INSTITUT UNIVERSITAIRE DE TECHNOLOGIE DE SAINT-DENIS 1 GEA 1 Année 2010 2011 Mohamed MRAD MODELISATION DE SITUATIONS Définitions et remarques importantes: Le taux d augmentation x (exprimé sous forme décimale) et le pourcentage d augmentation t sont liés par la relation : t x= 100 Si P est la valeur d une grandeur (prix, volume, population, etc) et si x désigne un taux d'augmentation (exprimé sous forme d'un nombre décimal), la nouvelle valeur de la grandeur est: P' = P ( 1 + x ). Si P est la valeur d une grandeur (prix, volume, population, etc) et si x désigne un taux de diminution (exprimé sous forme d'un nombre décimal), la nouvelle valeur de la grandeur est P' = P ( 1 x ) En généralisant, si x désigne un taux de croissance, la nouvelle valeur après n augmentations, est: P' = P ( 1 + x) n et si y désigne un taux de décroissance, la nouvelle valeur de la grandeur après n diminutions, est: P' = P ( 1 y) n Excercice 1 Un commerçant veut vendre un objet dont le prix de vente brut hors taxes est 4 570. Le commerçant propose un premier rabais de taux inconnu, puis un second rabais de taux égal au tiers du précédent. Le prix de vente net toutes taxes comprises est alors de 4 824,59, le taux de TVA utilisé étant 19,6 %. Quel était le taux du premier rabais? Réponse et justification Que faire devant un tel énoncé? Il s'agit de reconnaître la classe de problèmes. Pour rechercher la(les) solutions,
INSTITUT UNIVERSITAIRE DE TECHNOLOGIE DE SAINT-DENIS 2 il convient d'abord de rechercher l'inconnue, puis de désigner l'inconnue. Ensuite, l'énoncé est traduit en équations, puis il reste à résoudre ces équations. Il faut ensuite interpréter le résultat. Une telle démarche s'appelle une mathématisation de situation. Soit donc x le premier taux inconnu. Le second taux est donc x/3. Le prix de vente hors taxe après le premier rabais est: PV 1 = 4 570 4 570 x PV 1 = 4 570 (1 x) Le prix de vente hors taxe après le second rabais est donc: PV 2 = 4 570 (1 x) 4 570 ( 1 x) x/3 PV 2 = 4 570 (1 x) (1 x/3) Le prix de vente TTC après les deux rabais est donc: PV 3 = 4 570 (1 x) (1 x/3) 1,196 On est donc amené à résoudre: 4 570 (1 x) (1 x/3) 1,196 = 4824,59 C'est une équation du second degré. En effectuant les calculs, elle peut s'écrire: x 2 4x + 0,3519 = 0 Rappel On appelle trinôme du second degré toute expression du type: P(x) = a x 2 + b x + c avec a non nul. Pour tout nombre réel x, P(x) peut aussi s écrire: P(x) = 2 b2 4ac ( x+ ) 2 b a 4a 2 Cette forme de P(x) est appelée l expression canonique du trinôme. Le nombre noté = b 2 4ac est appelé le discriminant. Les racines ou solutions de l équation a x 2 + b x + c = 0 sont les valeurs de la variable qui vérifient cette relation. On les obtient en calculant le discriminant. Selon le signe de, il existe ou n existe pas de solution(s). a) < 0 : pas de solution
INSTITUT UNIVERSITAIRE DE TECHNOLOGIE DE SAINT-DENIS 3 b) = 0 : une solution unique x 0 = b/2a Alors P(x) = a (x x 0 ) 2. c) > 0 : deux solutions distinctes Alors P(x) = a (x x 11 ) (x x 2 ) x b b = + x = 2a 2a 1 2 Pour résoudre cette équation, on va donc calculer le discriminant : = 4*4 4 * 1 * 0,3519 = 14,5924 = (3,82) 2 Les racines de cette équation sont donc: x' = (4 3,82)/2 = 0,09 soit 9% et x" = (4 + 3,82)/2 = 3,91, soit 391 % ce qui ne peut correspondre à un rabais! Le premier rabais est donc de 9% et le second de 3%. Fonctions d une variable & Fonctions usuelles Excercice 2 1) La courbe C ci dessous obtenue à l aide du logiciel mathématique MAPLE représente une fonction numérique définie sur [1, 5].
INSTITUT UNIVERSITAIRE DE TECHNOLOGIE DE SAINT-DENIS 4 i) Dressez le tableau de variations correspondant. On précisera les bornes de l'ensemble d'arrivée, le(les) signe(s) de la dérivée, le(les) sens de variation, l'(les) extrémum(s), la (les) tangente(s) horizontale(s) si elle(s) existe(nt). Réponse et justification : Méthodologie : pour résoudre ce type de problème, il faut regarder la représentation graphique et transcrire dans le tableau toutes les informations que l on peut tirer de cette représentation graphique. x 1 2 4 5 f ' 0 + 0 f 5 î 1 ì 5 î 1 Les tangentes horizontales existent en des points (x 0, f(x 0 )) pour lesquels la dérivée f '(x 0 ) est nulle. D après la représentation graphique, ce sont les points de coordonnées (2, 1) et (4, 5). Les tangentes ont pour équation y = 1 et y = 5.
INSTITUT UNIVERSITAIRE DE TECHNOLOGIE DE SAINT-DENIS 5 Remarque: Cette fonction admet deux minima (en 2 et 5) et deux maxima (en 1 et 4). Notons que les extrémums correspondant aux extrémités de l'intervalle ne correspondent pas à des points (x 0, f(x 0 )) où la dérivée f '(x 0 ) est nulle. ii) La fonction ci dessus peut elle représenter une fonction de coût total? Si oui, précisez à quelles conditions. Si non, expliquez pourquoi. Réponse et justification Méthodologie: il faut examiner si la fonction représentée vérifie les conditions requises pour être une fonction de coût total sur tout ou partie de IR. Rappel: Une fonction de coût total est une fonction positive et croissante. La variable représente une quantité, donc est aussi positive. D'après la représentation graphique, f n est croissante que sur l'intervalle [2, 4]. La variable et la fonction sont toujours positives. La fonction ne peut être une fonction de coût total que sur cet intervalle. 2)Voici les graphes toujours réalisés avec MAPLE d'une droite (D) et d'une parabole (P) d axe vertical.
INSTITUT UNIVERSITAIRE DE TECHNOLOGIE DE SAINT-DENIS 6 i) Donnez les équations cartésiennes de (D) et de (P). Réponse et justification Méthodologie: nous allons tirer des renseignements de la lecture du graphique et traduire ces renseignements en équations. L'équation d'une droite est de la forme y = a x + b. La droite (D) passe par les points (1, 1) et (3, 0). Nous allons déterminer a et b en écrivant que a et b vérifient le système suivant: 1 = a + b 0 = 3a + b On en déduit, par exemple en multipliant la première équation par 1 et en additionnant les deux équations, que: 2 a = 1 soit a = 1/2 et en remplaçant dans une des deux équations, b = 3/2 L'équation de la droite (D) peut donc s'écrire: y = 1/2 x 3/2. L'équation d'une parabole est de la forme y = a x 2 + b x + c. La parabole (P) passe par les points (1, 0), (2, 1/2) et (3, 0). Son sommet est le point (2; 1/2), ce qui signifie que la tangente en ce point est horizontale et donc la dérivée en 2 est nulle.
INSTITUT UNIVERSITAIRE DE TECHNOLOGIE DE SAINT-DENIS 7 La dérivée est f'(x) = 2 a x + b Nous pouvons donc écrire que a, b et c vérifient: a + b + c = 0 a (2) 2 + b *2 + c = 1/2, soit 4 a + 2 b + c = 1/2 a (3) 2 + b * 3 + c = 0, soit 9 a + 3 b + c = 0 2 a * 2 + b = 0, soit 4 a + b = 0 Nous avons trois inconnues et quatre équations. Pour résoudre le système, nous allons donc choisir trois équations: a + b + c = 0 4 a + 2 b + c = 1/2 4 a + b = 0 En retranchant la première équation de la deuxième, on élimine c. On est donc ramené à résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues: 3 a + b = 1/2 4 a + b = 0 soit a = 1/2 et b = 2. En reportant les valeurs trouvées dans la première équation, on obtient: c = a b = 3/2 Nous pouvons vérifier que a, b et c satisfont à la quatrième équation: 9 * 1/2 + 3 * 2 3/2 = 0 L'équation de la parabole est donc: y = 1/2 x 2 + 2 x 3/2 ii) Déterminez les équations des tangentes à la parabole aux points d'intersection de (D) avec (P). Réponse et justification Méthodologie: nous allons tirer des renseignements de la lecture du graphique et traduire ces renseignements en équations. Les points sont visibles sur le graphique. Ce sont A (0, 3/2) et B (3,0). L équation de la tangente en un point M 0 (x 0, f(x 0 )) est donnée par : y = f (x 0 ) (x x 0 ) + f(x 0 )
INSTITUT UNIVERSITAIRE DE TECHNOLOGIE DE SAINT-DENIS 8 En A, le coefficient directeur est f (0) = 2 L équation de la tangente en A est donc : y = 2 x 3/2 En B, le coefficient directeur est f (3) = 1 L équation de la tangente est y = (x 3) soit y = x + 3 Remarque : Pour déterminer par le calcul les coordonnées des points d'intersection, il faut résoudre: 1/2 x 2 + 2 x 3/2 = 1/2 x 3/2 soit 1/2 x 2 + 3/2 x = 0 En mettant x en facteur, on factorise le membre de gauche sous la forme 1/2 x ( x + 3). Les racines de cette équation sont donc x = 0 et x = 3. Pour x = 0, nous trouvons y = 3/2. Les coordonnées du deuxième point d'intersection sont donc (0, 3/2). Excercice 3 1) Soit la fonction f définie sur [0, + [ par : f(x) = 1 + x x i) Sans utiliser la dérivée, étudier le sens de variation de la fonction f. ii) Montrer que f est bornée, c est à dire majorée et minorée. iii) Pour quelle(s) valeur(s) de x et de y, l équation f(x) = y a t elle une solution unique? 2) Quelles sont les dérivées première et seconde des fonctions? a) f(x) = 3 x 2 + 7 x + 12 b) C(Q) = 24000 Q 2/3 300 Q 1/3 + 100/ Q 2/3 c) R(Q) = 0,05 Q 3 0,3 Q 2 + 2 Q + 4 d) P(p) = 900 p /(p 1) Méthodologie: utiliser le fait que la dérivée de x est x 1, pour tout nombre réel et les opérations sur les dérivées. 3) Peut on déterminer les coefficients a, b et c pour que la fonction f définie par f(x) = a x 2 + b x + c * passe par le point A(1,0) * admette en A une tangente de coefficient directeur 0,5 * admette au point d'abscisse 0 une tangente horizontale? 4) La courbe ci dessous est une hyperbole (H) d équation: y = 4/x. On ne traite que la partie de (H) où x > 0. Déterminer les équations et tracer les tangentes suivantes à (H) :
INSTITUT UNIVERSITAIRE DE TECHNOLOGIE DE SAINT-DENIS 9 a) la tangente au point d abscisse x = 2 b) la tangente de pente égale à 4. c) la tangente passant par le point A(0,2). 5) Soit la fonction f définie sur [0, + [ par: f(x) = x 3 + x 2 + x + 1 i) Cette fonction admet elle des extrémums? ii) Existe t il des tangentes à la courbe représentative de f qui admettent comme coefficient directeur 1? Si oui, préciser le (les) point(s) de tangence et l' (les) équation(s) de la (des) tangente(s). 6) Etudiez les fonctions définies par f(u) = u 2 /(u 1) C(Q) = 2 Q 6/5 +4