Lois de probabilité continues

Lois de probabilité continues Lois à densité sur un intervalle Les expériences aléatoires étudiées en première conduisaient à définir un univers Ω = {ω ; ω ; ; ω } fini muni d une loi de probabilité P qui attribuait à chaque issue ω sa probabilité P(ω ) telle que P(ω ) 0 et P(ω ) = 1. Toute variable aléatoire définie sur Ω ne prenait qu un nombre fini de valeurs. On s intéresse maintenant à des univers qui contiennent une infinité d issues, par exemple toutes valeurs dans l intervalle [0 ; 1]. Les variables aléatoires utilisées sur ces univers prennent toutes valeurs dans un intervalle donné. Définition Densité de probabilité On appelle densité de probabilité sur un intervalle I de R, toute fonction f continue, positive sur I et telle que l aire sous la courbe C est égale à 1 u.a. P(a X b) = 1 Ainsi toute fonction f continue, positive sur I est une densité de probabilité si: f(t)dt = 1 si I = [a; b] où lim f(t)dt = 1 si I = [a; + [ Définition Loi à densité Soit f une densité de probabilité sur un intervalle I. Dire qu une variable aléatoire X suit la loi de densité f signifie qu à tout intervalle J inclus dans I, on associe la probabilité P(X J) = aired où D est le domaine de l aire sous la courbe C sur l intervalle J. Conséquences Pour tout nombre réel c I, P(X = c) = f(t)dt = 0 Si J = [c; d], P(X J) = P(c X d) = f(t)dt {M(x; y)/ c x d et 0 y f(x)}). P(c X d) = P(c < X d) = P(c X < d) = P(c < X < d) (Aire sous la courbe délimitée par Propriétés Les propriétés des probabilités rencontrées dans le cas discret s étendent au cas continu. Ainsi : P(X J) = 1 P(X J) (Complémentaire). En particulier, si I = [a; + [ et si c > a alors P(X > c) = 1 P(a < x < c) = 1 f(t)dt Si J et K sont deux intervalles inclus dans I, alors P(X J K) = P(X J) + P(X K) P(X J K) Si P(X J) 0, alors P (X K) = ( ) ( ) N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 1

P(c X d) = f(t)dt P(X > c) = 1 P(a X c) = 1 f(t)dt Exemple f est la fonction définie sur l intervalle [0; 4] par la courbe ci-contre : 1) Vérifier que l aire, en unité d aire du domaine coloré est égale à 1. Que peut-on en déduire pour f? 2) X est une variable aléatoire continue à valeurs dans [0; 4] dont la loi de probabilité a pour densité f. a) Calculer P(1 X 2) b) Calculer P (1,5 X 2,5) Définition Espérance mathématique L espérance mathématique d une variable aléatoire X dont la densité de probabilité f est définie sur un intervalle fermé [a; b] est E(X) = xf(x)dx. Remarque Cette définition prolonge au cadre continu la définition donnée de l espérance d une variable aléatoire discrète. Loi uniforme sur [a; b] La loi uniforme est la loi de phénomènes continus uniformément répartis sur un intervalle. Définition Une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur l intervalle [a; b], avec a < b, lorsque sa densité de probabilité f est une fonction constante sur [a; b]. Propriété La densité de probabilité de la loi uniforme sur [a; b] est la fonction définie sur [a; b] par f(x) =. Preuve La densité de probabilité f de la loi uniforme sur [a; b] est une fonction constante. Posons f(x) = λ. On doit avoir f(x)dx = 1 soit λdx = 1 λb λa = 1 λ = N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 2.

Remarques 1. Si l on choisit au hasard un nombre dans l intervalle I = [a; b], la probabilité que ce nombre soit dans l intervalle J I est le quotient da la longueur J par celle de I. En effet, pour tout intervalle J = [α; β] [a; b] = I, P(X J) = 2. Si deux intervalles J et K ont la même longueur alors P(X J) = P(X K). D où le nom de loi uniforme. dt = = Exemple On choisit un nombre au hasard dans l intervalle [0; 5]. Par définition la variable aléatoire X qui indique le nombre choisi suit la loi uniforme sur [0; 5]. P(X = 2) = 0 ; P(X > 3) = = ; P(1 X < 4) = = Propriété Espérance mathématique Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l intervalle [a; b]. Alors son espérance est E(X) = Preuve E(X) = dt = = = ()() = Exemples d utilisation de la loi uniforme 1) Jeanne a dit qu elle passerait chez Jean entre 18h et 20h30. Quelle est la probabilité qu elle arrive pendant qu il mange entre 19h et 19h30? On note X la variable aléatoire égale à l heure d arrivée de Jeanne chez Jean. Elle prend ses valeurs dans l intervalle [18; 20,5]. X suit une loi uniforme sur [18; 20,5]. 19,5 19 P(19 X 19,5) = 20,5 18 = 0,2 La probabilité que Jeanne arrive pendant le repas est. 2) Un feu tricolore reste 55 secondes au vert, 5 secondes à l orange et 60 secondes au rouge. Un piéton ne peut traverser que lorsque le feu est rouge. A 8h00, le feu passe au rouge. On s intéresse aux piétons qui se présentent entre 8h00 et 8h05. T est la variable aléatoire qui donne, en seconde, le temps écoulé de 8h00 jusqu à l heure d arrivée devant le feu d un piéton désirant traverser. On suppose que T suit la loi uniforme [0; 300]. On veut calculer la probabilité qu un piéton attende moins de 10 secondes puis plus de 20 secondes. a) Faire un schéma illustrant la succession des feux. b) Pour une attente de moins de 10 secondes, dans quels intervalles de temps doit se situer T? Une attente de moins de 10 secondes signifie que T [0; 60] ou T ]110; 180] ou T ]230; 300]. N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 3

En déduire la probabilité que l attente ne dépasse pas 10 secondes. Les évènements T [0; 60], T ]110; 180], T ]230; 300] sont deux à deux disjoints donc P(T [0; 60] ]110; 180] ]230; 300]) = P(T [0; 60]) + P(T ]110; 180]) + P(T ]230; 300]) P(T [0; 60] ]110; 180] ]230; 300]) = + + = c) Calculer la probabilité que l attente dure plus de 20 secondes. Une attente de plus de 20 secondes signifie que T ]60; 100[ ou T ]180; 220[. Ces évènements sont deux à deux disjoints donc P(T ]60; 100[ ]180; 220[) = P(T ]60; 100[) + P(T ]180; 220[) = + = 3) La fonction Rand ou NbrAléat sur TI ou Ran# sur Casio d une calculatrice donne un nombre au «hasard» dans l intervalle [0; 1[. Ce nombre aléatoire suit la loi uniforme X sur [0; 1[. Par exemple la probabilité que X 0; est. Plus généralement, si a et b sont deux nombres tels que 0 a < b < 1, la probabilité que X [a; b] est b a. a) Calculer P(0,54 X 0,62) P(0,54 X 0,62) = 0,62 0,54 = 0,08 b) Sachant que X < 0,3, quelle est la probabilité de l évènement A : «son chiffre des centièmes est 1». Les nombres inférieurs à 0,3 dont le chiffre des centièmes est 1 sont dans les intervalles [0,01; 0,02[ ou [0,11; 0,12[ ou [0,21; 0,22[. (0,02 0,01) + (0,12 0,11) + (0,22 0,21) P, (A) = 0,3 0 c) Calculer l espérance de X. E(X) = 0 + 1 = 1 2 2 Lois exponentielles = 3 0,01 0,3 = 1 10 La plupart des phénomènes naturels sont soumis au processus de vieillissement. Par exemple, la durée de vie des êtres humains : la probabilité de vivre 40 ans pour un enfant à la naissance est de l ordre de 0,98. La probabilité pour une personne de 50 ans de vivre encore 40 ans est environ égale à 0,65. Il existe des phénomènes où il n'y a pas de vieillissement ou d'usure. Dans la pratique, ils relèvent d'événements survenant accidentellement et/ou de façon brutale. L absence de «mémoire» ou de vieillissement se traduit par le fait qu un phénomène a autant de chances de se produire sur un laps de temps donné après l instant t qu après l instant h. La probabilité qu il survienne aujourd hui sachant qu on l attend depuis un siècle est la même que si on l attendait depuis un jour. Les lois exponentielles modélisent ces phénomènes dont la durée de vie n est pas affectée par l âge, par exemple la durée de vie d un noyau radioactif ou d un composant électronique. Définition λ désigne un nombre réel strictement positif. Une variable aléatoire T suit une loi exponentielle de paramètre λ lorsque sa densité de probabilité est la fonction f définie sur [0; + [ par f(t) = λe. N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 4

Remarque La fonction f définie sur [0; + [ par f(t) = λe est bien une densité de probabilité sur [0; + [ : f est continue et positive sur [0; + [ et si t > 0, λe dx = e = 1 e. Or, lorsque t tend vers +, λt aussi et donc e tend vers 0. On a donc lim λe dx = λe dx = 1 Propriétés Pour tous nombres réels a et b tels que 0 a b : P(T a) = λe dt = e = 1 e P(T > a) = 1 P(t a) = e P(a T b) = e e Théorème (Propriété de perte de mémoire) Pour tous nombres réels positifs t et h, P (T t + h) = P(T h). La durée de vie T sur un laps de temps h, ne dépend pas de l âge t à partir duquel on considère cet évènement. Preuve Pour tous nombres réels positifs t et h, P (T t + h) = [() ()] () = () () Proposition Espérance mathématique = () = e = P(T h). L espérance mathématique de la loi exponentielle de paramètre λ est E(T) =. Preuve (Exigible) Pour tout nombre réel positif t, on calcule λxe dx. La fonction g: x λxe est le produit des fonctions dérivables Id: x x et x λe. Donc g est dérivable sur [0; + [. λxe dx = xe e dx = te + e λ = te e λ + 1 λ e 1 lim = 0 et lim λ te = lim λ λte On pose X = λt. Alors lim Xe = 0 (croissances comparées) On a donc lim λxe dx = E(T) = 1 λ lim X = et N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 5

Remarque On admet que les variables aléatoires qui suivent une loi exponentielle sont les seules variables aléatoires à densité sans vieillissement. Exemple d utilisation de la loi exponentielle La durée de vie d une ampoule d un certain modèle peut être modélisée par une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre λ où λ est un réel strictement positif. Que vaut λ sachant que P(T 1000) = 0,3? P(X 1000) = 1 e = 0,3 d où e = 0,7 e = 0,7 1000λ = ln0,7 λ = ln0,7 1000 0,000356 Sachant que l évènement (T > 1000) est réalisé, déterminer la probabilité de l évènement (T > 3000). On sait que pour tous nombres réels positifs t et h, P (T t + h) = P(T h). On remarque que 3000 = 1000 + 2000, d où en prenant t = 1000 et h = 2000 P (T > 3000) = P(T > 2000) = e 0,49 Démontrer que, pour tout réel t 0 et h 0, P (T t + h) = P(T h) Pour tous nombres réels positifs t et h, on a : P (T t + h) = 1 P (T > t + h) = 1 P(T > h) = P(T h) Sachant qu une ampoule a fonctionné 3000 heures, quelle est la probabilité qu elle tombe en panne avant 4500 heures? P (T 4500) = P(T 1500) = 1 e 0,41 Déterminer la durée de vie moyenne d une ampoule de ce modèle (on arrondira à l heure près) La durée de vie moyenne est égale à l espérance de T, c est-à-dire, soit environ 2808. N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 6