CI-5 ODÉLISER LES CTIONS ÉCNIQUES PRÉVOIR ET VÉRIFIER LES PERFORNCES DE SYSTÈES SOUIS À DES CTIONS ÉCNIQUES STTIQUES. Objectifs NLYSER-ODELISER-RESOUDRE-OPTIISER la fin de la séquence, 2 : Proposer un modèle de connaissance et de comportement ssocier un modèle à une action mécanique Déterminer la relation entre le modèle local et le modèle global ssocier à chaque liaison son torseur d actions mécaniques transmissibles C1 : Proposer une démarche de résolution Choisir une méthode pour déterminer la valeur des paramètres conduisant à des positions d équilibre C2 : Procéder à la mise en oeuvre d une démarche de résolution analytique Déterminer le calcul complet des inconnues de liaison Déterminer la valeur des paramètres conduisant à des positions d équilibre (par exemple l arc-boutement) Table des matières 1 odélisation d une action mécanique 2 1.1 Définition........................................................................................................... 2 1.2 Notion de force........................................................................................................ 2 1.3 Notion de moment...................................................................................................... 2 1.4 Torseur d action mécanique.................................................................................................. 2 1.5 Cas particuliers........................................................................................................ 3 2 ctions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite 3 2.1 Rappels sur les liaisons parfaites............................................................................................... 3 2.2 nalyse de la liaison pivot.................................................................................................. 4 2.3 Tableau des liaisons usuelles................................................................................................. 5 2.4 oyen mnémotechnique de retrouver les torseurs des liaisons parfaites........................................................................... 5 2.5 odélisation plane...................................................................................................... 5 3 ctions mécaniques particulières 6 3.1 Pesanteur........................................................................................................... 6 3.2 Pression hydrostatique d un fluide sur un solide....................................................................................... 7 4 Lois de Coulomb 7 4.1 Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel.............................................................................. 7 4.2 Lois de Coulomb pour un contact non ponctuel....................................................................................... 1 5 Principe Fondamental de la Statique (PFS) 1 5.1 Isolement d un solide..................................................................................................... 1 5.2 ction mécanique extérieure / intérieure........................................................................................... 11 5.3 Enoncé du PFS........................................................................................................ 12 5.4 Théorèmes généraux de la statique.............................................................................................. 12 5.5 Théorèmes des actions réciproques.............................................................................................. 13 5.6 Système soumis à l action de 2 glisseurs (forces)...................................................................................... 13 5.7 Système soumis à l action de 3 glisseurs (forces)...................................................................................... 13 6 Liaisons équivalentes 15 6.1 Liaisons en parallèle..................................................................................................... 15 6.2 Liaison en série........................................................................................................ 15 7 Résolution d un problème de statique 16 7.1 Hypothèses.......................................................................................................... 16 7.2 lgorithme de résolution................................................................................................... 16 7.3 Résolution d un problème de statique plan.......................................................................................... 17 7.4 Exemple de statique graphique................................................................................................ 17 8 Tableau des liaisons normalisées 18 LYCÉE CRNOT (DIJON) PSI -PCSI GERIN GONDOR
1. ODÉLISTION D UNE CTION ÉCNIQUE 2/2 1 odélisation d une action mécanique 1.1 Définition DÉFINITION: ction mécanique Toute cause susceptible de maintenir un corps au repos créer un mouvement déformer un corps On distingue deux types d actions mécaniques : les actions mécaniques de contact (liaison de contact entre solides, pression,....) les actions mécaniques à distance (champ de pesanteur, force électromagnétique,... ) 1.2 Notion de force L action mécanique est caractérisée par : sa direction son sens son intensité Elle possède donc toutes les caractéristiques d un vecteur. Un action mécanique représentable par un vecteur est appelée force. Cependant cette notion de force n est pas suffisante pour décrire les actions mécaniques. 1.3 Notion de moment Pour définir complètement une action mécanique, il convient de prendre en compte son point d implication (P) : La porte se ferme La porte ne se ferme pas Il est donc nécessaire d introduire la notion de moment au point de la force F appliquée en P et défini par : (, F P ) (, F ) P F RERQUE: l unité d un moment est le N.m. 1.4 Torseur d action mécanique Puisque (, F P ) P F P ( + P ) F P F P + C F P d où (, F P ) (, F P ) + F P LYCÉE CRNOT (DIJON) CI-5 CTIONS ÉCNIQUES PSI - PCSI
2. CTIONS ÉCNIQUES TRNSISSILES PR UNE LIISON PRFITE 3/2 Le champ des moments d une force est donc... un champ de moments!! Il est donc représentable par un torseur avec comme { { F P vecteur résultante, la force appliquée F F FP Σ (, FP ) P : Dans le cas général d un système S soumis à une force F, le torseur s écrit : {FF S R F S (, F S ) {FF S X Y Z de l action mécanique créée par cette force Lorsqu il y a plusieurs actions mécaniques, on additionne les torseurs (attention au point où on additionne les torseurs) { F i [ Fi ] Σ i R Fi Σ (, Fi Σ) L N [ R Fi Σ] i i[ (, Fi Σ)] 1.5 Cas particuliers 1.5.1 Torseur couple Un torseur couple est de la forme 1.5.2 Torseur glisseur Un torseur glisseur est de la forme {FF S {FF S (, F S ) { R F S avec, avec (, F S ). (, F S ). R F S. L action mécanique d une force F appliquée en un point est modélisable par un glisseur. DÉONSTRTION : (, F S ). R F S [ (, F S ) + R ] F S. R F S [ R ] F S. R F S 2 ctions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite 2.1 Rappels sur les liaisons parfaites Ces liaisons parfaites ont les caractéristiques suivantes : Les pièces mécaniques sont des solides indéformables. Les surfaces sont géométriquement parfaites. Les jeux sont nuls Le contact est sans frottement ni adhérence. LYCÉE CRNOT (DIJON) CI-5 CTIONS ÉCNIQUES PSI - PCSI
2. CTIONS ÉCNIQUES TRNSISSILES PR UNE LIISON PRFITE 4/2 2.2 nalyse de la liaison pivot Une liaison pivot d axe (O, x ) permet un mouvement de rotation, autour de cet axe, entre deux solides S i et S k. Sa réalisation se fait essentiellement par un couple de surfaces cylindriques de révolution, avec éventuellement des paliers lisses ou des roulements, et des arrêts axiaux. Projection orthogonale z S k S i x Perspective En tout point de l axe (O, x ), donc en particulier au point O, les éléments de réduction du torseur cinématique associé s écrivent : Sa schématisation (norme NF E 4-15) est donnée ci-contre. {V S k/s i O Ω (k/i) V (O,S k /S i ) Considérer une liaison pivot d axe (O, x ) entre deux solides revient à considérer, d un point de vue mathématique, les surfaces de liaison comme des surfaces de révolution non cylindriques d axe (O, x ) : ω x La densité surfacique d F l (S i S k ) rencontre l axe (O, x ) en H, donc son moment en O a une projection nulle sur l axe (O, x ). En effet (O,S i S k ). X [ OI l d F l (S i S k ) ]. X {F S k S i O [ OH d F l (S i S k ) ]. X {{ + [ HI l d F l (S i S k ) ]. X {{ d après les conditions de nullité du produit vectoriel et du produit mixte. Par conséquent le torseur d inter-efforts transmissibles par la liaison pivot d axe (O, X) entre les deux solides S i et S k s écrit : X R S i S k Y (O,S k S i ) Z La forme de ce torseur est conservée en tout point de l axe (O, X). N LYCÉE CRNOT (DIJON) CI-5 CTIONS ÉCNIQUES PSI - PCSI
2. CTIONS ÉCNIQUES TRNSISSILES PR UNE LIISON PRFITE 5/2 2.3 Tableau des liaisons usuelles Une étude semblable peut être faite pour toutes les liaisons usuelles. Le tableau des liaisons et de leur torseur d action transmissible est porté en dernières pages. 2.4 oyen mnémotechnique de retrouver les torseurs des liaisons parfaites Nous verrons dans le programme de deuxième année que la liaison étant parfaite, la puissance des efforts intérieurs à la liaison sont nuls. Le comoment du torseur cinématique {V S 2/S 1 et du torseur des actions mécaniques {F S 2 S 1 est donc nul. R S 2 S 1. V (,S 2 /S 1 ) + Ω (S 2 /S 1 ). (,S 2 S 1 ) X 1 u 1 + Y 1 v 1 + Z 1 w 1 + L 1 p 1 + 1 q 1 + N 1 r 1 On peut en déduire que le produit scalaire du vecteur résultante des actions mécaniques et du vecteur vitesse entre les solides est nul. Il en est de même pour le produit scalaire du moment des actions mécaniques et du vecteur rotation entre les solides. insi, il convient de remplacer de façon duale les zéros du torseur cinématique pour obtenir le torseur des actions mécaniques et inversement. ttention toute fois à ne pas se tromper de colonne et dans le cas de la liaison hélicoïdale! Par exemple pour la liaison pivot : ω 21 {V S 2/S 1 R X Y Z N {F S 2 S 1 R X, Y et Z sont les composantes de R S 2 S 1 dans le repère R. L, et N sont les composantes de (,S 2 S 1 ) dans le repère R, avec L. Physiquement, cela se comprend car si on applique une force ou un moment selon une certaine direction à une des pièces, cette force (ou ce moment) ne peut pas être transmise à l autre pièce si il y a un mouvement possible entre les deux dans cette même direction. 2.5 odélisation plane ddl Nom de la liaison Schématisation ddl tr Encastrement rt 1 ddl 1 tr Glissière rt 1 ddl tr Pivot 1 rt 2 ddl 1 tr Ponctuelle plane 1 rt Caractéristique géométrique (ε) 1 direction x (ε) 1 axe (, z ) (, z ) Normal au plan y, point de contact Torseur cinématique {V 1/ X u 1 r 1 u 1 r 1 { Ω(S 1 /S ) R V (X,S 1 /S ) R R R Torseur des actions mécaniques transmissibles X 1 Y 1 N 1 N 1 Y 1 X 1 Y 1 Y 1 R R R R LYCÉE CRNOT (DIJON) CI-5 CTIONS ÉCNIQUES PSI - PCSI
3. CTIONS ÉCNIQUES PRTICULIÈRES 6/2 Dans un problème considéré comme plan, un solide S k possède au maximum trois degrés de liberté par rapport à un repère de référence R i. Quatre modèles de liaisons, correspondant à des formes particulières du torseur cinématique, peuvent être retenus. Dans une modélisation plane, les forces appartiennent toutes à un même plan ou sont parallèles à ce plan, les couples étant perpendiculaires à ce plan. Pour chaque liaison, connaissant les mouvement effectifs permis, il est aisé de déterminer le torseur des inter-efforts transmissibles. Il est également possible d utiliser la relation : X 1.u 1 + Y 1.v 1 + Z 1.w 1 + L 1.p 1 + 1.q 1 + N 1.r 1 ramenée à un problème plan soit : X 1.u 1 + Y 1.v 1 + N 1.r 1. Nous obtenons donc le tableau précédant. 3 ctions mécaniques particulières 3.1 Pesanteur Un point matériel que l on lâche au voisinage de la surface de la terre tombe. Sa trajectoire est rectiligne et verticale. Le déplacement a lieu de haut en bas avec une accélération constante par rapport à la terre : g 9, 81 m.s 2. Ce déplacement est dû à une action à distance : le poids (dû au phénomène d attraction terrestre ou pesanteur). Le point matériel de masse m P m. g est soumis à la force : Le poids P est dirigé de haut en bas et est porté par une droite verticale (en négligeant la rotation de la terre) qui passe par le point matériel. Chaque point matériel i d un solide S est soumis à cette attraction terrestre : Nous pouvons donc écrire le torseur résultant en un point j quelconque : n n { R Pi R m i. g F n i1 n Pi S (, Pi S ) i i1 n P i (, Pi S ) i m i. g i Quand la masse est distribuée de manière continue, ce torseur prend la forme { F R g.dm { S m. g Pi S (, Pi S ) g.dm G i i1 S où dm est l élément de masse autour du point. Le centre de gravité G est le point définit par G.dm G 1 S m..dm m i. G S i soit encore. Si le système est discret RERQUES : si S possède un plan de symétrie, G y appartient si S possède un axe de symétrie, G y appartient i1 i m i. i LYCÉE CRNOT (DIJON) CI-5 CTIONS ÉCNIQUES PSI - PCSI
4. LOIS DE COULO 7/2 si S possède un centre de symétrie, G est confondu avec ce centre. 3.2 Pression hydrostatique d un fluide sur un solide Soit p() la pression en un point d un fluide. Le fluide est en contact sur la surface Σ avec le solide S. On a alors : p(). {F n ().dσ f luide S Σ O (p(). n ()).dσ O Σ n () p(). n () N p(n). n (N) n (N) Où n () est la normale en dirigée vers l extérieur du solide S. La pression exerce une densité de force localement normale à la paroi. 4 Lois de Coulomb 4.1 Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Entre deux solides S 1 et S 2 en contact peuvent se transmettre des actions mécaniques avec frottement (dû aux irrégularités de contact, et au bourrelets de contact). Coulomb a déterminé empiriquement des lois sur les efforts. Soit I le point de contact Π le plane tangent commun aux deux solides n la normale à Π Le mouvement de S 2 par rapport à S 1 est caractérisé par un vecteur vitesse de glissement V (I,2/1) un vecteur rotation Ω (2/1) un vecteur rotation de pivotement Ω p(2/1) ( Ω (2/1). n ). n 4.1.1 Lois de Coulomb concernant le glissement un vecteur rotation de roulement Ω r(2/1) Ω (2/1) Ω p(2/1) Soient F (1 2) la force de S 1 sur S 2 au niveau du point I N (1 2) la force normale de S 1 sur S 2 au niveau du point I N (1 2) ( F (1 2). n ). n T (1 2) la force tangentielle de S 1 sur S 2 au niveau du point I T (1 2) F (1 2) N (1 2) LYCÉE CRNOT (DIJON) CI-5 CTIONS ÉCNIQUES PSI - PCSI
4. LOIS DE COULO 8/2 Les lois de Coulomb spécifient que : s il y a glissement au contact entre S 1 et S 2 : V (I,2/1) T (1 2) V (I,2/1) T (1 2). V (I,2/1) < T (1 2) f. N (1 2) s il y a adhérence au contact entre S 1 et S 2 : V (I,2/1) T (1 2) f. N (1 2) où f est le coefficient de frottement entre S 1 et S 2. La force F (1 2) doit donc être située dans le cône de frottement de demi angle au sommet ϕ tel que f tan ϕ Si F (1 2) est sur le cône, il y a glissement. Si la force est dans le cône, il n y a pas glissement. On parle alors d adhérence F (1 2) Glissement F (1 2) dhérence Le coefficient de frottement f entre S 1 et S 2 ne dépend que de la nature des matériaux de S 1 et S 2 et de leur état de surface au niveau du contact. Nature des matériaux Etat de surface f tan ϕ cier sur acier Polie.1 cier sur bronze sec.2 Fonte sur bronze sec.1 cier sur bronze Lubrifié.7 Fonte sur Fonte Lubrifié.7 cier ou fonte sur garniture de friction sec.45 Pneu neuf sur chaussée sec.6 4.1.2 Lois de Coulomb concernant le roulement Si le contact est rigoureusement ponctuel, (I,1 2). Si le contact n est par rigoureusement ponctuel, cette équation n est plus vraie. Pour les contacts quasi ponctuels (la surface est suffisamment grande pour que (I,1 2) mais reste petite tout de même), des lois analogues à celles précédemment données existent pour les vecteurs rotations et moment. Soient (I,1 2) le moment en I de S 1 sur S 2 LYCÉE CRNOT (DIJON) CI-5 CTIONS ÉCNIQUES PSI - PCSI
4. LOIS DE COULO 9/2 N(I,1 2) le couple de résistance au pivotement en I de S 1 sur S 2 N(I,1 2) ( (I,1 2). n ). n N(I,1 2) le couple de résistance au roulement en I de S 1 sur S 2. T (I,1 2) (I,1 2) ( (I,1 2). n ). n Les lois de Coulomb pour le roulement s écrivent s il y a glissement au contact entre S 1 et S 2 : Ω R(2/1) s il y a adhérence au contact entre S 1 et S 2 : Ω R(2/1) T (I,1 2) Ω R(2/1) T (I,1 2). Ω R(2/1) < T (I,1 2) f P. N (1 2) T (I,1 2) f R. N (1 2) où f R est le coefficient de résistance au roulement entre S 1 et S 2. 4.1.3 Lois de Coulomb concernant le pivotement De la même manière, les lois de Coulomb pour le pivotement s écrivent s il y a glissement au contact entre S 1 et S 2 : Ω P(2/1) N(I,1 2) Ω P(2/1) N(I,1 2). Ω P(2/1) < N(I,1 2) f P. N (1 2) s il n y a pas glissement au contact entre S 1 et S 2 : Ω P(2/1) N(I,1 2) f P. N (1 2) où f P est le coefficient de résistance au pivotement entre S 1 et S 2. LYCÉE CRNOT (DIJON) CI-5 CTIONS ÉCNIQUES PSI - PCSI
5. PRINCIPE FONDENTL DE L STTIQUE (PFS) 1/2 4.2 Lois de Coulomb pour un contact non ponctuel Les lois de Coulomb, concernant le frottement de glissement, ne sont valables que pour un contact ponctuel ou "quasi ponctuel". ais très souvent le contact entre deux solides n est pas ponctuel et s effectue sur une surface entière. Soient f p(1 2) la densité surfacique de force de S 1 sur S 2 au niveau du point P de la zone de contact n p(1 2) la densité surfacique de force normale de S 1 sur S 2 au niveau du point Pde la zone de contact n p(1 2) ( f p(1 2). n ). n t p(1 2) la densité surfacique de force tangentielle de S 1 sur S 2 au niveau du point P de la zone de contact t p(1 2) f p(1 2) n p(1 2) L action mécanique de S 1 sur S 2 est {F 1 2 Les lois de Coulomb s écrivent : s il y a glissement au contact entre S 1 et S 2 : s il y a adhérence au contact entre S 1 et S 2 : { f p(1 2) ds P f p(1 2) ds V (I,2/1) V (I,2/1) où f est le coefficient de frottement entre S 1 et S 2 au niveau du point P.. t p(1 2) V (I,2/1) t p(1 2). V (I,2/1) < t p(1 2) f. n p(1 2) t p(1 2) f. n p(1 2) La solution pratique du problème exige : la connaissance de la loi de répartition de n p(1 2) la loi de répartition de f (qui peut dépendre du point P considéré). Dans de nombreux cas, nous pouvons faire des hypothèses simplificatrices qui peuvent être : une répartition uniforme pour f une répartition uniforme pour n p(1 2) ou une répartition qui, en essayant d approcher la réalité, permet des calculs rapides. 5 Principe Fondamental de la Statique (PFS) 5.1 Isolement d un solide Pour étudier un système matériel (Σ) on commence par l isoler de l extérieur ( Σ ). EXEPLE : LYCÉE CRNOT (DIJON) CI-5 CTIONS ÉCNIQUES PSI - PCSI
5. PRINCIPE FONDENTL DE L STTIQUE (PFS) 11/2 Le système matériel (Σ) défini à l intérieur de la frontière est constitué du corps de vérin, de deux pattes de fixation, du piston, d un joint, de la tige, du ressort, et du volume d air situé dans la chambre entre le piston et le corps. Ce système est en relation avec l extérieur par l intermédiaire de deux liaisons : une liaison encastrement (patte de fixation) une liaison rotule de centre O avec un autre système. De plus, chaque corps du système est soumis au champ d action de la pesanteur. Isolons le système matériel (S ) constitué de la tige, du piston et du joint du vérin. L extérieur de (S ), noté ( S ), est constitué du corps de vérin, de deux pattes de fixation, du ressort, du volume d air situé dans la chambre entre le piston et le corps et de l extérieur de Σ (Σ). 5.2 ction mécanique extérieure / intérieure Les actions mécaniques extérieures à un système matériel (S ) sont l ensemble des actions mécaniques de ( S ) sur (S ). EXEPLE : ilan des actions mécaniques exercées sur l ensemble matériel {tige, piston, joint du vérin. Les actions mécanique intérieures à un système matériel (S ) sont l ensemble des actions mécaniques mutuelles entre les différents sous ensembles de (S ). LYCÉE CRNOT (DIJON) CI-5 CTIONS ÉCNIQUES PSI - PCSI
5. PRINCIPE FONDENTL DE L STTIQUE (PFS) 12/2 EXEPLE : l action mutuelle de la tige sur le piston, et l action mutuelle du piston sur le joint. 5.3 Enoncé du PFS Dans un repère galiléen R g, si un système matériel (Σ) est en équilibre, l ensemble des actions mécanique extérieures est nul. R (Σ) en équilibre dans R g {F Σ Σ Σ Σ { (,Σ Σ) RERQUES : Le Principe Fondamental de la Statique ne se démontre pas, c est un cas particulier du Principe Fondamental de la Dynamique (P.F.D). Si un torseur est nul alors il est nul en tout point. Il n est donc pas nécessaire d imposer un point pour exprimer le torseur des actions extérieures. Par contre, il est judicieux de choisir correctement ce point afin de simplifier au maximum les calculs : en particulier ce point peut être l origine d une force inconnue. Les repères galiléens sont des repères où le PFS est vérifié. Pour des applications des systèmes mécaniques classiques (voiture, avion, machine,... ), la Terre est une bonne approximation d un repère Galiléen. L analyse de PFD montre qu il est possible d étendre le champ d application du PFS à des systèmes mobiles dans les trois cas particuliers suivants : mouvement de translation uniforme mouvement de rotation uniforme d un solide équilibré dynamiquement lorsque les effets des masses et des inerties peuvent être négligés devant les efforts extérieurs la réciproque du P.F.S n est pas forcément juste. EXEPLE : : l ensemble des actions extérieures sur le ciseau sont nulles, alors qu il va se mettre à bouger. 5.4 Théorèmes généraux de la statique Une égalité de torseur se traduit par deux égalités vectorielles. Dans un problème spatial, elle génère 6 équations scalaires mais dans un problème plan, seulement 3 équations scalaires. insi, on déduit du principe fondamental de la dynamique les deux théorèmes suivants. 5.4.1 Théorème de la résultante statique Dans un repère galiléen R g, si un système matériel (Σ) est en équilibre, la résultante statique R Σ Σ est nulle : R Σ Σ X. x + Y. y + Z. z X, Y, et Z 5.4.2 Théorème du moment statique Dans un repère galiléen R g, si un système matériel (Σ) est en équilibre, le moment statique (,Σ Σ) est nulle pour tout point de l espace : (,Σ Σ) L. x +. y + N. z L,, et N LYCÉE CRNOT (DIJON) CI-5 CTIONS ÉCNIQUES PSI - PCSI
5. PRINCIPE FONDENTL DE L STTIQUE (PFS) 13/2 5.5 Théorèmes des actions réciproques Soient deux systèmes distincts Σ 1 et Σ 2 (Σ 1 Σ 2 ). lors le théorème des actions réciproques énonce que les actions mécaniques de Σ 1 sur Σ 2 sont opposées aux actions mécaniques de Σ 2 sur Σ 1 {F Σ1 Σ2 {F Σ2 Σ1 DÉONSTRTION : Soit Σ tel que Σ 1 Σ 2 Σ. Les systèmes sont supposés être à l équilibre dans le repère galiléen R g. Isolons Σ 1. Le principe fondamental de la statique appliqué à Σ 1 dans le repère galiléen R g s énonce : { {F Σ Σ1 + {F Σ2 Σ1 Isolons Σ 2. Le principe fondamental de la statique appliqué à Σ 2 dans le repère galiléen R g s énonce : { {F Σ Σ2 + {F Σ1 Σ2 Isolons enfin Σ. Le principe fondamental de la statique appliqué à Σ dans le repère galiléen R g s énonce : { {F Σ Σ {F Σ Σ1 + {F Σ Σ2 En retranchant la dernière équations à la sommes des deux premières : { {F Σ2 Σ1 + {F Σ1 Σ2 {F Σ2 Σ1 {F Σ1 Σ2 5.6 Système soumis à l action de 2 glisseurs (forces) Le système (S ) est soumis à deux forces : F appliquée en et F appliquée en. Le principe fondamental de la statique nous permet d écrire : { F + { { F { { F F + F F + F F { F F λ / λ. F x x F Lorsqu un système en équilibre est soumis à deux forces, ces deux forces sont colinéaires, de même norme et opposées. F 5.7 Système soumis à l action de 3 glisseurs (forces) Le système S est soumis à trois forces F, F, F C appliquées en, et C. Soit : aucune des forces n est parallèle à une des deux autres forces, deux forces sont parallèles. LYCÉE CRNOT (DIJON) CI-5 CTIONS ÉCNIQUES PSI - PCSI
5. PRINCIPE FONDENTL DE L STTIQUE (PFS) 14/2 5.7.1 Les forces ne sont pas parallèles Le système S est soumis à trois forces F, F, F C appliquées en, et C. Le principe fondamental de la statique nous permet d écrire : { { { { { { { F F + F + C F F + F F + C C C F C F + F + F C F + C F C Pour vérifier la deuxième équation, il faut que les deux vecteurs F et C F C soient parallèles. Or F est perpendiculaire au plan (P1) (,, F ) et C F C est perpendiculaire au plan (P2) (, C, F C ). Ces deux plans doivent donc être parallèles. appartient aux deux plans (P1) et (P2), ces deux plans sont donc confondus.,, C, F et F C sont dans un même plan. F et F C sont coplanaires mais non parallèles, ils se coupent donc en un point I. { { { F I F F + I I F F + C I IC F I C F + F + F C I F { Pour vérifier l équation de moment, il faut que λ R/ F λ. I. Pour qu un solide S soumis à trois forces non parallèles soit en équilibre, il faut que ces trois forces soient coplanaires, concourantes et de somme nulle. 5.7.2 Deux forces sont parallèles + + C+ F C C+ F C + + F F C F F F F et F C sont parallèles., C, F et F C sont donc coplanaires. Le principe fondamental de la statique nous permet d écrire : { F + { F + C F + F + F C F + C F C { { F C F + { F F + { Pour vérifier l équation de la résultante, il faut que F soit aussi parallèle à F et F C. Pour vérifier l équation du moment, il faut que appartienne au plan, C, F et F C. F C C F C { x Cx F C F x x x F F C F F C Cx F F F x x Cx F C LYCÉE CRNOT (DIJON) CI-5 CTIONS ÉCNIQUES PSI - PCSI
6. LIISONS ÉQUIVLENTES 15/2 Lorsqu un solide (S) en équilibre est soumis à trois forces dont deux d entre elles sont parallèles, il faut que la troisième soit coplanaire et parallèle et que la somme des trois forces soit nulle ainsi que le moment de ces trois forces. 5.7.3 ilan Pour qu un solide soumis à trois forces soit en équilibre par rapport à un repère galiléen, il faut et il suffit que ces forces soient : coplanaires, parallèles ou concourantes, à somme nulle et à somme des moments nulle. 6 Liaisons équivalentes fin d étudier la cinématique d un mécanisme, on cherche à remplacer des associations de liaisons en parallèle ou en série par une liaison élémentaire normalisée et dont le comportement est cinématiquement équivalent. 6.1 Liaisons en parallèle L associations de liaisons en parallèle peut engendrer des inconnues hyperstatiques. Le calcul du degré d hyperstatisme dit " interne " s effectue de la même manière que précédemment. L 1 L 2 P 1 P 2 L i L n 6.1.1 pproche cinématique L eq P 1 P 2 Pour que la liaison équivalente L eq entre P 1 et P 2 soit compatible avec les autres liaisons simples parallèles, il faut que son torseur cinématique soit égal au torseur cinématique associé à chaque liaison parallèle : { { { V L eq P 2 /P 1 V L 1 P 2 /P 1... V L n P 2 /P 1 6.1.2 pproche statique Isoler P 2 permet de faire le bilan des actions mécaniques qui lui sont exercées. Le principe fondamentale de la statique (ou de la dynamique) appliqué à P 2 nous permet d écrire que : { { { F L eq P 2 P 1 F L 1 P 2 P 1 +... + F L n P 2 P 1 6.2 Liaison en série P 1 L 1 P 2 P n 1 L n P n P 1 L eq P n LYCÉE CRNOT (DIJON) CI-5 CTIONS ÉCNIQUES PSI - PCSI
7. RÉSOLUTION D UN PROLÈE DE STTIQUE 16/2 6.2.1 pproche cinématique Par composition des vecteurs vitesses : { { { V L eq P n /P 1 V L n 1 P n /P n 1 +... + V L 1 P 2 /P 1 6.2.2 pproche statique Par application du successives du PFS à n 1 solide i : {F Pi 1 Pi + {F Pi+1 Pi {F Pi+1 Pi { {F Pi Pi 1 On en déduit donc que : { { { F L eq P n P 1 F L 1 P n P n 1... F L n P 2 P 1 7 Résolution d un problème de statique 7.1 Hypothèses On suppose que les solides sont indéformables les liaisons sont géométriquement parfaites les actions mécaniques des fluides, le frottement sont pris en compte ou négligés. 7.2 lgorithme de résolution 7.2.1 éthodes de résolution Deux méthodes peuvent être envisagées pour résoudre un problème de statique éthode graphique : le problème doit être plan les actions mécaniques extérieures doivent être modélisables par des glisseurs coplanaires éthode analytique : Le problème doit être isostatique (cf cours sur les mécanismes l année prochaine). Si le problème comporte n inconnues statiques (d efforts), il doit permettre d écrire n équations indépendantes. L écriture du théorème de la résultante, en projection sur les axes du repère, nous fournit 3 équations ( 2 équations en 2D ). L écriture du théorème du moment résultant, en projection sur les axes du repère, nous fournit 3 équations ( 1 seule équation en 2D ). 7.2.2 lgorithmes 1. Identifier les actions mécaniques connues et inconnues par un graphe des liaisons (recensement de toutes les actions mécaniques) LYCÉE CRNOT (DIJON) CI-5 CTIONS ÉCNIQUES PSI - PCSI
7. RÉSOLUTION D UN PROLÈE DE STTIQUE 17/2 2. Isoler le système en faisant apparaître les inconnues recherchées et en limitant le nombre d inconnues 3. Réaliser le bilan des actions mécaniques (de contact et à distance) 4. odéliser ces actions mécaniques en tenant compte des hypothèses et on écrit le torseur d actions mécaniques correspondant. 5. Décompter toutes les inconnues I s Si I s 6, écrire le PFS en déplaçant tous les torseurs au même point (choisir parmi les différents points disponibles pour les torseurs, celui qui demande le moins de changements de points et fait apparaître le moins de termes) Sinon, écrire le PFS et isoler d autres ensembles en pensant à utiliser le théorème des actions réciproques. RERQUE: ON N ISOLE JIS LE ÂTI 7.3 Résolution d un problème de statique plan 7.3.1 Rappel Si le mécanisme est modélisé comme plan (de plan ( x, y )), les forces auxquelles on s intéresse sont dans le plan (F x et F y ), et les moments sont hors plan ( z ). Les torseurs des liaisons ne font apparaître que ces quantités. 7.3.2 Graphe des liaisons Pour s aider dans les isolements, on peut utiliser les symboles : 7.3.3 Ordonnancement des isolements Si un système matériel est en équilibre sous l action de deux glisseurs, les deux résultantes sont égales et directement opposées, donc Si un système matériel est en équilibre sous l action de trois glisseurs, les résultantes de ceux-ci sont : coplanaires concourantes ou parallèles de sommé géométrique nulle. Pour résoudre un problème de statique graphique, il faut, sur le graphe des liaisons, isoler les solides ou groupes de solides soumis à 2 ou 3 glisseurs, et leur appliquer le PFS pour obtenir des informations supplémentaires sur les forces. 7.4 Exemple de statique graphique LYCÉE CRNOT (DIJON) CI-5 CTIONS ÉCNIQUES PSI - PCSI
8. TLEU DES LIISONS NORLISÉES 18/2 8 Tableau des liaisons normalisées LYCÉE CRNOT (DIJON) CI-5 CTIONS ÉCNIQUES PSI - PCSI
ddl Nom de la liaison ddl tr rt 1 ddl 1 tr rt 1 ddl tr 1 rt 1 ddl 1 tr 1 rt 2 ddl 1 tr 1 rt 2 ddl tr 2 rt Schéma spatial Schéma plan Caractéristique géométrique Encastrement (ε) Glissière Pivot Hélicoïdale Pivot glissant Rotule à doigt 1 direction x (ε) 1 axe (, x ) (, x ) 1 axe (, x ) (, x ) 1 axe (, x ) (, x ) 1 point, centre de liaison { { V. x Torseur cinématique {V 1/ { ω. x { ω. x V. x avec V p 2.π.ω { ω. x V. x X { Ω (S 1/S ) V (X,S 1/S ) { Ω (S 1/S ) avec Ω (S 1/S ). x u1 p1 R p 2.π.p 1 p1 p1 u1 q1 r1 R R R R R Torseur des actions mécaniques transmissibles X1 L1 Y1 1 Z1 N1 L1 Y1 1 Z1 N1 X1 Y1 1 Z1 N1 R R R 2.π.X 1 X1 p Y1 1 Z1 N1 Y1 1 Z1 N1 X1 L1 Y1 Z1 R R R
ddl Nom de la liaison 3 ddl tr 3 rt 3 ddl 2 tr 1 rt 4 ddl 1 tr 3 rt 4 ddl 2 tr 2 rt 5 ddl 2 tr 3 rt Rotule ppui plan Schéma spatial Schéma plan Caractéristique géométrique 1 point, centre de liaison Normal au plan y, (ε) Linéaire annulaire 1 axe (, x ), centre de sphère Linéaire rectiligne Ponctuelle Normal au plan y, Droite de contact (, x ) Normal au plan y, point de contact Torseur cinématique {V 1/ { Ω (S 1/S ) avec Ω (S 1/S ) quelconque { Ω (S 1/S ) V (,S 1/S ) avec V (,S 1/S ). y { Ω (S 1/S ) V. avec x Ω (S 1/S ) quelconque { ω x. x + ωy. y V (,S 1/S ) avec V (,S 1/S ). y { Ω (S 1/S ) V (,S 1/S ) avec Ω(S 1/S ) quelconque et V (,S 1/S ). y X { Ω (S 1/S ) V (X,S 1/S ) p1 q1 r1 u1 q1 w1 p1 u1 q1 r1 p1 u1 q1 w1 p1 u1 q1 r1 w1 R R R R R Torseur des actions mécaniques transmissibles X1 Y1 Z1 L1 Y1 N1 Y1 Z1 Y1 N1 Y1 R R R R R