c, d) sont égaux si et seulement si a = c et b = d. L ensemble {(a, b) a A, b B} est appelé l ensemble produit A B. (ii) Cas particulier : notation A 2 pour A A. On convient de représenter R 2 comme le plan muni d un repère disons orthonormé. Dessiner N 2 dans le plan. Dessiner [1, 2] [3, 5] R 2. b) Généralisations : (i) Cas du produit de trois ensembles : Un élément de A B C est un triplet (a, b, c) avec a A, b B, c C. Noter qu en maths on identifie (A B) C à A B C (en info.. non!). On note A 3 pour A A A. (ii) Produit de plus de trois ensembles : Si A 1,..., A s sont des ensembles on note A 1 A 2 A s : l ensemble des s-uplets (x 1,..., x s ) avec x i A i. 5) Ensembles de parties d un ensemble a) Terminologie : on dit A est une partie de E pour dire A sous-ensemble de E. Définition : on note P(E) l ensemble des parties d un ensemble E : c est un ensemble d ensembles! b) Exercice : Ecrire l ensemble P(E) si E = {1, 2} ou {1, 2, 3}. c) Retenir surtout : l équivalence essentielle : A E A P(E). III Propositions avec des quantificateurs 1) Notion de prédicat : La différence entre la proposition P 2 1 et la proposition Q(x) x 1, est que la première ne contient que des objets bien connus appelés constantes (et cette propriété P est vraie avec nos nombres 1 et 2 bien connus) alors que Q(x) dépend explicitement d une variable appelée x (dont il faudrait déjà spécifier qu il s agit d un nombre réel p.ex.), et on ne peut vraiment lui donner une valeur vrai ou faux qu on choisissant une valeur de x. Terminologie Une prop. qui dépend de la valeur d une variable x s appelle prédicat dépendant de x. Ainsi dans l exemple précédent Q(x) est un prédicat. 2) Quantification d une variable : a) On introduit deux symboles : qui se lit pour tout ou quelque soit. Ainsi x A, x 0 se lit : pour tout x A, x 0. qui se lit il existe un... tel que. Ainsi x A, x + 1 2 se lit : il existe (au moins toujours sous-entendu) un x A tel que x + 1 est supérieur à 2. Enfin il existe une notation, moins standard mais utile,! pour il existe un unique. 5

b) Exemples : soit f une fonction de R dans R, écrire avec ces symboles la déf. de : f R R est croissante f s annule en (au moins) un point de l intervalle [a, b]. Eviter les x et x sans préciser dans quel ensemble vit x. Ne pas oublier que la virgule après le se lit tel que c) Remarque : (i) Dans le cas des ensembles finis, on a un lien entre le et le et logique. Si E = {a, b, c} est un sous-ensemble de Z, à trois éléments par exemple, qu on considère le prédicat P (x) défini par [x 0], la propriété Q [ x E, P (x)] est équivalente à [P (a) et P (b) et P (c)]. (ii) De même on a un lien analogue entre le et le d) Changement de statut des variables une fois quantifiées N.B. La prop. Q du c) (i) : [ x E, x 0] n est plus un prédicat! Sa valeur V ou F ne dépend pas du choix d un x. La variable x qui apparaît dans Q est dite muette. On peut lui donner le nom qu on veut. Ainsi Q s écrit de manière équivalente : [ y E, y 0]. On peut utiliser comme nom de variable muette n importe quel nom de variable encore disponible On reviendra sur cette notion de nom encore disponible : il est légitime d utiliser plusieurs fois le même nom de variable dans un : ainsi, on peut écrire [ x E, x 0] et [ x E, x 5] par exemple. e) Comportement des et avec le et et le ou : (i) Si E est un ensemble fini et P (x) et Q(x) sont deux prédicats portant sur x E, donner, en le justifiant, le lien logique entre les prop. P 1 et P 2 d une part et Q 1 et Q 2 d autre part. P 1 [ x E, (P (x) et Q(x))] P 2 [ x E, P (x)] et [ x E, Q(x)]. Q 1 [ x E, (P (x) ou Q(x))] Q 2 [ x E, P (x)] ou [ x E, Q(x)]. Conseil : Commencer par prendre un exemple en français ou (mieux) en maths! (ii) On admettra que les résultats précédents s appliquent à tous les ensembles même infinis. (iii) Voir ex. pl. 2 l analogue avec le. f) Quantificateur devant le (i) Si on se place dans un univers Ω, la bonne définition de l inclusion A B de deux sousensembles de Ω est : (ii) Cependant, attention, dans l usage des mathématiciens, il arrive souvent que devant un le soit sous-entendu! On écrira alors seulement : Cet abus d écriture est courant, il faut parfois y prendre garde, nous le verrons. (iii) Une autre écriture possible de l inclusion A B sans symbole est : 3) Cas où on a plusieurs variables : a) Si on considère l énoncé en français : l élève x a la meilleure note de la classe, on peut en faire un prédicat Torche(x). Ce prédicat doit être vrai si la note de x est supérieur à toutes les autres notes de la classe, et faux sinon. Formellement, en notant C l ensemble des élèves de la classe et en notant, pour chaque élève y, N(y) la note de y, on écrira, en notant x un élève quelconque de la classe : Torche(x) Dans ce prédicat, il y a une variable muette, qui parcourt en fait tous les élèves de la classe, et une variable x qui doit être précisée pour que Torche(x) renvoie une réponse vraie ou faux. b) Cas où il y a plusieurs quantificateurs : 6

Un exemple : traduire avec une phrase en français les deux prop. suivantes et donner leur valeur V ou F. P 1 m N, n N, n m P 2 n N, m N, n m. Respecter l ordre des quantificateurs! En revanche, on peut permuter deux qui se suivent (resp. deux qui se suivent). 4) Déf. de la négation pour les phrases avec quantificateurs, exemple. a) Ce qu on veut faire avec la négation logique : nier P c est dire ni plus ni moins que celui qui dit P ment (idem I). Exples en français. b) On pose donc par déf. ( x X, P (x)) x X, P (x) et ceci entraîne qu on a ( x X, P (x)) x X, P (x) (à cause de la double négation). c) Rem. Dans le cas où X est un ensemble fini, on a dit que le pouvait être remplacé par des et et la la déf. précédente est cohérente avec la négation d un et (de Morgan). d) Rem. Les symboles /, / sont inutiles. e) Négation du! : Exemple : Soit A R. Exprimer la négation de la propriété :!x A, x 2. 5) Négations en chaîne si plusieurs quantificateurs a) Principe : ( x X, ( y Y, P (x, y))) x X, ( y Y, P (x, y)) x X, y Y, (P (x, y)). b) Exemples : Nier les prop. P 1 m N, n N, n m P 2 n N, m N, n m. Que dire de la valeur V ou F de P 1 et P 2? Il faut maîtriser la négation comme un processus mécanique : surtout ne pas changer l ordre des termes, transformer en et inversement, nier le prédicat sur lequel portent ces quantificateurs. IV Applications entre ensembles 1) notion générale de correspondance Soient E et F deux ensembles. a) D une manière vague, une correspondance de E dans F est une façon d associer à chaque élément x de E un ou plusieurs, ou aucun (!) élément(s) de F. Exemples : à chaque x R on associe tous les y R tels que x = y 2, à chaque entier x Z, on associe tous les entiers congrus y à x mod. 2, c est-à-dire tels que y x soit divisible par 2. Dans chaque cas, on peut tracer le graphe de la correspondance. b) Construction mathématique : se donner une correspondance c de E dans F équivaut à se donner un sous-ensemble Γ E F et à définir qu à un x dans E correspondent, par c, tous les y tels que (x, y) Γ. L ensemble Γ s appelle le graphe de la correspondance c. 2) Applications : correspondances bien particulières! a) (i) définition, notation : une application f de E dans F (ce qu on notera f E F ) est une correspondance de E dans F qui à tout x dans E associe un élément de F et un seul, appelé image de x par f et noté f(x). Notation f E F, x f(x). Pour une telle application f E F, l ensemble E s appelle ensemble de départ et F l ensemble d arrivée. 7

(ii) Traduction sur les flèches entre patates : (iii) Traduction sur les graphes : (iv) On note encore Γ f E F le graphe de f. Par déf. du graphe : (x, y) E F, y = f(x) (x, y) Γ f (v) Notation : on notera A(E, F ) ou F(E, F ) pour l ensemble des applications de E dans F. Dans le cas où E = R ou bien E est une partie de R, une application f A(E, R) est souvent appelée fonction de E dans R, d où la notation f F(E, R). Si E = F, on notera parfois A(E) pour A(E, E). b) Réduction de l ensemble de départ, déf. de la restriction f A : exemple pour x x 2 et sur des patates. c) Réduction possible de l ensemble d arrivée, ensemble image : (i) Sur les exemples x x 2, patates : ensemble(s) d arrivée plus petits possibles. (ii) Déf. : soit f E F, son ensemble image f(e) est le sous-ensemble de F défini par y F, [y f(e) x E, f(x) = y]. Autre écriture f(e) = {f(x), x E}. (Moins efficace en pratique). L ensemble f(e) est le plus ensemble d arrivée qu on puisse prendre pour f. On notera encore (sans changer de nom cette fois) f E f(e), alors que ce n est pas véritablement la même application. (iii) Déf. Soit f E F et soit y F. On dit x E est un antécédent de y par f ssi y = f(x). Exemples avec des patates, et en analyse. Comment caractériser les éléments de f(e) en terme d antécédents? d) Généralisation : image d un sous-ensemble : (i) Déf. si f E F et A E, on définit : f(a) = {f(x), x A}. Dessin? (ii) Prop. (cf. pl.) Si A et B sont dans E, alors f(a B) = f(a) f(b). Attention à ce qui se passe pour f(a B)... 3) Comment on peut démontrer que l ensemble image de f R R, x x 2 est a) Soit f R R, x x 2. Pourquoi a-t-on f(r) =? Expliquer les deux inclusions. Que diriez-vous pour g Q Q, x x 2? b) Un outil venant de l analyse : (i) Thm. (T.V.I. pour les fonctions continues monotones). (H) f F([a, b], R) est continue et croissante sur [a, b] (resp. décroissante sur [a, b]) (C) f([a, b]) = [f(a), f(b)] (resp. f([a, b]) = [f(b), f(a)]). N.B. Avoir bien compris quelle inclusion est donnée par la monotonie, et à quoi sert la continuité. (ii) Variante du T.V.I. Notation : On note R = R {, + }. (+ et ne sont que des symboles, qui ne sont pas des nombres réels). Thm. (T.V.I. pour les fonctions continues stmt. monotones, avec limites) (H) Soit a R et b R {+ }. Soit f F([a, b[, R) continue, strictement croissante, et telle que lim x b f(x) = l R. (C) f([a, b[) = 8

c) Avec ce théorème, justifier qu on a bien, pour f R R, x x 2, f(r) = 4) Deux méthodes possibles pour déterminer l ensemble image d une application a) Les deux méthodes présentées sur un exemple : Soit f R R, x x 2 + x + 1. Déterminer l ensemble image f(r). (i) Méthode d analyse : dans le cas favorable d une f I R R avec tableau de variations, limites : sur chaque intervalle de monotonie, on applique le T.V.I. pour les fonctions continues monotones. (ii) Méthode algébrique : Soit y F, on cherche la CNS sur y pour qu il existe x E tel que y = f(x) : on cherche si on peut résoudre une équation (sans la résoudre). b) Un exemple avec une fonction à deux variables, où on n échappe pas à la méthode algébrique : pour f R 2 R 2, (x 1, x 2 ) (x 1 x 2, x 1 + x 2 ) déterminer f(r 2 ) et le dessiner. 5) Applications injectives, surjectives, bijectives a) (i) Déf. f E F (toujours mentionner les ensembles!) est surjective ssi f(e) = F, i.e. y F, x E, f(x) = y i.e. tout élément y F a au moins un antécédent par f. (ii) Exples (analyse, patates). (iii) Remarque : Une application f est toujours surjective de E dans b) Déf. f E F est injective ssi (x 1, x 2 ) E 2, x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). Caract. la plus utile : (x 1, x 2 ) E 2, f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2 (contraposée). Caract. (dém.) f est injective ssi tout élément y F a au plus un antécédent par f dans E. c) Déf. f E F est bijective ssi elle est injective et surjective. Autrement dit f E F est bijective ssi y F,!x E, y = f(x). Exemples. 6) Application réciproque d une bijection. a) Définition : pour f E F bijective, on définit f 1 comme l application de F dans E qui à tout élément y de F associe l unique antécédent de y par f b) Exemple sur des patates : f 1 se lit en remontant les flèches. c) Formalisation du a) : (x, y) E F, y = f(x) x = d) Exemple pour les fonctions de R dans R. (i) Exemple de f R + R +, x x 2. D une manière générale, on a : (ii) Prop. : Γ f 1 = s (Γ f ), où s est la symétrie orthogonale p.r. à la première bissectrice. (iii) Lemme : la réflexion p. r. à la première bissectrice s écrit : s (x, y) (y, x). (iv) Application du lemme à la preuve par équivalence de l égalité : Γ f 1 = s (Γ f ). e) Détermination pratique de f 1 : vu le c), pour trouver f 1 inverser l équation y = f(x) pour exprimer x en fonction de y. Exemple : soit f A = R { 7 2x + 1 } R, x 3 3x + 7. Déterminer f(a), montrer que f A f(a) est bijective, expliciter f 1. 7) Composition des applications 9

a) Déf. si f A(E, F ) et g A(F, G), on définit g f A(E, G) par : x E, (g f)(x) = g(f(x)). La loi est une application de A(E, F ) A(F, G) dans A(E, G). b) Exemples : patates, fonctions de R dans R. c) Propriétés de : (i) associativité : dém. de (f g) h = (f g) h pour toutes les appl. où ceci fait sens. (ii) l application identité est neutre pour : f A(E, F ), f id E = f et id F f = f. (iii) Contre-exemple pour la commutativité : avec deux fonctions de R dans R, plus généralement, dès que E a au moins deux éléments : (f, g) A(E) 2, f g g f. d) Caract. de la bijectivité et de f 1 : (i) f A(E, F ) est bijective ssi g A(F, E), g f = id E et f g = id F. Attention : deux conditions! (ii) Dans ce cas, cette appl. g est nécessairement unique et coïncide avec f 1. (iii) Preuve du (i) sens : on montre que g = f 1 convient. (iv) Preuve du (i) sens : avec ex. planche g f injective entraîne f injective, etc... (v) Preuve de l unicité du (ii) : notre premier calcul avec!. e) Exemple d applications inversibles seulement d un côté, cf. exercices. f) Autre exemple de calculs avec la loi : exercice : f bijective et f f = f implique f = id. g) La composée de deux inj., (resp. de deux surj.) est une injection (resp. une surjection), cf. pl. Ex. pl. 0,1,2 exigibles. 10