Concours de l Iscae Épreuve Commune de Mathématiques (04) Voici l énoncé de l épreuve commune de Mathématiques du concours d entrée à l ISCAE de l année 04, ainsi qu un extrait du corrigé. L intégralité des corrigés sera prochainement disponible dans un ouvrage édité par edukaty. Comme les années précédentes, cette épreuve est un QCM de 0 questions, d une durée de heures, qui aborde quatre principaux thèmes du programme de Mathématiques des prépas ECT : Analyse (fonctions, suites, intégrales, et), Matrices Récurrentes, Probabilités Discrètes, et Probabilités Continues. Bien qu étant un QCM, l équipe pédagogique d edukaty considère les épreuves de l ISCAE assez difficiles, compte tenu du fait qu elles sont destinées à des élèves de la filière ECT et à des Bac +. Toutefois, comme nous ne cessons de le rappeler à nos élèves, lors d un concours, l objectif n est pas d avoir une excellente note dans l absolu, mais uniquement de faire relativement mieux que les autres candidats. Et nous pensons de plus qu un étudiant qui a travaillé consciencieusement les derniers mois avant les concours est en mesure de traiter une grande partie des questions d une telle épreuve. Naturellement tout lecteur qui repérerait une erreur pourra nous contacter en nous envoyant un email à l adresse suivante : contact@myedukaty.com. Bonne chance à vous tous! L équipe pédagogique d edukaty Résidence Artois 4 rue de Sebou, Quartier Gauthier Casablanca 05 6 7-06 76 8 6 08 /7
. Pour tout réel y supérieur ou égal à et pour tout entier n supérieur ou égal à, on pose : y F n (y) = x n dx La limite de F n (y) quand y tend vers + est égale à : ln(n ) (n ) n (n ) ln (n ). Pour n N, on désigne par S n la somme des (n+) premiers nombres entiers naturels impairs. Pour tout n, S n = n (n+) (n+) n n+. Soit X une variable aléatoire admettant pour densité la fonction f définie par : { 0 si x 0 f(x) = xe x si x > 0 On pose Y = X L équation de la variable aléatoire Y est égale à : e e e 4. Un urne contient cinq boules noires et cinq boules blanches. On tire successivement et avec remise n de ces boules dans l urne, n étant un entier naturel supérieur ou égal à. On considère les deux événements suivants : A : «On obtient des boules des deux couleurs» B : «On obtient au plus une boule blanche» Les événements A et B sont indépendants si, et seulement si : n = n n = n+ n = n+ n = n 5. Soit la matrice A = 4 9 et soit A la matrice inverse de A. 4 6 Le deuxième vecteur-colonne de la matrice inverse A est noté C. On a alors : C = 4 6 C = 8 6 C = 6 C = 4 0 6. Soient dés A et B à 6 faces équiprobables. Le dé A a pour faces ; 6; ; 6; ;, et le dé B pour faces ;5;;5;;5. Deux joeurs J et J s affrontent et lancent chacun un dé. Le gagnant est celui dont le dé montre la face qui comporte le chiffre le plus gran Si J joue avec le dé A, et J avec le dé B, alors J a une probabilité de gagner égale à : 7. Soit f la fonction réelle polynomiale définie par f(x) = 6x 4 + 5x 8x + 5x + 6. On note x (respectivement x ) la plus petite (respectivement plus grande) solution réelle de l équation f(x) = 0, alors x +x = 0 Indication : On pourra songer à effectuer le changement de variable t = x+ x calcul suivant : 5 = 5 n (k ) k 8. On pose pour tout n N : S n = k! k=0 lim S n = n + et on pourra utiliser le Résidence Artois 4 rue de Sebou, Quartier Gauthier Casablanca 05 6 7-06 76 8 6 08 /7
5e 5 e + 9. Une urne U contient boules rouges et 5 vertes. Une urne U contient n boules rouges, vertes et blanches. On tire au hasard une boule de U, puis on la jette dans U. On tire enseuite au hasard deux boules de U. Si on tire deux boules rouges de U, on gagne 50 dirhams. Si on tire deux boules vertes de U, on gagne 0 dirhams. Si on tire deux boules blanches de U, on gagne 0 dirhams. Si on tire deux boules de couleurs différentes de U, on perd 0 dirhams. Soit X la variable aléatoire «gain en dirhams à l issue d une telle épreuve» L espérance de X est 5(4n 9n ) 5(4n 4n ) 5(4n 7n ) 5(n 9n ) 0. La durée de fonctionnement moyenne d un téléviseur d une référence donné avant sa première panne est de 0 ans. On suppose que la variable aléatoire T définissant la durée de vie de ce téléviseur (temps écoulé entre sa mise en service et sa première panne) a pour densité de probabilité la fonction f définie sur R par : f(t) = 0 e t 0 si t 0 0 sinon La probabilité que le téléviseur n ait pas de panne pendant ans, sachant qu il n en a pas pendant 4 ans est : e. Pour tout entier naturel n, on note : I n = 0 e x ( x) n dx et J n = Pour tout n de N, on a : I n = n+ ( J n+) I n = n+ ( J n+) I n = n+ ( 4J n+) I n = n+ (4 5J n+) 0 xe x ( x) n dx e 0,8. Soit f la fonction réelle de la variable réelle x définie sur D = ]0 ; [ ] ; + [ par f(x) = Alors f est dérivable sur D, et pour tout x D sa dérivée f (x) est : x x x x x x lnt dt.. Une entreprise produit des objets sur deux chaînes de montage C et C qui fonctionnent indépendamment l une de l autre. Pour une chaîne donnée, les fabrications des objets sont indépendantes. La chaîne C produit 60% des objets et la chaîne C produit 40% des objets. Résidence Artois 4 rue de Sebou, Quartier Gauthier Casablanca 05 6 7-06 76 8 6 08 /7
La probabilité qu un objet construit par la chaîne C soit défectueux est 0, alors que la probabilité pour qu un objet construit par la chaîne C soit défectueuse est 0,. On choisit au hasard un objet à la sortie de l entreprise. On constate que cet objet est défectueux. La probabilité de l événement "l objet provient de la chaîne C " est égale à : 4 7 8 4. Des enfants s entrainent à réussir des paniers de basket. Pour chacun d eux, indépendamment les uns des autres et des essais successifs, la probabilité de réussite d un panier est p (p ]0 ; [). Hamza est l un de ces enfants ; soit N le nombre d essais que va faire Hamz La condition nécessaire et suffisante pour que la probabilité qu il réussisse au moins un panier soit supérieur ou égale à α (α ]0 ; [), est N lnα lnp N ln( α) lnp N lnα ln( p) N ln( p) lnα 5. La nuit dans la savane, un lion se rend à la rivière pour boire et y reste un quart d heure. Après de nombreuses observations, on estime que l instant T d arrivée du lion se situe entre 0 heure et heures. On admet que T, exprimée en heures, est une variable aléatoire dont une densité de probabilité est la fonction{ f définie par : 0 si t / [0 ; ] f(t) = où c est une constante (éventuellement à calculer). ct( t) si t [0 ; ] Un observateur se présente à la rivière à 0 heure 0 minutes et y reste un quart d heure. La probabilité qu il aperçoive le lion est : 8 5 8 6. Soient f et g les fonctions numériques de la variable réelle définies sur R par f(x) = 4 45 8 +x et g(x) = ln(x+ x +). Pour tout réel λ strictement positif, on note A(λ) l aire (exprimée en unité d aire) du domaine constitué par l ensemble des points M (x,y) tels que : λ x λ et 0 y f(x). Après avoir calculé la dérivée g (x), on déduit que la limite de A(λ) lorsque λ tend vers + est égale à : ln ln ln 7. Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0 ; ]. On pose Y = X. On considère le réel a [0 ; ] tel que P(Y a) = P(Y > a). a est égal à : 4 8. On étudie le mouvement aléatoire d une puce. Cette puce se déplace sur trois cases notées A,B et C. À l instant 0, la puce est en A. Pour tout entier naturel n : Si à l instant n la puce est en A, alors à l instant (n+), elle est soit en B avec probabilité égale à ; soit en C avec une probabilité égale à. Résidence Artois 4 rue de Sebou, Quartier Gauthier Casablanca 05 6 7-06 76 8 6 08 4/7
Si à l instant n la puce est en B, alors à l instant (n + ), elle est soit en C soit en A de façon équiprobable. Si à l instant n la puce est en C, alors elle y reste. On note A n (respectivement B n,c n ) l événement «à l instant n la puce est en A» (respectivement en B,C). On note a n (respectivement b n,b n ) la probabilité de l événement A n, (respectivement en B n,c n ). Alors lim n + c n = 0 ln 9. On considère la matrice carrée d ordre : A = 0 0 0 0 4 Soit X M (R) un vecteur-colonne de R. On définit la matrice P avec les propriétés suivantes : Les termes diagonaux de P sont tous égaux à. La première colonne de P est une solution non nulle de AX = 0. La deuxième colonne de P est une solution non nulle de AX = X. La troisième colonne de P est une solution non nulle de AX = 4X. On vérifie que P est inversible. La matrice inverse P est alors égale à : 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. On désigne par λ un réel strictement positif et on considère la fonction f, définie sur R, par : x R, f(x) = λ x e λx La fonction f peut être considérée comme densité d une variable aléatoire X si λ est égal à : ln 4 Résidence Artois 4 rue de Sebou, Quartier Gauthier Casablanca 05 6 7-06 76 8 6 08 5/7
Extrait du corrigé Question. Dans la mesure où la fonction x x n n admet pas de primitive explicitement calculable sur [ ; y], il est naturel d effectuer une intégration par parties, en dérivant ln x et en primitivant x n. On obtient alors : u = v = x n u = x Donc : F n (y) = n lny y n 0 ; y + v = n + [ x n x n ] y y + (n )x n dx. De plus dx existe car n. xn Donc : + lim F n(y) = y + (n )x n dx [ = n (n )x n = (n ) La bonne réponse est donc Question. ] + En écrivant cette somme "à la main", on obtient : S n = ++5+ +(n+). Cette somme contient bien (n+) termes, car = 0+. On peut donc écrire : n S n = (k +) k=0 n n = k + k=0 [ k=0] n(n+) = +(n+) = (n+) Il peut être intelligent de vérifier ce résultat pour n = et n =. S = + = 4 = (+). S = ++5 = 9 = (+). La bonne réponse est ainsi Question 6. Dans un tel exercice, le plus intuitif est de dresser un tableau des différents scénarios possibles, et de dénombrer le nombre de scénarios favorables. Au croisement d une ligne et d une colonne, on indique le joueur gagnant. On obtient donc : J a donc une probabilité de gagner de 4 6 =, soit la réponse Résidence Artois 4 rue de Sebou, Quartier Gauthier Casablanca 05 6 7-06 76 8 6 08 6/7
B A 5 5 5 J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J 6 J J J J J J 6 J J J J J J Question. La structure de l énoncé nous amène à vouloir utiliser le théorème de Bayes. Si on appelle C (resp C ) l événement "l objet provient de la chaîne C " (resp C ) et D l événement "l objet est défectueux" alors nous devons calculer. P(C /D) = P(C D) = P(D/C ) P(C ) P(D) P(D) Or C et C forment un système complet d événements, donc : P(D) = P(D/C )P(C )+P(D/C )P(C ) = 0, 0,6+0, 0,4 = 0,4 Et donc : P(C /D) = 0, 0,6 = 0,4 7. La bonne réponse est donc e. Résidence Artois 4 rue de Sebou, Quartier Gauthier Casablanca 05 6 7-06 76 8 6 08 7/7