I COURS FONCTIONS CONJOINTES Nous allons aborder ici expérimentalement l'étude des fonctions conjointes à l'aide d'une TI-82 rétroprojetable. Le problème qui se pose est le suivant : Si f est une fonction donnée, comment peut-on construire la représentation graphique de la fonction g définie par gx ( ) f( x), gx ( ) f( x), gx ( ) f( x a), ou encore g( x) f( x) bà partir de la représentation graphique de f? Etudions quelques exemples avec la fonction f définie par x 8 x 2 2x. 2 Naturellement, tous les résultats observés devront être justifiés dans la suite du cours. On passe de C f à C g par une translation de vecteur 2 i &. gx : f( x k) k 12345,,,, l Ces & courbes & & s'obtiennent & & par translation de vecteurs i, 2i, 3i, 4i, 5 i. Construction de g: x f( x) 5 q Construction de g: x f( x) On passe de C f à C g par une translation de vecteur 5 & j. Il est possible de composer ces deux types de translation. Pour ce dernier exemple, nous utiliserons un très court programme permettant de bien visualiser cette translation : (Pour obtenir Y1, appuyer sur 2 G ) On passe de C f à C g par une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées. Construction de gx : f( x) On passe de C f à C g par une symétrie par rapport à l'axe des abscisses. Construction de g: x f( x2) (Voir également T.P.2.) TEXAS INSTRUMENTS 1
ÉTUDE LOCALE D'UNE FONCTION Encadrement de la fonction sinus au voisinage de zéro Traçons la représentation graphique de la fonction sinus sur l'intervalle 5π 2, 5π2. On utilise la touche ( pour entrer la fonction, puis on peut choisir un écran partagé. Dans le menu 3 choisir l'option Split, et appuyer sur, : Remarque. Y1 s'obtient dans Fonction du menu 2 G. Nous avons ici un excellent outil permettant l'approche intuitive de la notion de fonction affine tangente en un point, avec la possibilité de mettre simplement en évidence le terme correcteur qui va intervenir dans notre définition. Avec la fonction sinus, nous pouvons facilement nous livrer à la recherche expérimentale d'une approximation valable au voisinage de. Nous allons procéder de la façon suivante. Construisons xsin( x) x sur l'intervalle π 2, π 2 par exemple, on obtient ceci : Pour avoir une figure plus grande nous revenons en mode Fullscreen du menu MODE. Pour étudier la fonction au voisinage de, effectuons un zoom à l'aide de *, on choisit ZBOX. On marque la boîte à l'aide des touches, 9, 7 et 8. On peut constater expérimentalement que sin( x ) est très proche de x au voisinage de, et que la courbe est localement très proche d'une droite. Il suffit d'utiliser les touches 2 # et 2& : Avec des élèves connaissant les fonctions usuelles (carré, cube, inverse...) il est possible de voir que cette courbe peut être approchée par une fonction du type xax 3 avec a <. Nous pouvons une fois de plus utiliser la calculatrice pour étudier graphiquement la valeur de a. Construisons simultanément Y1 = sin( x) x et Y2 = x 3. Nous allons montrer en étudiant le quotient Y2/Y1 qu'il existe un facteur entre ces deux fonctions. Utilisons à nouveau la construction automatique d'un tableau de valeurs : Représentons simultanément les deux fonctions x sin( x) et x x. On peut évaluer la différence entre les deux fonctions en utilisant le tableau ci-dessus, ou en calculant directement la différence sin( x) x. Par exemple : Pour le tableau de valeurs, seule Y3 nous intéresse ici. Nous pouvons donc désactiver Y1 et Y2. Pour cela on place le curseur sur le signe = et on appuie sur : Texas Instruments 2
Il suffit ensuite d'utiliser la construction automatique de tableaux de valeurs :2 # et 2& : 1 3 1 5 sin( x) x x x 12 Sur quel intervalle obtient-on deux décimales exactes? Le quotient est très proche de. On peut en déduire que sin( x) x est proche de 1 3 x. Nous pouvons à présent construire nos trois fonctions : Y1 = sin( x ), Y2 = x, Y3 = x 1 3 x et observer la validité de l'approximation obtenue. Utilisation de la TI-92 La fonction taylor du menu F5 permet de calculer le développement limité de la fonction sinus en. On entre la fonction, puis la variable, l'ordre du développement et enfin le point où ce dernier est effectué : Lorsque x est proche de, on observe que : si x >, 3 x x < sin( x) < x si x <, 3 x < sin( x) < x x Il nous restera bien sûr à le justifier! Nous pouvons vérifier tout cela numériquement : On peut ensuite prolonger l'étude comme nous l'avons fait avec la TI-82 en utilisant des outils analogues. L'approximation, excellente au voisinage immédiat de, reste intéressante pour des valeurs un peu plus grandes de x. On obtient deux décimales exactes jusqu'à.8, puis l'écart augmente : Remarque. Dans cet exemple, les encadrements trouvés s'étendent à + et à -, mais ce ne sera pas toujours le cas... De plus on remarque sur la dernière représentation graphique, ainsi que dans le dernier tableau de valeurs, que l'encadrement devient moins précis quand la taille de l'intervalle augmente. Prolongement (T.P.). Avec la méthode précédente, étudier expérimentalement le quotient X 5 /(Y1-Y3). En déduire l'approximation : TEXAS INSTRUMENTS 3
ÉTUDE EXPÉRIMENTALE DE LA MÉTHODE DES RECTANGLES Nous allons utiliser ici la TI-92 dans laquelle nous aurons au préalable écrit (ou téléchargé) le programme rectangl. Le texte complet et commenté de ce programme se trouve dans la dernière partie de ce cahier. On commence par définir une fonction, l'intervalle d'intégration et le nombre de subdivisions. La TI-92 cherche alors automatiquement un cadrage adapté à cette étude. Une nouvelle boîte de dialogue permet de préciser le point à utiliser pour le calcul (début, centre ou fin de l'intervalle). On va ainsi calculer : n 1 S1 = h f( xi) i= n 1 F xi + xi+ 1 b a S2 = h I f avec h = H 2 K n i= n 1 S3 = h f( xi+ 1) i= Calculons z par exemple une valeur approchée de 1 2 x dx en utilisant une division en 1 sousintervalles. 1. Lancement du programme rectangl() x^2##1#1 3. Utilisation des valeurs obtenues au début de l'intervalle #! 2. Choix de la fonction TEXAS INSTRUMENTS 4
2 Nous allons obtenir une meilleure approximation en calculant les images des points x i + x i +1. 2 #!" Les valeurs affichées correspondent à la valeur de la somme calculée, à une valeur numérique de l'intégrale, et à l'erreur commise en utilisant cette méthode. On peut observer qu'un doublement du nombre de points permet de diviser l'erreur par deux. (Majoration de l'erreur en A/ n) 2 4. Utilisation des valeurs obtenues à la fin de l'intervalle 1#!## 5. Utilisation des valeurs obtenues au centre de l'intervalle On peut cette fois observer qu'un doublement du nombre de points permet de diviser l'erreur par quatre. (Majoration de l'erreur en A/ n Appuyez ensuite sur et sélectionnez n pour interrompre le programme. On revient à l'écran de calcul en appuyant sur. 2 ) TEXAS INSTRUMENTS 5
a 1 b x^2 f(x) On peut à présent calculer S1( n) : s1(n). Étude du problème dans l'écran de calcul symbolique Définissons les sommes S1, S2 et S3 dans le cas d'une fonction quelconque. On peut commencer par effacer l'écran, ainsi que les variables de a à z en appuyant sur a M puis f. (b-a)/n*f(a+k*(b-a)/n),k,,n-1) s1(n) puis la limite de S1 ( n c## ) : s1(n),n,) On définit de même les deux autres sommes : On peut comparer cette limite avec la valeur exacte de l'intégrale : Nous allons maintenant définir a, b et f. TEXAS INSTRUMENTS
f(x),x,a,b) (s1(n)+s3(n))/2 t(n) f(x),x,a,b)-t(n) On peut ensuite calculer l'erreur commise lorsque l'on calcule S1 ( n) à la place de l'intégrale :! s1(n) Cette erreur est proche de 1 2n. On retrouve ainsi que celle-ci est approximativement divisée par 2 lorsque l'on double le nombre de subdivisions. On peut également vérifier que l'erreur est plus faible quand on utilise les points situés au centre de l'intervalle : Tout ceci n'est bien sûr qu'une introduction, et il resterait à démontrer que ces résultats peuvent être étendus à des fonctions plus générales. L'utilisation de la TI-92 a cependant permis de comprendre visuellement la méthode utilisée, et de vérifier qu'une petite modification de cette méthode pouvait permettre de réduire considérablement l'erreur commise.. Complément Après avoir montré que le polynôme défini par x b x c px ( ) ( )( ) a b a c f a ( x a)( x c) b a b c f b ( x a)( x b) = ( ) + ( ) + ( )( ) ( )( ) ( c a)( c b) f () c est le polynôme de second degré coincidant avec f en a, b et c, on peut en déduire une autre méthode de calcul approché d'intégrales. L'idée est de remplacer f sur un intervalle par le polynôme p obtenu en prenant a et b égaux aux bornes et c égal au centre de cet intervalle. Cette fois l'erreur est divisée par 4 lorsque l'on double le nombre de points. On obtient une erreur du même ordre de grandeur si on utilise la méthode des trapèzes, qui revient en fait à calculer la moyenne des deux sommes S1 ( n )et S3( n). z b Il reste à calculer la valeur de pxdx ( ). a Laissons faire la TI-92 : TEXAS INSTRUMENTS 7
Nous pouvons vérifier graphiquement et par le calcul que cette méthode donne une bonne approximation de l'intégrale. Par exemple prenons a =, b = π /2 et f( x) = cos( x). Construisons f( x) et px ( ) : On obtient décimales exactes par la méthode de Simpson pour n = 1. (N.B. L'écran ci-dessus a été obtenu en mode Display Digit... FLOAT 12, ce choix s'effectue dans le menu MODE de la TI-92). Dans ce cas, la courbe représentant px ( ) est pratiquement confondue avec celle représentant f( x) sur l'intervalle [, π / 2]. Calculons alors la valeur de l'expression obtenue précédemment, et comparons-la avec l'intégrale exacte : La méthode de Simpson consiste ensuite à diviser l'intervalle [ ab, ] en n sous-intervalles et à appliquer la méthode précédente sur chaque sous- intervalle. La somme des termes obtenus est égale à : n n b al 1 1 ( ) xk + xk S = F + 1 f( a) + f( b) + 2 f xk + f nnm ( ) 4 HG 2 k= 1 k= Cette somme peut aussi s'écrire : S1( n) + 4S2( n) + S3( n) S4( n) = Définissons S 4, puis comparons l'efficacité des différentes méthodes que nous venons d'étudier : IO K J QP TEXAS INSTRUMENTS 8