e série Eercices sur les études de fonctions Pour les courbes, on vérifiera sur calculatrice graphique On rappelle également que les tableau de variations (tableau récapitulatifs) doivent comporter les limites et les valeurs des etremums) On considère la fonction f définie par f et on note C sa courbe représentative dans le plan muni d un repère O, i, j ) Étudier f (dérivée, tableau de variation, limites et conséquence graphique) ) Déterminer l équation réduite de la tangente T à C au point A d abscisse 0 Etudier la position relative de C par rapport à T ) Tracer C, l asymptote horizontale, les tangentes horizontales et la tangente T On considère la fonction f définie par f et on note C sa courbe représentative dans le plan muni d un repère O, i, j ) Étudier f (dérivée, tableau de variation, limites et conséquences graphiques) ) Etudier la position relative de C par rapport à son asymptote horizontale ) Tracer C, ses asymptotes, la tangente horizontale et la tangente T à C au point A d abscisse 0 On considère la fonction f définie par f et on note C sa courbe représentative dans le plan muni d un repère O, i, j ) Étudier f (ensemble de définition, dérivée, tableau de variation, limites) c ) Déterminer trois réels a, b, c tels que pour tout réel on ait f a b ; en déduire que C admet une asymptote oblique en et en Etudier la position relative de C par rapport à ) Déterminer les points de C en lesquels la tangente est parallèle à pour centre de symétrie ) a) Démontrer que C admet le point 0 ; b) Déterminer l équation réduite de la tangente T à C en 5 ) Démontrer que l équation f 0 admet une unique solution dans l intervalle A l aide de la calculatrice, donner un encadrement de par deu décimau d ordre 6 ) Tracer C,, les tangentes du ) et la tangente T 0 ; On considère la fonction f définie par f 6 et on note C sa courbe représentative dans le 0 plan muni d un repère O, i, j (unité graphique :,5 cm) ) Déterminer l ensemble de définition de f ) Étudier f (tableau de variation, limites, conséquences graphiques pour C ) ) Etudier la position relative de C par rapport à son asymptote horizontale ; on donnera en particulier les coordonnées du point A d intersection de C avec ) Déterminer les abscisses des points d intersection B et C de C avec l ae des abscisses 5 ) Tracer C et ainsi que les tangentes au points A, B, C en epliquant (graphique complet avec pointillés et valeurs sur les aes correspondantes) 6 ) Déterminer l équation réduite de la tangente T à C en A 7 ) a) On considère le polynôme P 7 B Vérifier que pour tout réel on a P b) Démontrer que T recoupe C en un point D dont on déterminera l abscisse (on démontrera que l équation donnant les abscisses des points commun à C et T est équivalente à l équation P 0) 8 ) On considère l équation m m 0m 6 0 (E) d inconnue où m est un réel Démontrer que (E) est équivalente à l équation f m ; en déduire le nombre de solutions de (E) suivant les valeurs de m 5 On considère la fonction f définie sur \ par f dans le plan muni d un repère O, i, j ) Etudier le sens de variation de f On donnera une forme quotient factorisé pour (unité graphique : cm) f ' et on note C sa courbe représentative ) a) Déterminer les limites de f en, en et en Donner les conséquences graphiques éventuelles b) Démontrer que C admet la droite d équation y pour asymptote oblique en et en c) Etudier la position relative de C par rapport à ; on donnera en particulier les coordonnées du point A d intersection de C avec ) Tracer C, ses asymptotes et les tangentes horizontales On observera que la tangente à C au point O est une tangente d infleion c est-à-dire que la courbe traverse cette tangente (elle est d un côté puis de l autre) 6 On considère la fonction f définie par f et on note C sa courbe représentative dans le plan muni d un repère O, i, j (unité graphique : le centimètre) ) Étudier f (dérivée, tableau de variation, limites, conséquences graphiques éventuelles) ) Démontrer que, pour tout réel différent de, on a : f ; en déduire que C admet une asymptote oblique en et en Etudier la position relative de C par rapport à C
) Faire un tableau de valeurs pour ; ; 5avec un pas de (valeurs eactes) Tracer C et ses asymptotes et ' ainsi que les tangentes horizontales (graphique complet avec pointillés et valeurs sur les aes correspondantes) ) Déterminer un vecteur directeur v à coordonnées entières de la tangente T à C au point A d abscisse 0 ; tracer T 5 ) Déterminer par le calcul les coordonnées du point d intersection des asymptotes et ' puis démontrer que C admet le point pour centre de symétrie 6 ) Résoudre l inéquation f a) graphiquement en epliquant b) par le calcul 7 ) Déterminer graphiquement l ensemble E des valeurs de m pour lesquelles l équation deu solutions de signes contraire f m admet 7 L unité de longueur est le centimètre On considère un rectangle ABCD tel que AB 5 et AD Soit un réel quelconque de l intervalle 0 ; 5 On note B le point de AB tel que BB', D le point de AD n appartenant pas à AD tel que DD' et C le point tel que le quadrilatère AB C D soit un rectangle 0 ; 5 ) Vérifier que ABCD et AB C D ont le même périmètre quel que soit le réel de ) On note f l aire en cm de AB C D Eprimer f en fonction de (sous forme développée réduite) ) Former le tableau de variation de f sur l intervalle 0 ; 5 ) Tracer la représentation graphique C de f dans un repère orthogonal O, i, j abscisse, 0,5 cm en ordonnée) 5 ) Soit m un réel fié Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l équation (unités : cm en f m suivant les valeurs de m 6 ) Déterminer pour quelles valeurs de l aire de AB C D mesure 9,75 cm Déterminer pour quelles valeurs de l aire de AB C D mesure 0 cm Donner les valeurs eactes Etudier la position relative de C par rapport à ) Tracer C et ) Déterminer par le calcul les coordonnées du point d intersection des asymptotes et ' puis démontrer que C admet le point pour centre de symétrie 5 ) Déterminer les points K et L de C en lesquels les tangentes sont perpendiculaires à 6 ) Soit m un réel fié Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l équation f m suivant les valeurs de m 5 9 On considère la fonction f : et on note C sa courbe représentative dans le plan muni d un repère O, i, j (l unité graphique est le centimètre) ) Étudier f (ensemble de définition, dérivée, tableau de variation, limites et conséquences graphiques éventuelles) c ) Déterminer trois réels a, b, c tels que pour tout réel on ait f a b ; en déduire que C admet une asymptote oblique en et en puis étudier la position relative de C par rapport à 0 ; ; avec un pas de 0,5 (valeurs eactes) ) Faire un tableau de valeurs pour Tracer C et ses asymptotes et ' ainsi que les tangentes horizontales (graphique complet avec pointillés et valeurs sur les aes correspondantes) ) Déterminer un vecteur directeur v à coordonnées entières de la tangente T à C au point A d abscisse 0 ; tracer T 5 ) Déterminer par le calcul les coordonnées du point d intersection des asymptotes et ' puis démontrer que C admet le point pour centre de symétrie 5 6 ) Résoudre l inéquation f () a) graphiquement en epliquant b) par le calcul f m (E) admet deu solutions 7 ) Déterminer graphiquement pour quelles valeurs de m l équation de distinctes dans de signe contraire K L 8 Partie A c On considère la fonction f : a b où a, b, c sont trois réels Déterminer les valeurs de a, b, c sachant que la représentation graphique de f dans le plan muni d un repère orthonormé O, i, j, d une part passe par le point A ; et d autre part est tangente à l ae des abscisses au point B ; 0, déterminer les valeurs de a, b, c Partie B On considère la fonction g : et on note C sa courbe représentative dans le plan muni d un repère O, i, j (unité graphique : le centimètre) ) Étudier f (dérivée, tableau de variation, limites, conséquences graphiques éventuelles) ) Démontrer que C admet la droite d équation y pour asymptote oblique en et en a b 0 On considère la fonction f : où a et b sont deu réels et on note C sa courbe représentative dans le plan muni d un repère O, i, j (l unité graphique est le cm) ) Déterminer a et b pour que C coupe l ae des ordonnées au point A 0 ; et admette une tangente horizontale au point C d abscisse ) Étudier f (ensemble de définition, dérivée, tableau de variation, limites et conséquences graphiques éventuelles) \ f ; en déduire ) Déterminer trois réels,, tels que, pour tout, on ait que C admet une asymptote oblique en et en Etudier la position relative de C par rapport à ) Faire un tableau de valeurs Tracer C, l asymptote oblique, l asymptote verticale ', les tangentes horizontales ainsi que la tangente T au point A en epliquant (pointillés et valeurs correspondantes sur les aes à ne pas oublier)
5 ) Déterminer par le calcul les coordonnées du point d intersection des asymptotes et ' Démontrer que C admet le point pour centre de symétrie 6 ) Déterminer graphiquement en epliquant le nombre de solutions de l équation m m 0 (E) d inconnue où m est un réel Retrouver le résultat par le calcul 7 ) On considère la fonction g : et on note C sa courbe représentative dans le plan Etudier la parité de g ; en déduire le tracé de C en rouge sur le même graphique qu au ) Soit C la courbe d équation y dans le plan muni d un repère O, i, j Pour tout point M de C d abscisse a, on note T la tangente à C en M ) Déterminer l équation réduite de T sous la forme y où et sont des réels que l on donnera en fonction de a ) a) Développer le polynôme P a a b) En déduire que T recoupe C en un point N dont on calculera les coordonnées en fonction de a c) Soit I le milieu de MN Démontrer que I appartient à une courbe fie dont on donnera une équation On considère la fonction f : et on note C sa courbe représentative dans le plan muni d un repère O, i, j (l unité graphique est le centimètre) ) Donner l ensemble de définition de f f ' ) Calculer ) Dresser le tableau de variation de f ) Calculer les limites de f au bornes de son ensemble de définition et donner les conséquences graphiques éventuelles 5 ) Démontrer que C admet la droite d équation y pour asymptote oblique en et en Etudier la position relative de C par rapport à ) Tracer C, les asymptotes et les tangentes horizontales On considère la fonction f : et on note C sa courbe représentative dans le plan muni d un repère O, i, j (l unité graphique est le centimètre) ) Donner l ensemble de définition de f ) Calculer f ' ) Dresser le tableau de variation de f ) Calculer les limites de f au bornes de son ensemble de définition et donner les conséquences graphiques éventuelles 5 ) Etudier la position relative de C par rapport à son asymptote horizontale 6 ) Déterminer les points d intersection de C avec l ae des abscisses 7 ) Tracer C, et les tangentes horizontales (on respectera l unité donnée au début de l eercice) Sur le même graphique, tracer la droite D d équation réduite y 8 ) La fonction f est-elle bornée sur? 9 ) a) Factoriser le polynôme P On pourra écrire P b) Résoudre dans l inéquation f Contrôler graphiquement 0 ) Déterminer graphiquement suivant les valeurs de m, en epliquant, le nombre de solutions dans de m m m 0 (E) d inconnue où m est un réel l équation ) On considère la fonction g : a) Déterminer l ensemble de définition de g b) Etudier la parité de g c) Tracer la représentation graphique C de g en rouge sur le même graphique qu au 7 ) P 5 ) Soit le polynôme a) Déterminer une racine évidente de P b) Déterminer trois réels a, b, c tels que, pour tout réel, on ait P a b c ) Soit f la fonction définie par f a) Dresser le tableau de variations de f b) Quel est le minimum de f sur? P ) On considère le polynôme a) Déterminer une racine évidente de P b) Déterminer un polynôme du second degré Q tel que, pour tout réel, on ait P Q c) Etudier le signe de P (justifier) ) Etudier la fonction f : (dérivée, tableau de variation et limites) 6 ) Soit le polynôme P a) Déterminer trois réels a, b, c tels que, pour tout réel, on ait P a b c b) Etudier le signe de P suivant les valeurs de ) Soit f la fonction définie par f Dresser le tableau de variations de f
7 On considère la fonction f : et on note C sa courbe représentative dans le plan muni d un repère O, i, j (l unité graphique est le centimètre) ) Etudier f (dérivée, tableau de variation, limites et conséquences graphiques) ) Déterminer l équation réduite de la tangente T à C au point O ; déterminer les coordonnées du point A où T recoupe C ) Faire un tableau de valeurs Tracer C, l asymptote, la tangente horizontale ainsi que la tangente T (pointillés et valeurs correspondantes sur les aes) Placer le point A ) A tout réel m, on fait correspondre la droite D m d équation réduite y m Déterminer graphiquement le nombre points d intersection de C et de D m 5 ) On considère la fonction g : on note C sa représentation graphique Tracer C sur le même graphique qu au ) (en epliquant) 8 On considère la fonction f : et on note C sa courbe représentative dans le plan muni d un repère O, i, j (l unité graphique est le centimètre) ) Étudier f (ensemble de définition, dérivée, tableau de variation, limites et conséquences graphiques éventuelles) ) Déterminer les points d intersection A et B de C avec l ae des abscisses ) Déterminer le point d intersection C de C avec la droite d équation réduite y Déterminer un vecteur directeur v à coordonnées entières de la tangente D à C ) Faire un tableau de valeurs Tracer C,, la tangente horizontale, les tangentes en A et B, en epliquant, et la tangente D (graphique complet avec pointillés et valeurs sur les aes correspondantes) a 5 ) a) Déterminer l équation réduite de la tangente T à C en un point d abscisse a b) Déterminer les points de C en lesquels la tangente passe par O X ; Y ses coordonnées cartésiennes dans le repère R En décomposant de deu manières le vecteur OM en fonction de i et j, eprimer en fonction de X et y en fonction de X et Y Y g X ) Déterminer alors une équation cartésienne de C dans le repère R sous la forme On pourra rédiger ainsi : «M C si et seulement si si et seulement si» En déduire la nature de C Partie B Pour tout réel m, on note D la droite d équation réduite y m m ) Démontrer que l équation donnant les abscisse des points communs à C et à D m est équivalente à m 0 ) Déterminer pour quelles valeurs de m la droite D m coupe la courbe C en deu points M et N éventuellement confondus ) On note I le milieu de [MN] a) Calculer Ien fonction de m Il est inutile de calculer et M N en fonction de m ; on utilisera la somme des racines d une équation du second degré b) Donner yi en fonction de m c) Déterminer une relation liant I et y I En déduire que I appartient à une droite fie L dont on déterminera une équation 0 On considère la fonction f : et on note C sa courbe représentative dans le plan muni d un repère O, i, j (l unité graphique est le centimètre) ) Étudier f (ensemble de définition, dérivée, tableau de variation, limites et conséquences graphiques) ) Tracer C et la tangente horizontale (graphique complet avec pointillés et valeurs sur les aes correspondantes) Préciser les points d intersection de C avec les aes de coordonnées ) On considère la fonction g : et on note C sa courbe représentative Eprimer f suivant les valeurs de ; en déduire le tracé de C à partir de C g en fonction de 9 Partie A On considère la fonction f : et on note C sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthonormé R = O, i, j (unité graphique pour la figure du )) ) Étudier f (ensemble de définition, dérivée, tableau de variation, limites et conséquences graphiques éventuelles) ) Démontrer que C admet une asymptote oblique en et en ; étudier la position relative de C ) Tracer C, les asymptotes et les tangentes horizontales Pour la figure, prendre le repère R orthonormé d unité cm où est le point défini par OΩ j, I i j et J j ) On considère le repère R, I,J ) Soit M un point quelconque du plan, ; y ses coordonnées cartésiennes dans le repère R et On veut entourer par un grillage un enclos rectangulaire d aire 50 m Ce terrain donne sur une rivière et il n y a pas de grillage le long de la rive rectiligne On note la longueur des deu côtés perpendiculaires à la rive et y celle du côté parallèle à la rive ; ces deu dimensions sont eprimées en mètres,, y Attention, seuls les côtés sont entourés de grillage ) Eprimer la longueur f la longueur du grillage en mètres en fonction de (sans réduire au même dénominateur) ) Etudier f et en déduire les dimensions du terrain pour lesquelles la longueur du grillage est minimale ) Déterminer pour quelles valeurs de la longueur de grillage est inférieure ou égale à 5 m Donnée : 5 65 Une casserole est un cylindre avec fond sans couvercle On note R le rayon de la base et h la hauteur
On cherche pour une surface S de métal donnée S 0, le volume maimal ) Eprimer h en fonction de S et R ) Calculer le volume V Ren fonction de R et S ) Etudier V sur ; la valeur du maimum n est pas demandée Conclure Que peut-on dire de h et R dans ce cas? On considère la fonction f : où et sont deu réels et on note C sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthonormé O, i, j (l unité graphique est le centimètre) ) Déterminer et tels que C passe par les points A ; 5 et B ; ; dans la suite, et ont les valeurs ainsi déterminées ) Étudier f (ensemble de définition, dérivée, tableau de variation, limites et conséquences graphiques éventuelles) c \ f a b ; en déduire ) Déterminer trois réels a, b, c tels que, pour tout, on ait que C admet une asymptote oblique en et en Etudier la position relative de C par rapport à ) a) Faire un tableau de valeurs Tracer C, les asymptotes et les tangentes horizontales (pointillés et valeurs correspondantes sur les aes à ne pas oublier) b) Soit C le point où C rencontre l ae des ordonnées Tracer les tangentes T, T, T respectivement au points A, B, C 5 ) Démontrer que C admet le point I, pour centre de symétrie 6 ) Déterminer graphiquement pour quelles valeurs de m l équation m m 0 (E) d inconnue admet deu solutions dans de signes contraires d un repère O, i, j On sait que C passe par le point A ; et est tangente à l ae des abscisses au point B d abscisse ) Traduire ces informations sous forme de trois égalités à l aide de f et f b) Déterminer a, b, c ) Étudier f pour les valeurs ainsi trouvées (tableau de variation et limites) ) Déterminer les asymptotes à C ) Tracer C et ses asymptotes ainsi que la tangente D en A à C 7 En étudiant le sens de variation d une fonction bien choisie, comparer les deu nombres A 0 999998, et 0, B 0, 999999 999998 0, 999999 8 On considère la fonction f : sin et on note C sa courbe représentative dans le plan muni d un repère O, i, j On note T la tangente à C en O ) Déterminer l équation de T ) On se propose d étudier la position relative de C par rapport à T Pour cela, on considère la fonction g définie par g sin a) Calculer g' ; étudier son signe en déduire le sens de variation de g b) Calculer g 0 ; en déduire le signe de rapport à T g suivant les valeurs de puis la position relative de C par On considère la fonction f définie par f et on note C sa courbe représentative dans le plan muni d un repère O, i, j (unité graphique : le centimètre) ) Étudier f (dérivée, limites, conséquences graphiques éventuelles, tableau de variation) puis tracer C et ses asymptotes ) On note A et B les points d intersection de C respectivement avec l ae des abscisses et avec l ae des ordonnées Démontrer que les tangentes à C en A et B sont parallèles 5 Soit h une fonction définie sur telle que h lim 0 On considère la fonction f définie sur par f h dans le plan muni d un repère O, i, j Démontrer que C admet une asymptote oblique et on note C sa courbe représentative c 6 On considère la fonction f : a b et on note C sa courbe représentative dans le plan muni 9 Soit f une fonction strictement décroissante définie sur telle que lim f et f 5 0, lim f Soit g une fonction définie sur telle que la courbe représentative de g dans le plan muni d un repère admet la droite d équation réduite y pour asymptote horizontale en et en On suppose de plus que g 5 ) On considère la fonction u définie par u f g Déterminer lim u et lim u ) On considère la fonction v définie par v f g Déterminer lim v et lim v g ) On considère la fonction w définie par w f Déterminer lim w et lim w Etudier la limite de w en 5
On suppose que f et g sont continues en 5 c est-à-dire que lim f f 5et que lim g g 5 5 5 Soit C et C les courbes représentatives respectives des fonctions f et g dans le plan muni d un repère O,i, j (unité graphique : centimètres) ) Etudier f et g ) Tracer C et C ) Calculer u g f sous forme d un quotient ; en déduire les points d intersection A et B de C et C et les positions relatives C et C ) Démontrer que C et C ont la même tangente en A 0 On considère une fonction f définie et dérivable sur D = \ admettant le tableau de variation cidessous Variations de f ) La fonction f est paire f ' 0 0 ) On a ) La fonction f est majorée sur D Soit f une fonction définie sur On note C sa courbe représentative dans le plan muni d un repère O, i, j V ou F? Si pour tout réel h, on a f h f h, alors C admet le point A ; 0 pour centre de symétrie Soit C et C les courbes représentatives respectives des fonctions f : et g : dans le plan muni d un repère O, i, j (unité graphique : le centimètre) Tracer les courbes C et C Conjecture : d après le graphique, il semble qu il y ait une tangente commune à C et à C L objectif de cet eercice est de démontrer cette conjecture et de déterminer cette tangente ) Soit a un réel quelconque et A le point de C d abscisse a Déterminer une équation de la tangente T à C au point A ) Soit b un réel quelconque non nul et B le point de C d abscisse b Déterminer une équation de la tangente T à C au point B ) Etablir un système vérifié par a et b tel que T et T soit confondues Résoudre ce système ; en déduire la réponse au problème posé On considère les fonctions f : et g : Le but de cet eercice est de démontrer que, pour tout réel strictement positif, on a On considère la fonction f définie sur par f ) Démontrer que f est dérivable sur et que, pour tout réel strictement positif, on a : f ' Etudier le signe de f ' pour En déduire le sens de variation de f sur ) Etablir que f admet un etremum global sur et préciser la nature de cet etremum ) Conclure 5 Soit f une fonction définie sur On note C sa courbe représentative dans le plan muni d un repère O,i, j Soit la droite d équation réduite y V ou F? f Si est asymptote à C en, alors lim 6 Soit f et g les fonctions définies par f Démontrer, en transformant les epressions de 5 et g g, que les courbes représentatives de f et g f et dans le plan muni d un repère admettent chacune une asymptote oblique en et en 7 Déterminer lim 8 On considère la fonction f : et l on note C sa courbe représentative dans le plan muni d un repère O, i, j Déterminer les asymptotes à C 9 ) On considère la fonction f : et l on note C sa courbe représentative dans le
plan muni d un repère O, i, j a) Démontrer que C admet une asymptote oblique ; étudier la position relative de C par rapport à b) La courbe C admet-elle une autre asymptote? admet la ) Déterminer l epression d une fonction g dont la courbe représentative dans le repère O,i, j droite ' d équation réduite y pour asymptote oblique en et en, C étant toujours audessous de ' pour, et la droite D d équation réduite pour asymptote verticale et telle g 0 0 On considère la fonction f : ) Étudier f (ensemble de définition, dérivée, tableau de variation, limites) ) Les phrases suivantes sont-elles vraies ou fausses? a) f est bornée sur b) f Soit f une fonction définie sur ; on note C sa courbe représentative dans le plan muni d un repère O, i, j Dire si les phrases suivantes sont vraies ou fausses I ;0 comme centre de symétrie si, et seulement si, pour tout réel, on a : ) C admet le point f f ) C admet le point J0; comme centre de symétrie si, et seulement si, pour tout réel, on a : f f ) C admet le point K ; comme centre de symétrie si, et seulement si, pour tout réel, on a : f f ) Si f, alors C admet le point 5 ) Si f, alors C admet le point On considère la fonction f définie par I ;0 comme centre de symétrie K ; comme centre de symétrie f ) Etudier les variations de f sur ; former le tableau de variation de f sur ) Recopier et compléter la phrase «D après le tableau de variations, la fonction f admet un minimum global sur l intervalle ; ; il est obtenu pour» Retrouver ce résultat algébriquement égal à Partie A 5 On considère la fonction f : et on note C sa courbe représentative dans le plan P muni d un repère orthonormé O, i, j (unité graphique : le centimètre) ) Déterminer l ensemble de définition de f ) Étudier f (tableau de variation, limites, conséquences graphiques pour C) ) Etudier la position relative de C par rapport à son asymptote horizontale ; on donnera en particulier les coordonnées du point A d intersection de C avec ) Déterminer les abscisses des points d intersection de C avec l ae des abscisses 5 ) Tracer C et ainsi que les tangentes horizontales (graphique complet avec pointillés et valeurs sur les aes correspondantes) 6 ) A l aide du graphique, déterminer graphiquement suivant les valeurs de m, en epliquant, le nombre m m m 0 (E) d inconnue où m est un réel de solutions dans de l équation Discuter suivant les valeurs de m Partie B 5 a On considère la fonction ga : et on note a sa courbe représentative dans le plan P ) Démontrer que toutes les courbes a passent par un point fie I g ) Calculer a ' ) Déterminer les valeurs de a pour lesquelles ga n admet ni maimum relatif, ni minimum relatif ) Déterminer les valeurs de a pour lesquelles ga est strictement décroissante sur chaque intervalle de son ensemble de définition On considère la fonction f : et on note C sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthonormé O, i, j (unité graphique : le centimètre) ) Faire le tableau de variation f ) a) Vérifier que, pour tout réel, on a : f b) En déduire les abscisses des points A et B où C coupe l ae des abscisses A B ) a) Déterminer l équation réduite de la tangente à C au point A b) La droite recoupe C en un point C Déterminer l abscisse de C (utiliser le ) a)) c) Démontrer qu il eiste un autre point D de C en lequel la tangente est parallèle à ) Tracer C et 5 ) Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l équation f m () (m réel donné) suivant les valeurs de m (sous forme de tableau) 6 ) Soit E le point de C d abscisse La tangente ' en E à C recoupe C en un point F Déterminer l abscisse de F ; contrôler graphiquement 7 ) a) Déterminer l équation réduite de la tangente T a à C au point d abscisse a a sous la forme y b) Déterminer les points de C en lesquels la tangente passe par le point G ; 5 On considère la fonction f définie par f et on note C sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthonormé O, i, j ) Étudier f (dérivée, tableau de variation, limites et conséquences graphiques) ) Déterminer l équation réduite de la tangente T à C au point A d abscisse 0 ) Calculer les images par f de 7 ; ; ; ; 0,5 ; 0 ; 0,5 ; ; ; ; 5,5 ; 7 Tracer C, les tangentes horizontales et la tangente T Placer le point B où C coupe l ae des abscisses On prendra le centimètre pour unité graphique
6 Soit ABCDEFGH un cube d arête 0 0 ;0, on construit : Pour tout le point M de [AB] tel que AM le point N de [AE] tel que EN le point Q de [AD] tel que AQ le parallélépipède AMRQNPTS On note V son volume ) Eprimer V en fonction de ) Déterminer pour quelle valeur de le volume de AMRQNPTS est maimale 5 On considère la fonction f : On note C sa représentation graphique dans le plan muni d un repère O,i, j ) Déterminer l ensemble de définition D de f ) Faire le tableau de variations de f b ) Déterminer deu réels a et b tels que, pour tout réel D, on ait : f ( ) a En déduire que C se déduit de la représentation graphique H d une fonction de référence par une transformation que l on précisera ) Tracer C et H ainsi que la tangente T en O à C 5 ) Déterminer les abscisses des points de C en lesquels la tangente est parallèle à la droite d équation y = 7 (0 minutes) ) Soit f une fonction dérivable sur On note C sa courbe représentative dans le plan muni d un repère O, i, j On sait que C passe par les points A( ; ) et B( ; ) et que la tangente en A à C passe par le point C(0 ; ) Déterminer les valeurs de f (), f () et f () ) On sait que f a b c Déterminer a, b, c 8 On considère les fonctions f : et g : On note C et C leurs représentation graphiques respectives dans le plan muni d un repère O, i, j Démontrer que C et C ont la même tangente au point d abscisse 9 On considère la fonction f : On note C sa représentation graphique dans le plan muni d un repère O, i, j Déterminer en quels points la tangente à C est parallèle à la droite d équation 9y+=0 50 On considère la fonction f : Calculer ' f 5 L unité de longueur est le centimètre Soit ABSCD un carré de côté On note E le milieu de [AD] Soit M un point quelconque de [AB] distinct de B La perpendiculaire à la droite (EM) en M coupe le segment [BC] en N On pose AM 0 f l aire (en cm) du triangle EMN et l on note ) Que peut-on dire des triangles AME et BNM? En déduire BN en fonction de ) Eprimer en fonction de les aires des triangles AME et BMN ainsi que l aire du trapèze EDCN en fonction de ; en déduire que f ) En déduire pour quelle valeur de l aire du triangle EMN est maimale 5 On coupe une ficelle de mètre en deu morceau de longueur et (en mètres) Avec le premier morceau on entoure un carré ; avec le second morceau on entoure un domino c est-à-dire un rectangle dont la longueur est égale au double de la largeur ) Eprimer les dimensions du domino en fonction de (simplifier les epressions) ) On note la somme des deu aires en m Etudier f et en déduire pour quelle valeur de la somme des aires est minimale 5 ) Etudier la fonction f : (dérivée, limites, tableau de variations) ) On note C sa représentation graphique dans le plan muni d un repère orthonormé O, i, j Démontrer que C admet une asymptote oblique dont on donnera une équation Etudier la position relative de C par rapport à ) Tracer C, et les tangentes horizontales ) Déterminer l intersection de C et de la parabole P d équation y
55 ) Soit u, v, w trois fonctions dérivables sur un intervalle I Démontrer que le produit uvw est dérivable sur I et démontrer que : uvw' u ' vw uv' w uvw ' (observer que le «prime» se déplace à chaque fois) Indication : écrire uvw = (uv)w et utiliser le résultat sur la dérivée d un produit de deu fonctions dérivables Bien procéder étape par étape f : ) Calculer la dérivée de 56 Former le tableau de variations de la fonction f définie par f Calculer les etremums (valeurs eactes) 57 Former le tableau de variations de la fonction f définie par f Calculer les etremums (valeurs eactes) 58 On considère les fonctions f : et g : Soit C et C les courbes représentatives respectives des fonctions f et g dans le plan muni d un repère O, i, j (unité graphique : centimètre) ) Déterminer les points d intersection de C et C ) Démontrer que C et C ont la même tangente en l un de ces deu points ) Tracer C et C ) Tracer sur le même graphique la représentation graphique de la fonction 59 Dans une sphère de rayon R donné, on inscrit un cylindre (figure ci-contre) On pose OH 0 R ) Calculer HM² en fonction de R et de En déduire que le volume du cylindre de R et de V R En déduire que le volume du cylindre est égal à ) Calculer V ' ; faire le tableau de variation sur l intervalle [0 ; R] En déduire pour quelle valeur de le volume du cylindre est maimal h : 60 ) On note l une des dimensions en cm d un rectangle dont le périmètre mesure 8 cm Eprimer l autre dimension y en fonction de 0 ; puis l aire A du rectangle (en cm²) en fonction de Epliquer pourquoi ) Déterminer l aire maimale d un rectangle de périmètre 8 cm Préciser ses dimensions et sa nature c 6 On considère la fonction f : a b où a, b, c sont trois réels et on note C sa courbe représentative dans le plan muni d un repère O, i, j On sait que C passe par le point A ; et est tangente à l ae des abscisses au point B d abscisse ) a) Traduire ce information sous forme de égalités uniquement à l aide de f et f sans calcul et sans utiliser a, b, c On pourra s aider d un schéma b) Déterminer a, b, c ) Etudier f pour les valeurs ainsi trouvées (tableau de variations et limites) ) Déterminer les asymptotes à C ) Tracer C et ses asymptotes ainsi que la tangente D en A à C ) f ' ) f ' ) f ' ) f ) T : y ) f Solutions ; f ; f est strictement croissante sur ; C admet la droite d équation y pour asymptote oblique en et en ) C admet une tangente parallèle à au points d abscisses respectives et ) a) On vérifie que pour tout réel h, on a : f h f h 5 ) 0, 0, 0 0 Rappel : le volume d un cylindre de révolution de rayon r et de hauteur h est donné par r h ) D f \ ; 5 ) f ' 7 0 ; f est décroissante sur chacun des intervalles de son ensemble de définition lim f ; lim f ) A ; 5 ) T : y ; f ' ; f ' ; 5 8 5 f ' 7
5 ) f ' ; 7 f lim donc par limite d'un quotient lim f lim 0 C admet la droite d équation pour asymptote verticale lim f lim lim et lim f lim lim Tableau de variation : ne pas oublier la double barre pour le signe de On ne met par contre pas de 0 sur les doubles barres f est strictement croissante sur l intervalle ; f est strictement croissante sur l intervalle ; ) c) f C est au-dessus de pour f ' et les variations de f ; ; ; f est strictement décroissante sur l intervalle ; ; ; C est au-dessous de pour ; ; 8 C et sont sécantes au point A ; C admet une tangente horizontale au points d abscisses 0 et (car la dérivée s annule en 0 et en ) 6 ) f ' ) Démontrer que, pour tout réel différent de, on a f asymptote oblique en et en Etudier la position relative de C par rapport à ; en déduire que C admet une ) Faire un tableau de valeurs pour ; ; 5avec un pas de (valeurs eactes) 8 Partie A a ; b ; c 9 ) f ' On étudie le signe du polynôme Ce polynôme admet deu racines : (racine évidente) et f est croissante sur l intervalle ; et f est décroissante sur ; ; f est décroissante sur l intervalle ; ; f est croissante sur l intervalle ; f f ) lim f lim f ; lim f ; lim f D après ces deu dernières limites, C admet la droite d équation pour asymptote verticale ) a, b, c lim f lim 0 et lim f lim 0 On en déduit que C admet la droite d équation réduite y pour asymptote oblique en et en 5 ) L équation réduite de T s écrit y 6 On trace les asymptotes (verticale et oblique) et les tangentes horizontales ; 0 Pour tout 0 h h h, on a : f h ; f h f h f h 0 6 ) b) Résolution par le calcul 5 L inéquation () est équivalente à 0 ou encore à On fait un tableau de signes 5 S ; 0 ; h h h h h h 5 0 7 ) Les solutions de l équation (E) sont les abscisses des points de C dont l ordonnée est égale à m On trace sur le graphique une droite d équation y m pour une valeur de m quelconque On trouve 5 m 0 ) a ; b ) f ' ) f est définie sur \ ) f ' ) f ' ),, ; f 0 ; f ) 5 ) f 6 ) A ; 0 et B ; 0 P 9 ) a) P b) L inéquation est équivalente à ; ; On trouve 0
5 ) a) est une racine évidente de P b) ) Le minimum global de f sur est égal à a ; b c 5 ; il est obtenu pour 7 ) f ' ; f est décroissante sur l intervalle ; ; f est croissante sur l intervalle ; ; f est décroissante sur l intervalle ; f ) L équation réduite de T s écrit y ; A ; 60 ) 9 cm² 8 5 ) Les points de C en lesquels la tangente passe par O sont les points d abscisses 7 et 7 X 9 Partie A ) y X Y donc yi I 0 ) F ) V ) V Partie B ) m ; 5 ; m I ; m ; yi I On trouve a et b ), ), ), ) sont vraies ; 5 ) est fausse ) m ; 0 Partie A ) f 5 ' f est décroissante sur l intervalle ; ; f est croissante sur ; ; f est croissante sur l intervalle ; ; f est décroissante sur l intervalle ; ; f est décroissante sur l intervalle ; Partie B ) g ' a a 0 a 7 ) ) a =, b=7, c = 5 ) 8 7 59 R