Seconde - Chapitre4 : Notion de fonction Introduction : De nombreux phénomènes sont repésentés par des grandeurs diverses (longueurs, temps, volume, débit,...). Lors d observations, on peut voir parfois que certaines sont reliées entre elles (température et temps,...) : On dit qu elles sont fontions les unes des autres. On va s intéresser à l étude de phénomènes représentables par une grandeur en fonction d une autre. Vidoprojecteur : Intfonc.htm [cf. Brquigny] Dfinition en franais de la fonction prsente. Domaine de dfinition. Image et unicit de celle-ci. Antcdent(s). 1 Vocabulaire & représentation graphique. On s intéresse aux grandeurs représentables par des réels R. 1.1 Définitions. Définition 1.1 Lorsqu à un nombre réel x d une partie D de R on associe un nombre réel y, on dit que l on définit une fonction de D dans R : { D R f : x y = f(x) D est appelé domaine de définition de f. Exemples : Certaines fonctions ne peuvent être définies que sur [0; + [, R \ {0}, comme les fonctions x 1 x, x x...
2 Définition 1.2 Soit une valeur particulière a de la variable x appartenant à D. Le nombre f(a) s appelle l image de a par f. On dit que a est un antécédent de f(a) par f. Remarque : Un antécédent n est pas unique et n existe pas toujours! 1.2 Représentation graphique. Soit un repère (O, I, J) 1 du plan. (a) Définition. Soit f : D R. La courbe représentative ou représentation graphique C f de la fonction f est l ensemble des points de coordonnées (x; f(x)) dans le repère (O, I, J), x parcourrant D. Autrement dit, un point M de coordonnées (x;y) est sur la courbe C f si et seulement si y = f(x). (b) Avec la calculatrice... La touche Y= nous permet de rentrer la formule donnant y en fonction de x (quand on la connaît). Exemples : Tracer la courbe représentative de la fonction donnée par la formule : f(x) = x 2, g(x) = x + 3,... 1.3 Recherche d images et d antécédents. (a) Par le calcul. Méthode : Pour calculer l image d un nombre a par une fonction f (à condition que a soit dans le domaine de définition), on substitue par atous les x qui apparaissent dans la formule définissant f : On obtient f(a). 1 voir p.35 Belin 2 de
3 Remarque : On peut parler de l image (voir définition). Exemple : Soit { ]3; + [ R f : x x x 3 f est définie sur ]3; + [ par f(x) = x x 3 et l image de 3,5 par f est 7. Méthode : Pour déterminer, par le calcul, l ensemble des antécédents d un nombre b par une fonction f, on résout, quand c est possible, l équation f(x) = b, d inconnue x : La (ou les) solution(s) sont les antécédents de b par f. Exercice : Déterminer l ensemble des antécédents de 2 par la fonction f de l exemple précédent. (on obtient 6). (b) Avec un graphique. Méthode : Les images se lisent en ordonnée et les antécédents en abscisse. Exercice : 27 p.77,... (c) Avec la calculatrice. Si on a la formule définissant f. 2 Variations et extréma d une fonction. 2.1 Exercice. Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB = 6 cm, AC = 8 cm. Soit M un point de [AC]. La parallèle à (AB) passant par M coupe [BC] en N, et la parallèle à (AC) passant par N coupe [AB] en P.
4 1. On pose AM = x. Dans quel intervalle x varie-t-il? 2. Calculer l aire A du rectangle AMNP en fonction de x (on calculera d abord MN). 3. Remplir le tableau ci-dessous : x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 A(x) (On utilisera la fonction table de la calculatrice) 4. Sur la calculatrice, tracer la courbe de la fonction A. Que peut-on en dire? Quelle fenêtre choisir? 5. (a) Montrer que A(x) 12 = 3 (x 4)2 4 (b) En déduire que 12 est le maximum de la fonction A. Pour quelle valeur de x est-il atteint? 2.2 Fonctions croissantes et décroissantes. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Définition 2.1 1. La fonction f est croissante sur l intervalle I lorsque pour tous nombres réels a et b de I tels que a b on a f(a) f(b). On dit que f conserve l ordre. 2. La fonction f est décroissante sur l intervalle I lorsque pour tous nombres réels a et b de I tels que a b on a f(a) f(b). On dit que f renverse l ordre. Remarque 2.1 Si pour tout nombre x de I on a f(x) = k (où k est indépendant de x), on dit que f est constante sur I. Exemple 2.2 voir exercice 44 p.80 2.3 Maximum et minimum. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Définition 2.2 1. La fonction présente un maximum en x 0 I si pour tout nombre x de I on a f(x) f(x 0 ). Le nombre f(x 0 ) est le maximum de f sur I.
5 2. La fonction présente un minimum en x 0 I si pour tout nombre x de I on a f(x) f(x 0 ). Le nombre f(x 0 ) est le minimum de f sur I. 3. Le maximum et le minimum sont les extrémas d une fonction. Exemple 2.3 Dans l exercice 2.1, la fonction A présente un maximum en 4. Ce max vaut f(4) = 12. En effet, on a montré que pour tout x de l intervalle [0; 8], f(x) 12 2.4 Tableau de variation. Exemple 2.4 On schématise les variations de l aire A de l exercice 2.1 dans un tableau de variation : x 0 4 8 12 A(x) ր ց 0 0 Les éléments qui constituent ce tableau sont : la variable et son domaine de définition. Les valeurs particulières(pour les extréma, les bornes,...). Les flèches représentant le sens de variation de la fonction sur les diffrents intervalles.
6 3 Résolution graphique d équations et d inéquations. 3.1 3.2 Intersections et réunion d intervalles. Soient deux intervalles I et J.
7 La réunion des intervalles I et J, notée I J, est l ensemble des nombres réels qui appartiennent à I ou à J. L intersection des intervalles I et J, notée I J, est l ensemble des nombres réels qui appartiennent à I et à J. Si I et J n ont aucun point commun, on dit qu ils sont disjoints, et on note I J = 3.3 Exercices. Exercices 60 et 61 p.82