Chapitre 7 : Exercices Terminale S, 2014, Lycée Lapérouse Exercice 1. On lance un dé équilibré à 20 faces numérotées de 1 à 20. On observe le numéro de la face obtenue. 1. Décrire l univers Ω. 1 2. On considère les évènements suivants : : Obtenir un multiple de 2, : Obtenir un multiple de 3 et C : Obtenir un nombre premier. a. Décrire les évènements C et. 3 b. Décrire les évènements et. 2 c. Décrire l évènement C. 2 3 Exercice 2. On tire au hasard une carte dans un jeu de 52 cartes. On considère les évènements suivants : : Obtenir un cœur et : Obtenir une figure 1. Combien l univers Ω possède-t-il d issues élémentaires? 1 2. Déterminer P(), P(), P(), P(), P( ), P( ) et P( ). 4 5 6 Exercice 3. Un sac contient 20 bonbons à la fraise et 8 au citron, 25% des bonbons à la fraise et 50% des bonbons au citron sont dans un papier bleu. Les autres sont dans un papier vert. 7 1. Représenter la situation à l aide d un diagramme en précisant les effectifs. 2. Représenter la situation à l aide d un tableau d effectifs. 3. Représenter la situation à l aide d un arbre pondéré. Exercice 4. Une entreprise fabrique des articles en grande quantité. Une étude statistique a permis de constater que % des articles fabriqués sont défectueux. Les articles fabriqués peuvent présenter au maximum deux défauts notés a et b. On note : l évènement : Un article prélevé au hasard présente le défaut a ; l évènement : Un article prélevé au hasard présente le défaut b ; et les évènements contraires respectifs de et. On donne les probabilités suivantes : P() = 0,05; P() = 0,06. 1. Traduire par une phrase l évènement. Déterminer P( ). 3 6 2. Quelle est la probabilité de l évènement un article prélevé au hasard ne présente aucun défaut? 6 3. Calculer la probabilité de l évènement un article prélevé au hasard présente les deux défauts. 6 4. Calculer la probabilité de l évènement un article prélevé au hasard n a qu un seul des deux défauts. 6 1/5
Exercice 5. Démontrer le théorème de Koenig Huygens. (cf remarque 2 du cours) 9 Exercice 6. Une variable aléatoire X suit la loi suivante : x i -1 1 2 P(X = x i ) 0.2 0.4 k 1. Déterminer k. 6 2. Calculer l espérance et la variance de X. 9 Exercice 7. Le jour de l ouverture d un centre commercial, on distribue 00 billets de loterie. Parmi les 00 billets distribués, 2 donnent droit à un bon d achat de 5000 francs, donnent droit à un bon d achat de 3000 francs, 20 donnent droit à un bon d achat de 1500 francs, 50 donnent droit à un bon d achat de 00 francs et les autres billets ne gagnent rien. 1. Quelle est la probabilité pour une personne qui a reçu un billet de gagner un bon d achat de 1500 francs? 4 2. Quelle est la probabilité pour une personne qui a reçu un billet de ne rien gagner? 4 3. On s intéresse aux montants en francs des gains. a. Quels sont les différents gains possibles? b. Déterminer la loi de probabilité de ces gains. 8 c. Quelle est l espérance de cette loi? 9 Exercice 8. Problème ouvert On considère 3 pièces de 0 francs. Une pièce est classique c est-à-dire possède pile d un côté et face de l autre, une pièce possède pile des deux côtés et enfin la dernière possède face des deux côtés. On place ces trois pièces dans un pochon, on en tire une au hasard et on la pose sur une table sans regarder. Le côté visible est pile. Quelle est la probabilité que le côté caché soit face? Exercice 9. Problème de Monty Hall Dans le film LS VEGS 21, un professeur du MIT de oston demande à son étudiant de résoudre le problème de Monty Hall pour voir s il est assez bon pour rejoindre son groupe de lack-jack. Ce problème a été inspiré du jeu télévisé américain Let s make a deal présenté par l animateur Monty Hall. Le voici : Un candidat lors de l épreuve finale du jeu télévisé se retrouve devant trois portes. Derrière l une d elle, il y a une superbe voiture, derrière les deux autres, il y a une chèvre. Le candidat choisit une des trois portes. près ce choix, le présentateur ouvre une porte derrière laquelle il y a une chèvre, puis il demande au candidat s il veut conserver son choix de porte ou le modifier. Que doit faire le candidat? Exercice. On considère deux évènements et d une expérience aléatoire avec P() = 1 4, P () = 1 3 et P () = 1 5. 1. Représenter la situation à l aide d un arbre pondéré. 2/5
2. Déterminer P(), P () et P (). 14 3. Déterminer P( ). 11 4. Déterminer P(). 13 5. Déterminer P (). 12 Exercice 11. Double partition d une population On considère deux évènements et d une expérience aléatoire avec P() 0 et P() 0, démontrer que la connaissance de 3 de ces probabilités permet de déterminer le reste. P(), P(), P (), P (), P (), P (). 12 13 Exercice 12. Inversion d un arbre On considère deux évènements et d une expérience aléatoire avec P() = 0.4, P () = 0.2 et P( ) = 0.3. 1. Reproduire et compléter l arbre de probabilité ci- dessous. 11 14 2. Reproduire et compléter l arbre de probabilité ci- dessous. 11 14 Exercice 13. 2 éleveurs produisent une race de poissons qui ne prennent leur couleur définitive qu à l âge de 3 mois : pour les alevins du premier élevage, entre l âge de 2 mois et l âge de 3 mois, % n ont pas survécu, 75% deviennent rouges et les 15% restant deviennent gris. pour les alevins du deuxième élevage, entre l âge de 2 mois et l âge de 3 mois, 5% n ont pas survécu, 65% deviennent rouges et les 30% restant deviennent gris. Une animalerie achète les alevins à l âge de 2 mois : 60% au premier éleveur, 40% au second. Il est vivement recommandé de représenter la situation par un arbre avant de répondre aux questions. 1. Un enfant achète un poisson le lendemain de son arrivée à l animalerie, c est à dire à l âge de 2 mois. a. Montrer que la probabilité que le poisson soit toujours vivant un mois plus tard est de 0.92. 12 13 b. Déterminer la probabilité qu un mois plus tard le poisson soit rouge. 12 13 c. Sachant que le poisson est gris à 3 mois, quelle est la probabilité qu il provienne du premier élevage? 11 3/5
2. L animalerie décide de garder les alevins jusqu à l âge de 3 mois, afin qu ils soient vendus avec leur couleur définitive. Elle gagne 1 euro si le poisson est rouge, 0.25 euro s il est gris et perd 0. euro s il ne survit pas. Soit X la variable aléatoire égale au gain algébrique de l animalerie par poisson acheté. Déterminer la loi de probabilité de X et son espérance mathématique. 8 9 Exercice 14. vec les données de l exercice 2, et sont-ils indépendants? 17 Exercice 15. et sont deux évènements d un univers Ω muni d une loi de probabilité P tels que : P() = 0.2, P() = 0.56 et P( ) = 0.648. Les évènements et sont-ils indépendants? 17 Exercice 16. et sont deux évènements indépendants d un univers Ω muni d une loi de probabilité P tels que : P() = 0.34 et P() = 0.56. Déterminer : P( ), P( ), P( ) et P( ) 17 Exercice 17. et sontdeuxévènementsd ununiversωmunid uneloideprobabilitéptelsque:p() = 1 4, P( ) = 1 3, déterminer P() lorsque : 1. et sont incompatibles. 1 2. et sont indépendants. 17 3. est inclus dans. 1 Exercice 18. vant le début des travaux de construction d une autoroute, une équipe d archéologie préventive procède à des sondages successifs en des points régulièrement espacés sur le terrain. Lorsque le n-ième sondage donne lieu à la découverte de vestiges, il est dit positif. L évènement : le n-ième sondage est positif est noté V n, on note p n la probabilité de l évènement V n. L expérience acquise au cours de ce type d investigation permet de prévoir que : si un sondage est positif, le suivant a une probabilité égale à 0,6 d être aussi positif; si un sondage est négatif, le suivant a une probabilité égale à 0,9 d être aussi négatif. On suppose que le premier sondage est positif, c est-à-dire : p 1 = 1. 1. Calculer les probabilités des évènements suivants : 12 a. : les 2 e et 3 e sondages sont positifs ; b. : les 2 e et 3 e sondages sont négatifs. 2. Calculer la probabilité p 3 pour que le 3 e sondage soit positif. 13 3. n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2. Représenter par un arbre pondéré la situation des sondages n et n+1. 15 4. Pour tout entier naturel n non nul, établir que : p n+1 = 0,5p n +0,1. 4/5
5. On note u la suite définie, pour tout entier naturel n non nul par : u n = p n 0,2. a. Démontrer que u est une suite géométrique, en préciser le premier terme et la raison. b. Exprimer p n en fonction de n. c. Calculer la limite, quand n tend vers +, de la probabilité p n. Exercice 19. 1. On choisit successivement personnes de la population au hasard, on considère que les tirages sont indépendants. On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces personnes, sachant que 2% des personnes sont contaminées par le virus dans la population. a. Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. 18 b. Déterminer l espèrance de X. 18 c. Calculer la probabilité qu il y ait au moins deux personnes contaminées. 19 2. a. Une urne contient boules indiscernables au toucher : 7 sont blanches et 3 sont noires. On tire simultanément 3 boules de l urne. La probabilité de tirer 2 boules blanches et 1 boule noire est égale à : 20 21 40 7 6 9 1 3 7 7 1 3 b. De la même urne, on tire une boule, on note sa couleur, on la remet dans l urne; on procède ainsi à 5 tirages successifs avec remise. La probabilité d avoir obtenu 3 boules noires et 2 boules blanches est égale à : 18 Exercice 20. 33 7 2 ( ( ) 5 3 5 2 ) 2 ( 7 ) 3 ( ( ) 5 3 2 ) 3 Une main au poker comporte 5 cartes prises parmi 52. Calculer la probabilité qu une main contienne au mieux : 20 1. Une quinte flush. (5 cartes consécutives de la même couleur) 2. Un carré. (4 cartes identiques) 3. Un full. (un brelan et une paire) 4. Une couleur. (5 cartes de la même couleur) 5. Une suite. (5 cartes consécutives) 6. Un brelan. (3 cartes identiques) 7. Double paire. (2 paires) 8. Une paire. (2 cartes identiques) 9. Un as. Exercice 21. Problème ouvert Démontrer la formule de Pascal avec des dénombrements, c est à dire que le nombre choix de k+1 éléments parmi n+1 est égal au nombre de choix de k+1 éléments parmi n additionné au nombre de choix de k éléments parmi n. (on pourra judicieusement singulariser un élément) ( 7 ) 2 L. JUNTRE Terminale S, Chapitre 7 : Exercices 5/5