MATHÉMATIQUES Logarithmes exercices et corrigés Compilé le 29 octobre 2002 R. Lefèvre 28/10/2002 Logarithmes
Logarithmes CONTENU DU DOCUMENT Contenu du document 1 EXERCICES 2 1.1 Exercice 1.............................. 2 1.2 Exercice 2.............................. 2 1.3 Exercice 3.............................. 2 1.4 Exercice 4.............................. 3 1.5 Exercice 5.............................. 3 1.6 Exercice 6.............................. 3 1.7 Exercice 7.............................. 3 1.8 Exercice 8.............................. 4 1.9 Exercice 9.............................. 5 1.10 Exercice 10............................. 6 2 CORRIGÉS 7 2.1 Exercice 1.............................. 7 2.2 Exercice 2.............................. 7 2.3 Exercice 3.............................. 7 2.4 Exercice 4.............................. 8 2.5 Exercice 5.............................. 8 2.6 Exercice 6.............................. 9 2.7 Exercice 7.............................. 13 2.8 Exercice 8.............................. 14 2.9 Exercice 9.............................. 15 2.10 Exercice 10............................. 15 Exercices & corrigés - 1/16 -
Logarithmes 1 EXERCICES 1.1 1.2 Simplifier manuellement le plus possible, puis vérifier avec une calculatrice : 6, 2 3 4 6, 2 3 4 5 Il y a au moins deux approches différentes pour calculer manuellement 64 2 3. Proposer celle qui vous semble la plus simple. 1.3 Dans les calculs, il est souvent utile de passer de la forme exponentielle à la forme logarithmique, et inversement. Quelques exemples : x n = y log x y = n 7 2 = 49 log 7 49 = 2 log(x 1) = a 10 a = x 1 ln x = 1, 26 e 1,26 = x Changer les formes exponentielles, en formes logarithmiques : 3 8 = 2 6 1 = 1 6 3,6 9 1, 84 Changer les formes logarithmiques, en formes exponentielles : log 3 81 = 4 log 5 1 625 = 4 log 9 27 = 3 2 Exercices & corrigés - 2/16 -
Logarithmes 1.4 Exercice 4 1.4 1.5 1.6 1.7 Calculer, à l aide des logarithmes décimaux, les nombres : Résoudre les équations 1 : Tracer les graphes des fonctions : log 4 346 log 6 67 log 9 48 2 x = 7 100 n = 1428 ln(x + 1) = 0 ln 2x = ln(x + 1) f (x) = log 3 x g (x) = log 2 x Le montant d un capital, placé à intérêt composé, est donné par : ( C n = C i 1 + t ) n 100 C n est le montant du capital placé au bout de n années Où : C i est le capital initial t est le taux, exprimé en pour cent. Calculer le taux auquel il faudrait placer un capital initial de 3000, pour qu il soit doublé au bout de 10 ans. Avec le taux ci-dessus, calculer le nombre d années qu il faudrait attendre pour que le capital soit le triple du capital initial. Tracer la courbe C = f (n), avec n [0 ; 20]. 1 La fonction exponentielle est définie sur l ensemble des nombres réels R, mais la fonction logarithme n est définie que pour x ]0 ; + [. Exercices & corrigés - 3/16 -
Logarithmes 1.8 Exercice 8 1.8 Charge d un condensateur La tension aux bornes d un condensateur sous tension constante U suit une loi de croissance exponentielle (Fig- 1). La valeur instantanée de cette tension u C est une fonction du temps t et sa forme dépend de la constante de temps du circuit τ = RC. Plus la constante de temps sera faible, plus le condensateur sera chargé rapidement : t u C = U 1 e RC R U C u C Fig. 1 On considère en pratique, qu un condensateur est complètement chargé (u C U), au bout d un temps égal à 5RC. En effet, le produit RC étant exprimé en secondes, on a : t = RC u C = U ( 1 e 1) 0, 63 U t = 2RC u C = U ( 1 e 2) 0, 86 U t = 3RC u C = U ( 1 e 3) 0, 95 U t = 4RC u C = U ( 1 e 4) 0, 98 U t = 5RC u C = U ( 1 e 5) 0, 99 U On voit bien, qu au bout d un temps égal à 5RC, le condensateur est chargé à plus de 99% de sa valeur finale. Application numérique Un condensateur C = 1000µF est chargé, au travers d une résistance R = 68 kω, par une source de tension continue U = 20 V. Calculer le temps nécessaire pour que la tension aux bornes du condensateur soit égale à 15 V. Tracer la courbe u C = f (t) Exercices & corrigés - 4/16 -
Logarithmes 1.9 Exercice 9 1.9 La loi de Fechner L oreille humaine présente une particularité remarquable. Il faut doubler la puissance sonore, la pression acoustique, pour qu elle perçoive une augmentation. Celle-ci est perçue comme continue si la puissance initiale est multipliée successivement par 2, puis 4, 8, etc... Autrement dit, la sensation auditive n est pas proportionnelle à l exitation, mais à son logarithme : C est la loi de Fechner 2. Ceci a conduit à exprimer les accroissements, ou les atténuations, de telle sorte qu ils varient assez peu alors que les rapports eux-mêmes varient dans des proportions beaucoup plus grandes, d où l utilisation du logarithme décimal. Par convention, on exprime le rapport de deux grandeurs, puissance ou tension, en décibels (db). On a ainsi : Le gain en puissance : Le gain en tension : Application numérique G P = 10 log P S P E G V = 20 log V S V E Le gain en tension d un amplificateur (Fig- 2), est G V = 47 db : V E A Fig. 2 V S Calculer la valeur du rapport des tensions A V = V S V E Quelle est la valeur de la tension de sortie, avec V E = 25 mv? 2 Dans une chaîne de reproduction sonore, par exemple, le potentiomètre est souvent remplacé par un commutateur à plots qui, d une position à la suivante, permet d obtenir une puissance double en sortie. Ainsi, à une rotation continue de la commande de volume de l amplificateur correspond, à l oreille, une sensation d accroissement continu. Exercices & corrigés - 5/16 -
Logarithmes 1.10 Exercice 10 1.10 La magnitude M ( d un) séisme d intensité I, est mesurée sur l échelle de I Richter par M = log où I 0 est une intensité de référence. L énergie E I 0 (en joules) libérée au foyer du séisme, est liée à la magnitude par la formule, log E = a + bm où a et b sont des constantes. Placer sur l échelle de Richter les séismes : San Francisco, en 1906 : I = 1, 78 10 8 I 0 Los Angeles, en 1971 : I = 5, 01 10 6 I 0 Déterminer les valeurs de a et b, sachant qu un séisme de magnitude 8 met en jeu environ 30 000 fois plus d énergie qu un séisme de magnitude 5, lui-même libérant une énergie de 0, 2 10 20 J. Exercices & corrigés - 6/16 -
Logarithmes 2 CORRIGÉS 2.1 6, 2 3 4 6, 2 = 6, 2 (3+ 1 4) = 6, 2 13 4 = 6, 2 3,25 376, 074 2.2 3 4 5 = 3 2 10 = 3 2 9 3 2 = 2 3 3 2 = 8 3 2 10, 08 2.3 64 2 3 = 3 64 2 = 3 2 12 = 2 4 = 16 ( ) 2 ( 64 2 3 = 64 1 3 = 3 ) 2 64 = 4 2 = 16 3 1 8 = 2 8 3 = 2 log8 2 = 1 3 6 1 = 1 ( ) 1 6 log 6 = 1 6 3,6 9 1, 84 9 1 3,6 1, 84 log9 1, 84 1 3, 6 log 3 81 = 4 3 4 = 81 Exercices & corrigés - 7/16 -
Logarithmes 2.4 Exercice 4 ( ) 1 log 5 = 4 5 4 = 1 625 625 2.4 log 9 27 = 3 2 9 3 2 = 27 log 4 346 = y 4 y = 346 log 4 y = log 346 y log 4 = log 346 log 346 y = log 4 log 4 346 4, 2173 log 6 67 = y 6 y = 67 y log 6 = log 67 log 67 y = log 6 log 6 67 2, 3467 2.5 log 9 48 = y 9 y = 48 y log 9 = log 48 log 48 y = log 9 log 9 48 1, 7619 2 x = 7 log 2 x = log 7 x log 2 = log 7 x = log 7 x 2, 807 log 2 Exercices & corrigés - 8/16 -
Logarithmes 2.6 Exercice 6 100 n = 1428 log 100 n = log 1428 n log 100 = log 1428 log 1428 n = 2 n 1, 5773 ln(x + 1) existe ssi : x + 1 > 0 x > 1 D où : D f = ] 1 ; + [ Ainsi : ln(x + 1) = 0 x + 1 = e 0 x + 1 = 1 x = 0 D où : S = {0} 2.6 ln 2x existe ssi : 2x > 0 x > 0 ln(x + 1) existe ssi : x + 1 > 0 x > 1 D où : D f = ] 0 ; + [ Ainsi : ln 2x = ln(x + 1) 2x = x + 1 x = 1 D où : S = {1} Pour tracer les graphes des fonctions f (x) = log 3 x et g (x) = log 2 x, il n est pas possible d utiliser directement un traceur de fonctions, qui ne dispose généralement que des fonctions log 10 x et ln x, voire que de cette dernière. Il y a deux méthodes pour y parvenir : 2.6.1 Manuellement Fonctions réciproques : Les fonctions à tracer sont un cas particulier de la fonction générale log a x, où a est un nombre entier quelconque, et il faut revenir sur la notion de fonction réciproque : La fonction réciproque d une fonction f (x) donnée, est une nouvelle fonction notée 3 f 1 (x), et obtenue en permutant variable et fonction, dans l écriture de la fonction initiale. Deux exemples (Fig- 3) : 3 C est cette notation de la fonction réciproque qui la fait souvent appelée inverse. Ce terme, bien que largement employé (calculatrices), ne semble pourtant pas très approprié... Exercices & corrigés - 9/16 -
Logarithmes 2.6 Exercice 6 O O Fig. 3 Les fonctions f (x) = x 2, f 1 (x 2 ) = x et, f (x) = e x, f 1 (e x ) = ln x f (x) = x 2 y = x 2 f (x) = e x y = e x f 1 x = y 2 y = x f 1 x = e y y = ln x Graphes des fonctions réciproques : Les graphes de deux fonctions réciproques, dans l intervalle où elles sont définies ensemble, est symétrique par rapport à la première bissectrice du système d axes. On trace alors point par point les fonctions réciproques f 1 (x) = 3x et g 1 (x) = 2x puis, par symétrie, les fonctions f (x) = log 3 x et g (x) = log 2 x. Autre approche : En utilisant la définition de deux fonctions réciproques, faire un tableau (1) de valeurs pour les fonctions f 1 (x) = 3x et g 1 (x) = 2x. (1) x fx 1 = 3 x gx 1 = 2 x 1, 5 0, 19 0, 35 1 0, 33 0, 5 0, 5 0, 58 0, 7 0 1 1 0, 5 1, 73 1, 4 1 3 2 1, 5 5, 2 2, 8 Exercices & corrigés - 10/16 -
Logarithmes 2.6 Exercice 6 Faire ensuite un tableau de valeurs par fonction à tracer, en permutant variable et fonction (2 et 3), puis construire point par point chacun des graphes (Fig- 4 et 5). x f (x) = log 3 x 0, 19 1, 5 0, 33 1 0, 58 0, 5 (2) 1 0 1, 73 0, 5 3 1 5, 2 1, 5 (3) x g (x) = log 2 x 0, 35 1, 5 0, 5 1 0, 7 0, 5 1 0 1, 4 0, 5 2 1 2, 8 1, 5 2.6.2 Par le calcul, avec un traceur de fonctions Le problème se ramène à calculer 4 le logarithme à base quelconque d un nombre. Avec y = log a x, et en passant à la forme exponentielle, on a : y = log a x a y = x ln a y = ln x y ln a = ln x y = ln x ln a log a x = ln x ln a Cette formule est très intéressante en pratique. On en voit un exemple ici, puisque : tracer f (x) = log 3 x, revient à tracer f (x) = ln x ln 3 tracer g (x) = log 2 x g (x) = ln x ln 2 4 Ici, faire calculer par la machine... Avec les logarithmes népériens, disponibles sur tous les traceurs. Exercices & corrigés - 11/16 -
Logarithmes 2.6 Exercice 6 j O i Fig. 4 f (x) = log 3 x, et f 1 (x) = 3x j O i Fig. 5 g (x) = log 2 x, et g 1 (x) = 2x Exercices & corrigés - 12/16 -
Logarithmes 2.7 Exercice 7 Graphes : Ils sont réalisés avec Gnuplot, traceur où la fonction log correspond au logarithme népérien et où la fonction log10 correspond au logarithme décimal, (Fig- 6, et documentation du programme). 6 log(x)/log(3) log(x)/log(2) 4 2 0-2 -4-6 0 2 4 6 8 10 Fig. 6 2.7 On écrit que le capital a doublé en dix ans : ( 2 = 1 + t 100 ) 10 log 2 = 10 log ( 1 + t 100 ) log 2 ( 10 = log 1 + t 100 1 + t 10 100 = 10 log 2 ) t = 100 (10 log 2 10 1 t 7, 18 % Avec t 7, 18 %, on écrit qu au bout de n années le capital a triplé : ( 3 = 1 + t ) n ( log 3 = n log 1 + t ) 100 100 log 3 n = ( log 1 + t ) 100 n 16 ans Exercices & corrigés - 13/16 - )
Logarithmes 2.8 Exercice 8 Graphe de C = f (n) (Fig- 7) : 13000 3000*(1+7.18/100)**n 12000 11000 10000 9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 0 5 10 15 20 Fig. 7 2.8 De u C = U u C [1 e ( t RC ) ], on tire : U = 1 t e( RC ) u C U 1 = e( t RC ) 1 u C U = t e( t ( RC = ln 1 u ) C U ( t = RC ln 1 u ) C U RC ) Avec u C = 15 V et RC = 68 s, on a : ( t = 68 ln 1 15 ) 20 Graphe de u C = f (t) (Fig- 8) : t 94, 27 s Exercices & corrigés - 14/16 -
Logarithmes 2.9 Exercice 9 V 20 20*(1 exp( t/68)) 15 10 5 0 0 50 100 150 200 250 300 s Fig. 8 2.9 De G v = 20 log V S V E, on tire : 20 log V S V E = 47 log A V = 47 20 D où la valeur de la tension de sortie : A V = 10 ( 47 20) AV 224 V S = A V V E V S 25 10 3 224 V S 5, 6 V 2.10 San Francisco : M = log 1, 78 10 8 = 8 + log 1, 78 M 8, 25 Los Angeles : M = log 5, 01 10 6 = 6 + log 5, 01 M 6, 7 Exercices & corrigés - 15/16 -
Logarithmes 2.10 Exercice 10 D après l énoncé, on a le système : { log 0, 2 10 20 = a + 5b (1) log (30000 0, 2 10 20 ) = a + 8b (2) L 2 L 1 3b = log ( 30000 0, 2 10 20) log 0, 2 10 20 De l équation (1), on tire : 3b = log 30000 3b = 4 + log 3 b = 4 + log 3 3 b 1, 4924 a = log ( 0, 2 10 20) 5b a 11, 84 D où l équation complète, que l on peut trouver par ailleurs, et qui donne l énergie mise en jeu dans un séisme, en fonction de la magnitude : log E = 11, 8 + 1, 5M Exercices & corrigés - 16/16 -