Convection de Rayleigh-Bénard

Article Pédagogique Multimedia O. Thual, APM-INPT thu-rayben (2006) Convection de Rayleigh-Bénard Cet article pédagogique a pour but de présenter la notion d instabilité sur l exemple de la convection de Rayleigh-Bénard. 1 Approximation de Boussinesq 2 Problème de Rayleigh-Bénard 3 Équations sous formes adimensionnées 4 Problème de Rayleigh-Bénard bidimensionnel 5 Conditions aux limites périodiques 6 Conditions aux limites réalistes 7 Conditions aux limites en températures fixées APM-INPT thu-rayben (2003), O. Thual December 30, 2006 1

1 Approximation de Boussinesq Mouvement de convection d un fluide chauffé par le bas lorsque le champ de vitesse reste faible devant la vitesse du son. L approximation de Boussinesq permet de prendre en compte ces forces tout en filtrant les ondes sonores. 1.1 Fluides compressibles ou incompressibles 1.2 Équations de l approximation de Boussinesq APM-INPT thu-rayben (2003), O. Thual December 30, 2006 2

1.1 Fluides compressibles ou incompressibles Équations de Navier-Stokes compressibles : dρ dt ρ du dt ρ de dt = ρ div U = grad p ρ g e z + (λ n + µ n ) grad div U + µ n U = k T p div U + λ n (div U) 2 + 2 µ n D : D e = E(ρ, T) et p = P(ρ, e) La notation d dt = t + U grad désigne la dérivée particulaire. L approximation de fluide incompressible consiste à : supposer div U = 0 et ρ = ρ r sauf pour la force d Archimède neutraliser la loi d état p = P(ρ, e) APM-INPT thu-rayben (2003), O. Thual December 30, 2006 3

1.2 Équations de l approximation de Boussinesq Prendre en compte les variations de densité tout en supposant que la vitesse des ondes sonores est infinie devant la vitesse de l écoulement : du ρ r dt de ρ r dt div U = 0 = grad p ρ g e z + µ n U = k T + 2 µ n D : D e = E(ρ r, T) et ρ = ρ r [1 α(t T r )] La loi p = P(ρ, e) est remplacée par ρ = R(T) = ρ r [1 α(t T r )] La loi d état e = E(ρ r, T) permet d écrire de dt = C v(ρ r, T) dt dt APM-INPT thu-rayben (2003), O. Thual December 30, 2006 4

En reportant les lois d état dans le système d équation : du dt dt dt div U = ( 0 ) p = grad + g z + α g (T T r )e ρ z + ν U r = κ T + 2 ν C v D : D (1) ν = µ n /ρ r est la viscosité cinématique κ = k/(ρ r C v ) est le coefficient de diffusivité thermique Dans la plupart des applications, on néglige le terme 2 (ν/c v ) D : D APM-INPT thu-rayben (2003), O. Thual December 30, 2006 5

2 Problème de Rayleigh-Bénard d z U T 2 U o T 1 x 2.1 Conditions aux limites 2.2 État conductif 2.3 Modèle sous forme dimensionnelle APM-INPT thu-rayben (2003), O. Thual December 30, 2006 6

2.1 Conditions aux limites d z U T 2 U o T 1 x On considère deux types de conditions aux limites en température : Températures fixées : T = T 1 en z = 0, T = T 2 en z = d. Flux fixé : κ T z = q en z = 0 et z = d On considère deux types de conditions aux limites en vitesses : u z = v z Libres : = 0 et w = 0 en z = 0 et z = d. Rigides : u = v = w = 0 en z = 0 et z = d APM-INPT thu-rayben (2003), O. Thual December 30, 2006 7

2.2 État conductif Équilibre : U = 0 et T = T c (z) = T 1 Γ z Température fixée : Γ = (T 1 T 2 )/d Flux flixé : Γ = q/κ Changement de notation : T(x, t) = T c (z) + θ(x, t). On a : du dt dθ dt div U = 0 = grad Π + α g θ e z + ν U = Γ w + κ θ avec Π = p/ρ r g z + α g T r z α g T 1 z + 1 2 α g Γ z2. APM-INPT thu-rayben (2003), O. Thual December 30, 2006 8

2.3 Modèle sous forme dimensionnelle div U = 0 U t + U grad U = grad Π + α g θ e z + ν U θ + U grad θ = Γ w + κ θ. t Températures fixées : θ = 0 en z = 0 et z = d. Flux fixé : = 0 en z = 0 et z = d. κ θ z u z = v z Libres : = 0 et w = 0 en z = 0 et z = d. Rigides : u = v = w = 0 en z = 0 et z = d. APM-INPT thu-rayben (2003), O. Thual December 30, 2006 9

3 Équations sous formes adimensionnées Le choix d un système d unité permet d écrire les équations du modèle sous forme adimensionnée. Cette procédure est essentielle pour déterminer le nombre de paramètres sans dimension qui contrôlent le problème. On présente ici deux adimensionnalisation qui diffèrent par le choix de l unité de temps. 3.1 Choix des unités 3.2 Équations adimensionnées 3.3 Adimensionnalisation visqueuse 3.4 Adimensionnalisation thermique APM-INPT thu-rayben (2003), O. Thual December 30, 2006 10

3.1 Choix des unités d z U T 2 U o T 1 x [L] = d [τ] = ζ d 2 /κ et [Θ] = d Γ = (T 1 T 2 ). Temps diffusif ζ = 1 : [τ] = d 2 /κ Temps visqueux ζ = κ/ν : [τ] = d 2 /ν Dans tous les cas on choisit : [U] = [L]/[τ] = 1 ζ κ d APM-INPT thu-rayben (2003), O. Thual December 30, 2006 11

3.2 Équations adimensionnées En utilisant les mêmes notations pour les variables sans dimensions : 1 ζ ( div U ) = 0 U t + U grad U = grad Π + R P θ e z + P U ( ) θ t + U grad θ = w + θ 1 ζ Nombre de Prandtl et de Rayleigh : P = ν κ et R = α g d4 Γ ν κ = α g d3 (T 1 T 2 ) ν κ. Ecriture des conditions aux limites en z = 0 et z = 1 identique APM-INPT thu-rayben (2003), O. Thual December 30, 2006 12

3.3 Adimensionnalisation visqueuse [τ] = d 2 /ν P div U = 0 U t + U grad U = grad Π P + R θ e z + U ( ) θ t + U grad θ = w + θ 3.4 Adimensionnalisation thermique [τ] = d 2 /κ div U = 0 U t + U grad U = grad Π + R P θ e z + P U θ + U grad θ = w + θ. t APM-INPT thu-rayben (2003), O. Thual December 30, 2006 13

4 Problème de Rayleigh-Bénard bidimensionnel Par simplicité, on se restreint ici aux écoulements bidimensionnels dans un plan vertical. d z U T 2 U o T 1 x 4.1 Fonction de courant 4.2 Élimination de la pression APM-INPT thu-rayben (2003), O. Thual December 30, 2006 14

4.1 Fonction de courant On se place ici dans le cas 2D : U(x, z) et θ(x, z) u x + w z u t + u u x + w u z v t + u v x + w v z w t + u w x + w w z θ t + u θ x + w θ z = 0 = Π x + P u = Π y + P v = Π z + R P θ + P w = w + θ. v se comporte donc comme un scalaire passif. div U = u x + w z = 0 entraîne qu il existe une fonction de courant ψ(x, z) telle que u = ψ ψ z et w = x. APM-INPT thu-rayben (2003), O. Thual December 30, 2006 15

4.2 Élimination de la pression En remarquant que rot U = φ e (2) = ( 2 ψ x 2 + 2 ψ z 2 )e (2) : θ ψ + J(ψ, ψ) = R P t x + P 2 ψ θ t + J(ψ, θ) = ψ x + θ où la notation J est définie par J(f, g) = f x Conditions aux limites : g z g x f z. Libres : Rigides : ψ z 2 ψ z = 0 et ψ 2 x = 0 en z = 0 et z = 1. ψ = 0 et x = 0 en z = 0 et z = 1. APM-INPT thu-rayben (2003), O. Thual December 30, 2006 16

5 Conditions aux limites périodiques Le calcul de stabilité est simple s il on suppose que l écoulement est périodique dans toutes les directions. 5.1 Linéarisation 5.2 Modes de Fourier 5.3 Équation aux valeurs propres 5.4 Détermination du signe des valeurs propres 5.5 Détermination du Rayleigh critique APM-INPT thu-rayben (2003), O. Thual December 30, 2006 17

5.1 Linéarisation Etat conductif décrit par U = 0 et T = T c (z) = T 1 + Γ z. Avec la notation T = T c (z) + θ les équations linéarisées s écrivent : U t θ t Conditions aux limites : div U = 0 = grad Π + R P θ e z + P U = Γ w + θ. Températures fixées : θ = 0 en z = 0 et z = 1. Flux fixé : = 0 en z = 0 et z = 1. u z = v z Libres : = 0 et w = 0 en z = 0 et z = 1. Rigides : u = v = w = 0 en z = 0 et z = 1. θ z APM-INPT thu-rayben (2003), O. Thual December 30, 2006 18

5.2 Modes de Fourier z T 2 2d o T 1 x Conditions aux limites 2d périodique dans la direction z [U(x, t), θ(x, t)] = [U m, θ m ] e i k x+s t où k = (k 1, k 2, k 3 ) avec k 1 et k 2 quelconques et k 3 = n π avec n entier APM-INPT thu-rayben (2003), O. Thual December 30, 2006 19

5.3 Équation aux valeurs propres [ψ(x, z, t), θ(x, z, t)] = [ψ m, θ m ] e i(k 1 x+k 3 z)+s t ( ) ( ψm P k 2 R P i k 1 /k 2 ) ( ) ψm s = i k 1 k 2 θ m où k = k 2 1 + k2 3. θ m. Solutions (ψ m, θ m ) non triviales si : P k 2 s R P i k 1 /k 2 i k 1 k 2 s = 0 ce que l on peut écrire sous la forme s 2 + s (P + 1) k 2 + P k 4 R P k 2 1/k 2 = 0. APM-INPT thu-rayben (2003), O. Thual December 30, 2006 20

5.4 Détermination du signe des valeurs propres Signe toujours positif du discrimant (P 1) 2 k 4 + 4 R Pk 2 1/k 2. Les racines sont réelles. Pour étudier leur signe : ( ) s 2 + s(p + 1)k 2 + P k2 1 k 6 k 2 R k 2 1 = 0. Pour R < k 6 /k 2 1 leur produit est positif : les deux racines sont négatives. Les modes sont amortis. Pour R > k 6 /k 2 1 un de ces modes croît exponentiellement dans la mesure où le produit des racines du polynôme en s est négatif. APM-INPT thu-rayben (2003), O. Thual December 30, 2006 21

5.5 Détermination du Rayleigh critique k = (k 1, k 3 ) avec k 3 = n π. On a donc : R c (k 1, n) = (k2 1 + n 2 π 2 ) 3 R R (k 1,3) c c 1 R (k,2) R k 2 1 n=3 n=2 n=1 R (k ) c 1 INSTABLE R (k) c 1 R c o k c k 1 R c o k c STABLE k 1 a) Courbes marginales R c (k 1, n) b) Domaine stabilité Le minimum pour k c = π/ 2 vaut R c = R c (k c ) = 27 π 4 /4. APM-INPT thu-rayben (2003), O. Thual December 30, 2006 22

6 Conditions aux limites réalistes a) Champ de vitesse. b) Champ de température. 6.1 Problème aux valeurs propres 6.2 Élimination de Θ APM-INPT thu-rayben (2003), O. Thual December 30, 2006 23

6.1 Problème aux valeurs propres [ψ(x, z, t), θ(x, z, t)] = [Ψ(z), Θ(z)]e i k 1 x+s t s (D 2 k1) 2 Ψ s Θ = i k 1 R P Θ + P (D 2 k 1 ) 2 Ψ = i k 1 Ψ + (D 2 k1) 2 Θ où D = d dz est l opérateur de dérivation par rapport à la variable z. Les deux sortes de conditions aux limites en températures s écrivent Températures fixées : Θ = 0 en z = 0 et z = 1. Flux fixé : DΘ = 0 en z = 0 et z = 1. Les deux sortes de conditions aux limites en vitesses sont : Libres : Ψ = 0 et D 2 Ψ = 0 en z = 0 et z = 1. Rigides : Ψ = 0 et DΨ = 0 en z = 0 et z = d. APM-INPT thu-rayben (2003), O. Thual December 30, 2006 24

6.2 Élimination de Θ [ s P (D 2 k 2 1) ] (D 2 k 2 1) Ψ = i k 1 R P Θ [ s (D 2 k 2 1) ] Θ = i k 1 Ψ On applique l opérateur s (D 2 k1) 2 à la première équation : [ s (D 2 k1) 2 ][ s P (D 2 k1 2 ] (D 2 k1)ψ 2 = k1 2 R P Ψ. Conditions aux limites en z = 0 et z = 1 Conditions aux limites libres et rigides : Ψ = 0 Températures fixées : sd 2 Ψ P(D 2 k1) 2 2 Ψ = 0 Flux fixé : sd 3 Ψ P(D 2 k1) 2 2 DΨ = 0 APM-INPT thu-rayben (2003), O. Thual December 30, 2006 25

7 Conditions aux limites en températures fixées On se place ici dans le cas des conditions aux limites en températures fixées et on examine successivement le cas des conditions aux limites libres et rigides. 7.1 Conditions aux limites libres 7.2 Conditions aux limites rigide APM-INPT thu-rayben (2003), O. Thual December 30, 2006 26

7.1 Conditions aux limites libres [ s (D 2 k 2 1) ] [ s P (D 2 k 2 1) ] (D 2 k 2 1)Ψ = k 2 1 R P Ψ. avec les conditions aux limites Ψ = 0, D 2 Ψ = 0 et D 4 Ψ = 0 en z = 0 et z = 1. La symétrie z z de ce système entraîne que les solutions sont toutes de la forme Ψ = ψ m sin(nπ z) où n est un nombre entier. Même stabilité que pour les conditions aux limites périodiques : R c = 27 π4 4 657, 5 et k c = π 2 2, 2. APM-INPT thu-rayben (2003), O. Thual December 30, 2006 27

7.2 Conditions aux limites rigides [ s (D 2 k 2 1) ] [ s P (D 2 k 2 1) ] (D 2 k 2 1)Ψ = k 2 1 R P Ψ. avec les conditions aux limites Ψ = 0, DΨ = 0 et s D 2 Ψ P(D 2 k 2 1) 2 Ψ = 0 en z = 0, 1. Les solutions Ψ(z) sont la superposition de fonction exp(±λz) où λ 2 est l une des trois solutions complexes de l équation [ s (λ 2 k 2 1) ][ s P(λ 2 k 2 1) ] (λ 2 k 2 1) + R P k 2 1 = 0. La recherche du Rayleigh critique s effectue en posant s = 0 : R c 1707.762 et k c = 3.117. APM-INPT thu-rayben (2003), O. Thual December 30, 2006 28

Conclusion Libres : R c 1707.762 et k c = 3.117. Rigides : R c = 27 π4 4 657, 5 et k c = π 2 2, 2. R R (k 1,3) c c 1 R (k,2) R n=3 n=2 n=1 R (k ) c 1 INSTABLE R (k) c 1 R c o k c k 1 R c o k c STABLE k 1 APM-INPT thu-rayben (2003), O. Thual December 30, 2006 29