THEME : ARITHMETIQUE P.G.C.D. EUCLIDE Dans ce chapitre, les nombres considérés seront des entiers naturels ( donc positifs ) DIVISION EUCLIDIENNE Faire une division, c est calculer un quotient. Par exemple, le quotient de 12 par 3 est 4. Très souvent, l élève dit que la division tombe juste. Si par contre, il est demandé de calculer le quotient de 12 par 7, la division ne tombe pas juste. 12 Le seul résultat mathématique acceptable que nous pouvons donner est la fraction. 7 Si le problème a un aspect physique, il est possible de donner une valeur approchée. Il existe certains exercices dont la recherche s effectue avec des nombres entiers. Par exemple: Vous disposez de 23. Combien de stylos à 7 l unité pouvez-vous acheter? Il est inutile, pour résoudre ce problème, de continuer la division ( Le résultat est nécessairement un nombre entier ). Mais comment écrire ce résultat? Il est incorrect d écrire : La division posée ci-dessus nous apprend que nous pouvons acheter 3 stylos ( pour un total de 3 x 7, soit 21 ) et qu il nous restera alors 2. Une façon d écrire tous ces résultats est le suivant:
Définition : Soient a et b deux entiers naturels. Faire une division euclidienne consiste à rechercher deux entiers naturels q et r respectivement appelés quotient euclidien et reste tels que : a = b x q + r Vocabulaire avec r < b Dans l écriture a = b x q + r, a s appelle le dividende, b le diviseur, q le quotient euclidien et r le reste. Nous pouvons écrire : 17 = 5 x 3 + 2 ou 17 = 5 x 2 + 7 ou 17 = 5 x 1 + 12 L écriture correcte de la division euclidienne de 17 par 5 est la première. Le reste doit être inférieur au diviseur! MULTIPLE D UN NOMBRE ENTIER 3 x 1 = 3 3 x 2 = 6 3 x 3 = 9 3 x 4 = 12 3 x 5 = 15 3 x 6 = 18 3 x 7 = 21 3 x 8 = 24 3 x 9 = 27 3 x 10 = 30 3 x 11 = 33... 3 x 0 = 0 3 x 1 = 3 3 x 2 = 6 3 x 3 = 9 3 x 4 = 12 3 x 5 = 15 3 x 6 = 18 3 x 7 = 21 3 x 8 = 24 3 x 9 = 27 3 x 10 = 30......... Les nombres 0, 3, 6, 9, 27, 30, sont des multiples de 3 Un nombre est multiple de 3 lorsqu'il peut s'écrire comme produit de 3 et d'un nombre entier. Cas général : ( le signe x est le symbole de la multiplication ) Un multiple de a est un nombre du type k x a Un nombre b est multiple de a lorsque le reste de la division euclidienne de b par a est nul, c est à dire, lorsqu il existe un nombre k tel que b = k x a Exemple 1 : 35 est-il un multiple de 5? Nous pouvons écrire : 35 = 7 x 5 donc 35 est un multiple de 5. Remarquons que cette écriture permet également de conclure que 35 est un multiple de 7. ( 35 = 5 x 7 ) Exemple 2 : 138 est-il un multiple de 11? La division euclidienne de 138 par 11 est : 138 = 12 x 11 + 6 Le reste est différent de 0, donc 138 n'est pas un multiple de 11. Exemple 3 : 4 527 est-il un multiple de 9? Nous pouvons opérer de la même façon que précédemment en effectuant la division euclidienne de 4 527 par 9.
Vous disposez également du critère de divisibilité par 9. Multiples de 2 : 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, Multiples de 3 : 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, Multiples de 7 : 0, 7, 14, 21, 28, 35, Le nombre 0 est multiple de tout nombre entier. Exercice 2 : a) Soit n un entier naturel non nul. Donner une écriture littérale de l entier «qui le suit», puis de l entier «qui le précède». b) Démontrer que la somme de trois entiers consécutifs est un multiple de 3. La somme de quatre entiers consécutifs est-elle un multiple de 4? c) On considère cinq entiers consécutifs et on isole le troisième. Démontrer que la somme des quatre entiers restants est un multiple de 4. Nombres pairs Nombres impairs Les nombres pairs sont les multiples de 2. Donc un nombre pair est un nombre qui s écrit sous la forme k x 2, soit 2k Tous les nombres pairs s écrivent donc : 2k. Comment maintenant définir un nombre impair. Nous pouvons constater qu un nombre impair est toujours précédé d un nombre pair. Par conséquent, un nombre impair est la somme d un nombre pair et de 1. Un nombre impair s écrit donc sous la forme 2k + 1. Un nombre impair est par définition, un nombre qui n est pas pair, c est à dire un nombre qui n est pas divisible par 2. Comme les restes possibles, dans une division ( euclidienne ) par 2, ne peuvent être que 0 ou 1, la division d un nombre impair par 2 a pour reste 1. Donc tous les nombres impairs s écrivent sous la forme 2k + 1. Somme et différence de 2 multiples d'un nombre : Exemple : Considérons deux multiples de 5. Par exemple, 35 et 20. 35 est un multiple de 5 car 35 = 7 x 5 20 est un multiple de 5 car 20 = 4 x 5 La somme 35 + 20 est-elle un multiple de 5? Méthode 1 : 35 + 20 = 55 = 11 x 5 donc 35 + 20 est un multiple de 5 Méthode 2 : La multiplication est distributive sur l'addition, c'est à dire : a x ( b + c ) = a x b + a x c ou ( b + c ) x a = b x a + c x a 35 + 20 = 7 x 5 + 4 x 5 = ( 7 + 4 ) x 5 = 11 x 5 d'où la même conclusion. La différence 35-20 est-elle un multiple de 5? Méthode 1 : 35-20 = 15 = 3 x 5 donc 35-20 est un multiple de 5 Méthode 2 : 35-20 = 7 x 5-4 x 5 = ( 7-4 ) x 5 = 3 x 5 d'où la même conclusion. Cas général : Considérons b et c ( b supérieur ou égal à c ) deux multiples d'un même nombre a. Comme b est un multiple de a, il existe un nombre k tel que b = k x a Comme c est un multiple de a, il existe un nombre k' tel que c = k' x a Donc : b + c = k x a + k' x a = ( k + k' ) x a donc b + c est un multiple de a. De même : b - c = k x a - k' x a = ( k - k' ) x a donc b - c est un multiple de a.
Propriété : La somme et la différence de deux multiples d'un même nombre entier a sont des multiples de a. Produit d'un multiple d'un nombre par un entier : Exemple : Le nombre 27 est un multiple de 3. Que peut-on dire du nombre 5 x 27? 27 est un multiple de 3 car 27 = 3 x 9 donc 5 x 27 = 5 x 3 x 9 = ( 5 x 3 ) x 9 = 15 x 9 donc 5 x 27 est un multiple de 9. Propriété : Le produit d'un multiple de a par un nombre entier est un multiple de a. Exercice 2 : Sans utiliser les deux propriétés précédentes, montrer que : La somme de deux nombres pairs est un nombre pair. La somme d un nombre pair et d un nombre impair est un nombre impair. La somme de deux nombres impairs est un nombre pair. Le produit de deux nombres pairs est un nombre pair. Le produit d un nombre pair et d un nombre impair est un nombre pair. Le produit de deux nombres impairs est un nombre impair. Le carré d un nombre pair est un nombre pair. Le carré d un nombre impair est un nombre impair. Etudier la parité d un entier naturel, c est déterminer s il est pair ou impair. Exercice 3 : a) Que peut on dire de deux multiples consécutifs de 3? b) Montrer que le produit de trois nombres consécutifs est un multiple de 3. c) Démontrer que la somme de trois multiples consécutifs de 3 est un multiple de 9. DIVISEUR D UN NOMBRE ENTIER Exemple : 12 = 3 x 4 Les nombres 3 et 4 sont des diviseurs de 12. Cas général : ( le signe x est le symbole de la multiplication ) Un nombre d est diviseur de a si il existe un nombre k tel que a = k x d Exemples : 6 est un diviseur de 30 car nous pouvons écrire 30 = 5 x 6. 2 est un diviseur de 124 car nous pouvons écrire 124 = 62 x 2. 3 n est pas un diviseur de 10 car nous ne pouvons pas trouver, parmi les nombres entiers naturels, un nombre qui multiplié par 3 donne 10. 10 =? x 3
Si d est un diviseur de a, alors a est un multiple de d. Par exemple, 3 est un diviseur de 12 car 12 est un multiple de 3. 1 est diviseur de tout nombre. Le nombre 1 divise tout nombre a car nous avons : a = a x 1. Tout nombre supérieur à 1 a au moins deux diviseurs : 1 et lui même.(le nombre 1 n a qu un seul diviseur ) Un nombre premier est un entier naturel qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. 5 = 5 x 1 Le nombre 5 est un nombre premier RECHERCHE DES DIVISEURS D UN NOMBRE ENTIER NATUREL Exemple 1 : Quels sont les diviseurs de 48? Nous savons que 48 a au moins deux diviseurs 1 et 48 Nous pouvons essayer tous les nombres compris entre 1 et 48 et tester s ils sont diviseurs ou pas de 48. Ce travail risque d être long. Procédé permettant de déterminer tous les diviseurs d un nombre : Nous avons : 48 = 1 x 48 Cette écriture nous révèle en vérité deux diviseurs : 1 et 48. Augmentons le premier facteur. Après 1, essayons 2. Nous obtenons : 48 = 2 x 24 Cette nouvelle écriture fait apparaître deux nouveaux diviseurs 2 et 24. Continuons cette méthode. Après 2, essayons 3. 48 = 3 x 16 Encore deux nouveaux diviseurs : 3 et 16 Continuons avec 4. 48 = 4 x 12 Réitérer : Recommencer quelque Encore deux nouveaux diviseurs : 4 et 12 chose que l on a déjà fait. Réitérons cette méthode avec 5. 48 n est pas un multiple de 5 ( 5 n est pas un diviseur de 48 ) (Voir caractères de divisibilité ) Réitérons avec 6. Nous avons : 48 = 6 x 8 Deux nouveaux diviseurs : 6 et 8. On continue avec 7 qui n est pas un diviseur de 48. Puis nous passons à 8. Nous obtenons : 48 = 8 x 6 Mais cette écriture ne nous dévoile pas de nouveaux diviseurs. Ces diviseurs 6 et 8 ont déjà été trouvés précédemment. Stoppons cette recherche. Alors que le premier facteur augmente, nous constatons que le second facteur diminue. Lorsque le second facteur devient inférieur ( ou égal ) au premier facteur, la recherche d autres diviseurs est inutile. Le second facteur reprendra des valeurs déjà déterminées. Les diviseurs de 48 sont : 1, 48, 2, 24, 3, 16, 4, 12, 6, 8 soit en ordonnant cette liste : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 soit 10 diviseurs.
Exemple 2 : Quels sont les diviseurs de 36? Notons qu il y a 9 diviseurs ( 6 apparaît deux fois ) Un nombre a toujours un nombre pair de diviseurs sauf s il est un carré parfait. Un carré parfait a un nombre impair de diviseurs. PGCD DE DEUX NOMBRES Définition : Le P.G.C.D. de deux entiers naturels est le plus grand diviseur commun de ces deux nombres. On devrait dire P.G.D.C. ( Plus Grand Diviseur Commun ). Cette appellation a existée mais n a pu remplacer l expression que l usage a adoptée : P.G.C.D. ( Plus Grand Commun Diviseur ) Le PGCD deux nombres existe puisque tout nombre admet 1 comme diviseur. De plus, il est inférieur au plus petit des nombres. Exemple 1 : Déterminer le PGCD de 20 et 24 ( le PGCD de 20 et 24 se note PGCD(20,24) ) Il suffit de déterminer les diviseurs de 20, puis les diviseurs de 24, et de prendre le plus grand des diviseurs communs à ces deux nombres.
Exemple 2 : Déterminer le PGCD de 25 et 18 Ce procédé est simple et rapide lorsque les nombres ne sont pas importants. Le problème est plus difficile si l on vous demande de calculer le PGCD de 15 953 et 13 727. Nous étudierons un procédé un peu plus loin. Il est possible de chercher le PGCD de plusieurs nombres. Il suffit de procéder comme ci-dessus : établir la liste des diviseurs de chacun des nombres, puis déterminer le plus grand de ces diviseurs. Par exemple : PGCD( 12, 20, 38 ) = 2 Le PGCD de deux nombres est très utile pour simplifier deux fractions. NOMBRES PREMIERS ENTRE EUX Définition : Deux nombres sont premiers entre eux si le PGCD de ces deux nombres est égal à 1
Exemples : Nous avons PGCD( 20, 24 ) = 4 ( cf. ci-dessus ) Donc 20 et 24 ne sont pas premiers entre eux. Nous avons PGCD( 25, 18 ) = 1 ( cf. ci-dessus ) Donc 25 et 18 sont premiers entre eux. Définition et propriété : Une fraction est irréductible si le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux. ( c est à dire si le PGCD du numérateur et du dénominateur est égal à 1 ) Pour rendre irréductible une fraction, il suffit de diviser numérateur et dénominateur par leur PGCD. En reprenant les deux exemples étudiés précédemment, nous avons : 20 est simplifiab le car PGCD(20,24 ) 24 = 4 20 24 = 4 x 5 4 x 6 = 5 6 ( fraction maintenant irréductib le ) 25 18 est irréductible. Il semble inutile de faire appel à la notion de PGCD pour simplifier la fraction précédente. La simplification est rapide et évidente. Nous verrons dans la suite que cette notion devient nécessaire pour simplifier des fractions du type 15 953 13 727 ALGORITHME ET ALGORITHME D EUCLIDE ( IIIEME SIECLE AVANT J.C. ) Le calcul du PGCD de deux nombres par la recherche des diviseurs communs peut s avérer longue et pénible si les nombres sont importants. Il existe plusieurs méthodes pour déterminer le PGCD. La seconde méthode porte le nom d un mathématicien Euclide ( 300 avant J.C. ) et est appelé Algorithme d Euclide. Méthode 1 : Méthode des soustractions successives Exemple : Cette méthode utilise un résultat précédent. La différence de deux multiples d'un même nombre entier a sont des multiples de a. Autrement dit, si d est un diviseur de deux nombres, le nombre d est diviseur de leur différence. Déterminer le PGCD de 15 953 et 13 727. D après la remarque précédente, le PGCD de 15 953 et 13 727 est également un diviseur de la différence 15 953-13 727, soit 2 226. Il suffit donc de rechercher le PGCD de 13 727 et de 2 226 ( Le PGCD étant un diviseur de 13 727 et de 2 226 ). Mais rechercher le PGCD de 13 727 et de 2 226, c est également chercher le plus grand des diviseurs de la différence de ces deux nombres 13 727-2 226, soit 11 501.
Il suffit de réitérer ce procédé. Et on continue. LE PGCD des deux nombres 15 953 et 13 727 est 371 Ce type de procédé s appelle un algorithme. ALGORITHME ( définition donnée par Stella BARUK - Dictionnaire de Mathématiques Elémentaires - SEUIL ) Un algorithme est une succession de manœuvres à accomplir, toujours dans le même ordre et la même façon, manœuvres qui sont en nombre fini. Les méthodes utilisées pour faire des additions, des soustractions, des multiplications ou des divisions sont des algorithmes. Le mot «algorithme» vient d une déformation du nom du mathématicien perse al Khwarizmi.
Méthode 2 : Méthode des divisions successives ( appelée Algorithme d Euclide ) Exemple : La méthode utilise le fait suivant : Soit r le reste de la division euclidienne de a par b ( a > b ) Alors PGCD( a, b ) = PGCD ( b, r ) Déterminer le PGCD de 15 953 et 13 727. Autre façon de présenter l algorithme d Euclide : PGCD( 15 953, 13 727 ) = PGCD ( 13 727, 2 226 ) PGCD(13 727, 2 226 ) = PGCD ( 2 226, 371 ) PGCD( 2 226, 371 ) = 371 L écriture 2 226 = 371 x 6 permet de conclure que 371 est un diviseur de 2 226. 371 est donc un diviseur de 2 226 et de 371. Et par suite PGCD ( 15 953, 13 727 ) = 371 Cette méthode est très rapide. Le PGCD de a et b est le dernier reste non nul trouvé. Présentation de cette méthode sur la copie : Algorithme d Euclide Nombre a ( ou premier nombre ) Nombre b ( ou second nombre ) Reste dans la division euclidienne 15 953 13 727 2 226 15 953 = 13 727 x 1 + 2 226 13 727 2 226 371 13 727 = 2 226 x 6 + 371 2 226 371 0 2 226 = 371 x 6 Nous avons donc PGCD( 15 953, 13 727 ) = 371
15 953 Simplification de la fraction : 13 727 Pour rendre irréductible cette fraction, nous devons diviser numérateur et dénominateur par leur P.G.C.D.. 15 953 371 43 43 Nous avons : = = ( fraction irréductible ) 13 727 371 37 37 PGCD de plusieurs nombres : Nous avons ; PGCD ( a, b, c ) = PGCD ( PGCD (a, b ), c ) Pour trouver le PGCD de plusieurs nombres, nous pouvons remplacer deux nombres par leur PGCD Exemple : Cherchons PGCD ( 156, 204, 186 ) Tout d abord, déterminons le PGCD des deux premiers nombres 156 et 204. Nombre a ( ou premier nombre ) Nombre b ( ou second nombre ) Reste dans la division euclidienne 204 156 48 204 = 156 x 1 + 48 156 48 12 156 = 48 x 3 + 12 48 12 0 48 = 4 x 12 Le PGCD de 156 et 204 étant 12, déterminons à présent le PGCD de 12 et 186. Nombre a ( ou premier nombre ) Nombre b ( ou second nombre ) Reste dans la division euclidienne 186 12 6 186 = 12 x 15 + 6 12 6 0 12 = 6 x 2 Donc PGCD ( 156, 204, 186 ) = 6 Nombre d étapes dans la recherche L algorithme d Euclide ( Méthode des divisions successives ) est très souvent plus rapide que la méthode des soustractions successives. Il existe un théorème appelé théorème de Lamé (G. Lamé (1795-1870): physicien, mathématicien et professeur de physique à l'école polytechnique ) "Le nombre de divisions euclidiennes nécessaires pour obtenir le PGCD de deux entiers naturels non nuls, en appliquant l algorithme d Euclide, est inférieur ou égal à 5 fois le nombre de chiffres servant à écrire le plus petit des deux nombres" La recherche est la plus longue pour deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci. Exercice 4 : Déterminez le PGCD des deux nombres 144 et 89. Ces deux nombres sont des termes consécutifs de la suite de Fibonacci. D après le théorème de Lamé cité précédemment, le nombre d étapes est inférieur ou égal à 5 x 2 ( 89 a deux chiffres ), soit 10.
L ECOLE D ATHENES Entre 1508 et 1517, Raphaël réalise au Vatican (Rome) des séries de fresques pour les appartements privés du Pape Jules II. Cette fresque «L'École d'athènes» est la représentation des grands penseurs de l'antiquité. PYTHAGORE 580-490 av J.C. EUCLIDE 325-265 av J.C. PYTHAGORE 580-490 av J.C. EUCLIDE 325-265 av J.C.