48 III LES TESTS D EGALITE. Comparaion 'un paramètre e poition à une valeur fixe a) But u tet On veut comparer un paramètre e poition, généralement une moyenne e n meure à une valeur fixe M. Cette valeur e comparaion ne oit pa être elle-même entachée 'erreur. Ce tet applique également à la comparaion e la pente ou e l oronnée à l origine une roite à une valeur fixe. b) Domaine application. Comparaion un réultat e meure à un étalon. Valiation e l exactitue une méthoe e meure. Valiation un équipement. c) Pratique u tet (ca u tet bilatéral) On calcule la valeur abolue e la ifférence = m - M aini que l'écart-type ur m : m = n. Enuite on calcule le nombre e egré e liberté υ et on choiit un euil e rique α ou un euil e confiance P = - α. m α > t( ν, ) () Si la conition () et réaliée, on peut conclure que m et ignificativement ifférent e M au euil e rique α, mai il y a une probabilité α pour que cette ifférence oit ue au haar. On contate onc que plu on veut être ûr e la ifférence, plu celle-ci oit être grane pour qu'on puie la éclarer ignificative. Inverement i t( ν, α ) le graneur m et M ont coniérée comme "non m ignificativement ifférente", onc on le conière comme égale. Par contre, plu α et petit, plu on rique e coniérer comme égale e graneur qui ont en fait ifférente. ) Tet unilatéral On peut également teter le conition m > M ou bien m < M. Dan ce ca on calcule = m - M ou = M - m repectivement et on applique le même tet avec un coefficient e tuent calculé pour une iperion unilatérale : m > t( ν, α ) (3) Statitique à l uage e ingénieur et e technicien
49 Si la conition et atifaite on conclut que m > M ou m < M uivant le calcul e, inon le concluion ont repectivement m M et m M. On peut également calculer ytématiquement la ifférence = m - M en coniérant avec on igne. Lorque l inéquation (3) et vérifiée on peut affirmer que m > M, par contre, pour affirmer que m < M il faut que < - t(ν, -α) m (voir également figure 6 p 54 en remplaçant m par m et m par M.) Remarque : Le tet unilatéraux ont élicat, l hypothèe contraire à m > M et m M, veiller à bien calculer la itance en n utiliant jamai e valeur abolue, à bien coniérer la limite +t ou t uivant l hypothèe tetée et à coniérer le rique α et non α/.. Comparaion e eux moyenne ou comparaion e la ifférence e eux moyenne à une valeur fixe. a) But u tet Ce tet et utilié pour comparer eux moyenne e graneur e même nature et exprimée an le même unité. Pour une bonne interprétation u tet, on 'arrange autant que poible pour qu'un eul facteur oit uceptible 'influencer cette moyenne. Dan le omaine e meure phyique, le tet et utilié an le ca uivant : comparer eux échantillon meuré par la même méthoe, le même appareillage, le même opérateur et an un court intervalle e temp, comparer le réultat fourni par eux méthoe e meure ou eux appareil à conition 'opérer ur le même échantillon. comparer eux pente ou eux oronnée à l'origine obtenue à partir e eux roite e régreion. Le tet et également utilié pour comparer la ifférence e eux moyenne à une valeur fixe. (en réalité comparer eux moyenne revient à comparer leur ifférence à 0) b) Calcul e la ifférence entre le eux moyenne On ipoe e eux érie e meure : Série : n meure, moyenne m, écart-type Série : n meure, moyenne m, écart-type On calcule la valeur abolue e la ifférence entre le moyenne (an le ca e tet bilatéraux) = m-m Dan le ca e tet unilatéraux on calculera uivant le ca le ifférence : = m -m ou = m -m uivant que l hypothèe tetée et m > m ou m > m. c) Calcul e l'écart-type ur cette ifférence Statitique à l uage e ingénieur et e technicien
50 Il e poe le même problème que an le ca e l etimation. C et la variance ur la ifférence qui et la plu ifficile à etimer et pour que cette variance oit correcte il faut que le meure e eux échantillon oient itribué uivant une loi Normale. Si n et n ont gran (en pratique > 6) ou i et ont été éterminé antérieurement à l'aie 'un gran nombre e meure, alor la variance ur et égale à la omme e variance ur m et m. = n + n = + m m (4) Dan le ca contraire il faut amettre que le eux écart-type et ont égaux ou vérifier cette égalité à l'aie 'un tet e Fiher-Snéécor (voir page 56). Si l'égalité e et e et prouvée on calcule par la relation : n n = ( + ) ( ). + n + n n n (5) Si n et n ont petit et i le écart-type ont ifférent on utilie le tet 'Apin-Welch qui era écrit plu loin. Remarque : Le limite n et n > 6 ont trè bae. A ce niveau le intervalle e confiance ur le variance ont encore élevé. Beaucoup e logiciel fixent cette limite à 0 meure et appliquent ytématiquement le tet Apin-Welch lorque n et n < 0 et ) Tet proprement it α > t( ν, ) (6) Si la conition (6) et remplie, la ifférence entre le moyenne et coniérée comme ignificative, υ étant le nombre total e egré e liberté (υ = υ + υ = n + n - ). t et le coefficient e tuent à υ egré e liberté et au euil e rique bilatéral α. e) Ca e tet unilatéraux Le tet e pratiquent e la même façon, mai le euil e rique oit être réparti unilatéralement, onc t( ν, α ) (7) L hypothèe m >m et vérifiée i la relation 7 et atifaite. Remarque : Bien calculer la valeur algébrique e et bien placer le borne. Voir la remarque et la figure 6 page 54 Statitique à l uage e ingénieur et e technicien
5 carré f) Comparaion e paramètre e poition calculé par la méthoe e moinre Le tet 'applique e la même façon aux paramètre une roite e régreion, à conition que ceuxci aient la même ignification phyique et ont exprimé an le même unité. Il faut prenre gare an ce ca à calculer correctement le nombre total e egré e liberté. Exemple : On peut comparer le pente e eux roite repréentant le variation e la même graneur avec le même abcie à conition e prenre υ = n + n - 4, mai il erait abure e comparer une pente et une oronnée à l'origine même i elle ont numériquement voiine parce que ce eux paramètre ont e nature ifférente. Remarque : On peut utilier la relation 6 lorque le effectif ont faible. Le egré e liberté n - et n - oivent être remplacé par n - et n - et le écart-type par le écart-type ur le pente ou le oronnée à l origine uivant le paramètre comparé (voir le cour ur la linéarité) 3. Comparaion e eux moyenne lorque l écart type et connu On peut comparer le moyenne e eux échantillon e petite taille en amettant que l écart type e échantillon et connu grâce à e meure préliminaire effectuée an le même conition expérimentale et ur e échantillon e taille élevée. Dan ce ca on utiliera toujour la relation, σ σ = + n n an laquelle le σ ont le écart type calculé à partir e échantillon e taille élevée par le laboratoire e contrôle. Pour ce échantillon, on pourra confonre le valeur e et e σ. Par ailleur, on pourra ouvent amettre σ = σ lorque la méthoe e meure et la même. Par contre, le valeur e n et n ont le effectif e échantillon e petite taille meuré au laboratoire e routine ou ur la chaîne e fabrication. On effectue le tet en remplaçant an le équation 6 et 7 le fractile e la loi e Stuent α t α) ( ou t par le fractile correponant e la loi Normale Réuite u α ( ) α u ou 4 - Tet 'Apin-Welch a) But u tet et conition 'application Ce tet et etiné à comparer eux moyenne an le ca e petit échantillon, le variance e échantillon étant ignificativement ifférente. Statitique à l uage e ingénieur et e technicien
5 b) On calcule le écart-type ur le eux moyenne m et m uivant l'équation (0) aini que uivant l'équation (4). Enuite on calcule le nombre e egré e liberté uivant la relation : m m = + υ n n Cette relation peut également être écrite uniquement en fonction e valeur e m : υ = ( n )( n )( m + m ) 4 m m 4 ( ) + ( ) n n (8) (9) On pae à la valeur entière e υ la plu voiine pui on applique le tet an le même conition qu'au paragraphe précéent. Remarque : Beaucoup e logiciel ou e tableur utilient ytématiquement le tet Apin-Welch lorque. Cela conuit à prenre un nombre e egré e liberté légèrement inférieur à n et n -. et cela n a généralement pa incience ur le tet auf i n et n ont petit (<6) 5. Etue un exemple complet : analye u rique e econe epèce an le tet égalité e eux moyenne Coniéron eux moyenne réultant chacune une érie e meure m = m = On poe la quetion : peut-on ire que m m? La répone emble éviente, mai en réalité il faut tenir compte e l écart type ur m et ur m, u nombre e meure et u rique que l on accepte e prenre pour affirmer cette ifférence. a) Etue e ifférent ca uivant le valeur e, e n et e α er ca : = = 0, n = n = 8 = 0, 0, + = 0 8 8, = = 0, 0 Si on choiit = % (euil e confiance 99 % avec ν = n + n - = 4 on trouve t =,98. La ifférence et onc trè ignificative. ème ca : Même nombre e meure et = = 0,5 = 0,5, = 4 et on a toujour t =,98 au euil e confiance e 99 %. La ifférence et toujour ignificative. 3 ème ca : Même onnée mai α = 0, %. On trouve t = 4,4 onc l hypothèe m m et rejetée. Il faut amettre l égalité m = m. On contate onc que i l on iminue le rique α (rique e première epèce) on et amené à coniérer comme égale e moyenne trè ifférente. Cela illutre le rique e euxième epèce qui conite à coniérer comme égale, e moyenne qui ne le ont pa. Statitique à l uage e ingénieur et e technicien
53 4 ème ca : On gare le euil e 0, % et on a toujour = 0,5, mai on effectue 3 meure au lieu e 8. = 0,5² 0,5² 0,5 3 + 8 3 = 4 = De plu t = 3,46, la ifférence reevient ignificative même avec un euil α trè ba. Donc un nombre e meure élevé augmente le pouvoir icriminant u tet c et à ire a faculté e prouver que eux moyenne ont ifférente. 5 ème ca : On refait e meure trè précie ( = 0, mai on ne fait que eux meure par échantillon). 0,² + 0,² = + = 0, 4 = 5 et n = avec α = % t = 9,9 et avec α = 0, % t = 3,6 Dan ce ca il faut amettre que m = m ou augmenter α à la valeur e 5% pour pouvoir affirmer que m m. Réumé : La ifférence entre eux moyenne et autant plu ignificative que : - le moyenne ont plu ifférente - le meure ont plu précie - le meure ont plu nombreue - le euil e rique et choii e façon raionnable ( α = % ou 5 %) L égalité e eux moyenne et autant plu facile à prouver que : - le moyenne ont voiine - le meure ont plu imprécie - le meure ont moin nombreue - le euil e rique et plu faible (α 0, %) b) Attention au paraoxe uivant "Il uffirait e faire peu e meure et e meure e mauvaie qualité pour prouver une égalité e eux moyenne". En réalité an ce ca on ne prouve rien, on prouve implement qu une graneur mal meurée evient infiniment floue, ou encore que le rique β evient alor élevé. En réalité pour prouver m = m, il faurait travailler avec e valeur élevée e α (α = 0,6 ou α = 0,7) afin e limiter le rique β. Statitique à l uage e ingénieur et e technicien
54 6. Interprétation graphique e tet e comparaion e moyenne a) Tet bilatéraux On conière le coefficient e Stuent : t = t(α/) = - t( - α/) et t = t( - α/) Fig. 6a Interprétation graphique u tet e Stuent bilatéral Si on travaille ur m - m on ne conière que le emi-axe poitif an ce chéma. b) Tet unilatéraux Soit t = t(α) = - t(-α) et t = t(-α) hypothèe m > m contre m m ou l'invere Fig. 6 b Interprétation graphique u tet e Stuent unilatéral (m > m ) hypothèe m < m contre m m ou l'invere. Fig. 6 c Interprétation graphique u tet e Stuent unilatéral (m < m ) Remarque : Il faut faire trè attention où l'on place l'égalité an le tet unilatéraux. Prenon l'exemple e m =, m =,, = 0, et ν = 0. Au euil e ignification e 5 %, on peut trè bien vérifier l'hypothèe m m puique m - m / = - et que la zone 'acceptation e l'hypothèe m m 'éten e - t (-α) =-,8 à +. Par contre, on ne pourra pa vérifier l'hypothèe m > m avec e telle valeur. Statitique à l uage e ingénieur et e technicien
55 7. Comparaion e meure appariée. Il n et pa poible e mettre en évience une ifférence entre eux méthoe e meure i l écart-type échantillonnage et élevé ou i une eule meure par iniviu n et poible. On utilie alor la méthoe appariement c et-à-ire que l on compare le eux méthoe à l aie e meure effectuée ur le même iniviu (on meure une eule foi chaque iniviu ou chaque paire à l aie e eux technique et on répète l opération ur e nombreux iniviu). Domaine application Comparaion e traitement appliqué au même échantillon. (exemple : ureté un alliage avant et aprè un traitement thermique) Comparaion e traitement méicaux an la meure où il et poible analyer une ubtance ou e meurer un paramètre avant et aprè le traitement (glycémie, tenion artérielle etc..) Comparaion e eux méthoe e meure ou e eux opérateur utiliant la même méthoe e meure lorque la variance échantillonnage et élevée. Conition application La conition la plu importante et la réalité e l appariement e meure, qui n et pa toujour éviente. Par contre le meure peuvent être itribuée uivant une loi autre que la loi normale. Calcul et tet = a b = i i i n i ( ) = i ² n (30) On tete l hypothèe = 0 par un tet e Stuent bilatéral à ν = n- egré e liberté. α Si > t(n, ) la ifférence entre le eux méthoe ou le eux traitement et ignificative On peut également faire e tet unilatéraux ( oit éviemment être pri en valeur algébrique) Statitique à l uage e ingénieur et e technicien
56 8. Comparaion e eux variance, Tet e Ficher-Snéécor a) But u tet Ce tet et utilié pour comparer eux écart-type. En chimie analytique, ce tet pourra ervir par exemple à montrer qu'une méthoe e oage ou un appareil ou un opérateur onne un réultat ignificativement plu fièle qu'un autre (la fiélité era éfinie ultérieurement). Il faut éviemment opérer avec le même échantillon et qu'un eul facteur oit analyé. Exemple Lorqu'on compare eux appareil e meure, il faut que l'échantillon, le protocole e meure et l'opérateur oient ientique et que le eai oient effectué an un court intervalle e temp e façon que l'appareil e meure oit le eul facteur uceptible e moifier la iperion e meure. b) Pratique u tet unilatéral On e place par exemple an le ca e la comparaion e eux méthoe : Méthoe : n meure, écart-type Méthoe : n meure, écart-type Il faut 'abor claer le eux inice e façon que On calcule enuite le rapport e eux variance : F = avec F (3) et on compare cette valeur à une valeur tet F appelée "coefficient e Fiher-Snéécor" à υ et υ egré e liberté et au euil e rique α. Le valeur e F e trouvent an e table. Comme on a claé le eux méthoe par variance écroiante on effectue un tet unilatéral au euil e rique α : F F (υ, υ, - α) (3) Si la conition (3) et réaliée, la variance et ignificativement upérieure à (il agit un tet unilatéral) c'et à ire que la méthoe et plu fièle que la méthoe. c) Pratique u tet bilatéral Le tet e Fiher et le plu ouvent utilié e manière unilatéral et on parle ouvent fauement «égalité e variance» alor qu on tete V > V. On peut également teter une véritable égalité en opérant e la même manière, mai en prenant un euil e rique bilatéral. Si F (υ, υ, α/) F F (υ, υ, - α/) le variance ont égale, autrement elle ont ignificativement ifférente. Remarque : Je coneille e mettre ytématiquement la variance la plu élevée au numérateur afin utilier le fractile upérieur parce que le table e fractile inférieur ont ifficile à trouver. Statitique à l uage e ingénieur et e technicien
57 9. Comparaion e pluieur variance, Tet e Cochran a) But u tet On veut montrer l'égalité e variance e pluieur érie e meure. Il n'et pa poible e faire un tet e Ficher ur le variance eux à eux parce que le tet tatitique ne permettent jamai e émontrer une égalité au en mathématique u terme, en 'autre terme l'égalité tatitique n'et pa tranitive. (On peut avoir σ = σ, et σ = σ 3 mai σ σ 3.) Il faut onc prouver globalement l'homogénéité e variance, ce qui revient à teter l'hypothèe H (σ 0 = σ = σ 3...= σ) par rapport à l'hypothèe H (σ i σ pour une ou pluieur valeur e i). Le tet e Cochran exige en principe que chaque échantillon ait même effectif. En réalité, i le effectif ont aez élevé (n > 8), on peut comparer e érie ont l'effectif varie légèrement. On pren alor comme valeur e n, l'effectif moyen ou l'effectif le plu fréquent. b) Tet proprement it On calcule la graneur C = max i i variant e à k (33) S max et la variance maximale et k le nombre e groupe. Cette valeur et comparée à une valeur critique C(n, k, α) tirée e table e Cochran. Si C < C(n, k, α) on accepte H 0 (on rejette H ). 0. Comparaion e pluieur variance, Tet e Bartlett a) But u tet L'hypothèe et la même que an le ca u tet e Cochran, mai le tet e Bartlett et moin contraignant. Le érie e meure peuvent avoir e effectif ifférent. Par contre, aucune variance ne oit être nulle ou trè petite et le tet peut onner e répone faue an le en e l hétérogénéité e variance i le n i < 6 ou le itribution trè iymétrique. b) Application u tet On calcule la graneur uivante : χ =νlog( ) ν log( ) i variant e à k (34) i i où le υi ont le egré e liberté n i -, υ = Σ υ i et et la variance intra-groupe. (p 65, équ 40) = υi (35) υ i On compare la valeur calculée χ à la valeur critique χ c au rique unilatéral α (table e Khi-eux) Statitique à l uage e ingénieur et e technicien
58 Si χ χ c(k -, - α) on accepte l'hypothèe H 0 inon on la refue. (36) Remarque : Il arrive que le tet e COCHRAN et e BARTLETT ne conuient pa à la même concluion. Une étue approfonie montre que le tet e COCHRAN et enible aux variance anormalement élevée alor que celui e BARTLETT et enible aux variance anormalement faible (laboratoire ou opérateur upecté avoir «arrangé» le réultat) Statitique à l uage e ingénieur et e technicien