Chapitre 7 Fonction du second degré, algèbre, équations

Chapitre 7 Fonction du second degré, algèbre, équations TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 7 Fonction du second degré, algèbre, équations Table des matières I Exercices I-1 1................................................ I-1................................................ I-1................................................ I-1 4................................................ I-1................................................ I- 6................................................ I- 7................................................ I- 8................................................ I- 9................................................ I- 10................................................ I- 11................................................ I- 1................................................ I- 1................................................ I-4 14................................................ I-4 1................................................ I-4 16................................................ I-4 17................................................ I-4 18................................................ I-4 19................................................ I- 0................................................ I- 1................................................ I-................................................ I-6................................................ I-6 4................................................ I-6................................................ I-7 6................................................ I-7 7................................................ I-7 8................................................ I-7 9................................................ I-7

Chapitre 7 Fonction du second degré, algèbre, équations TABLE DES MATIÈRES page - II Cours II-1 1 Fonction polynôme du second degré............................ II-1 Fonction carré........................................ II- Calcul algébrique rappels de collège........................... II- a Rappels de règles de calcul............................. II- b Développer et réduire................................ II- c Factoriser...................................... II- 4 Équations.......................................... II- 4a Équation x = k................................... II- 4b Équation-produit.................................. II-4 4c Autres exemples d équations............................ II-4

Chapitre 7 Fonction du second degré, algèbre, équations I EXERCICES page I-1 I Exercices 1 Fonction polynôme du second degré Chacune des égalités suivantes définit une fonction. Faire afficher chaque fois sa représentation graphique à la calculatrice. (1) f(x) = x 7x + sur [ ; ] () f(x) = 0, 4x + 6 sur [ ; ] () f(x) = x x + x 1 sur [ ; ] Chacune des égalités suivantes définit une fonction. Indiquer chaque fois si cette fonction est une fonction affine, une fonction polynôme du nd degré, ou un autre type de fonction. (1) f(x) = x () f(x) = 4x x + 7 () f(x) = 6 + x (4) f(x) = x + 6 4x () f(x) = (x 1)(x + ) (6) f(x) = (x + ) x (7) f(x) = x + 1 x + (8) f(x) = x 6x La fonction f est définie sur l intervalle [ ; ] par f(x) = x x. 1. Compléter le tableau ci-dessous à l aide de la calculatrice (penser à utiliser la commande table).. Quelle est l image de? de?. Le nombre a-t-il des antécédents? Si oui lesquels? 4. Même question (a) pour 6, (b) pour 0, (c) pour.. Tracer la représentation graphique de la fonction f dans sur le quadrillage ci-dessous. On prendra comme unité 1 cm en abscisses, et 0, cm en ordonnées. 4 x 0 1 4 f(x) Reprendre les questions,, 4 de l exercice en traçant des traits sur le graphique.

Chapitre 7 Fonction du second degré, algèbre, équations I EXERCICES page I- Chacune des égalités suivantes définit une fonction. Indiquer chaque fois si cette fonction est une fonction affine, une fonction polynôme du nd degré, ou un autre type de fonction. 6 (1) f(x) = 0, x + () f(x) = 4x 1, x + 7 () f(x) = x (4) f(x) = x + 1 4, 9x () f(x) = x (6) f(x) = (x 7) (7) f(x) = x(x + 4) (8) f(x) = (x+4)(x ) x (9) f(x) = 8 + (x ) Même exercice que l exercice avec les fonctions définies par les égalités ci-dessous. (1) f(x) = 4 + x(x + 6) 6x () f(x) = (x + 6) 6 + x () f(x) = x 4 x (4) f(x) = (x 7)(x + 7) () f(x) = (x + ) x + 1 (6) f(x) = (x 9) 4(x) 7 (7) f(x) = x+x +x(x+4) (8) f(x) = (x 1)(x + 8) Même exercice que l exercice avec les fonctions définies par les égalités ci-dessous. (1) f(x) = x x (x x + 1) () f(x) = 4x + 7x 8 (x 6) () f(x) = 6x + (x 4x + ) (4) f(x) = x ( 4x + x 1) 8 La fonction f est définie par f(x) = x x + 1 et sa représentation graphique est la courbe C f ci-contre. 1. (a) Placer le point A de coordonnées (4 ; ) sur le graphique. (b) Le point A appartient-il à la courbe C f? Justifier par un calcul.. Mêmes consignes (a) et (b) pour les points suivants : B ( ; ), C (1, ; 4), D (0, ;, ), E ( 0, 4 ;, 16). 1 4 1 4 C f 9 6 Les fonctions f et g sont définies par f(x) = x + 6x et g(x) = 0, x. On appelle C f et C g leurs représentations graphiques dans un repère. Pour chacun des points suivants, effectuer des calculs pour savoir si ce point appartient à la courbe C f ou à la courbe C g ou ni à l une ni à l autre : A ( ; 0, ), B (0 ; ), C (6 ; ), D ( ; 6).

Chapitre 7 Fonction du second degré, algèbre, équations I EXERCICES page I- Fonction carré 10 La fonction f est définie par f(x) = x. On appelle cette fonction la fonction carré. 1. Cette fonction est-elle une fonction polynôme du nd degré? Justifier.. Compléter le tableau ci-dessous à l aide de la calculatrice.. Tracer la représentation graphique de la fonction carré dans sur le quadrillage cidessous. On prendra comme unité 1 cm. 4. Dresser le tableau de variations de la fonction carré de à +.. Pour chacune des équations ci-dessous, y a- t-il une solution? plusieurs? aucune? Tracer chaque fois des traits sur le graphique. (a) x = 9 (b) x = 0 (c) x = (d) x = x 0, 0 0, 1 f(x) 11 Équations La fonction f est définie par f(x) = (x ) et sa représentation graphique est la courbe C f ci-dessous. 1. La fonction f est-elle une fonction du nd degré? Justifier en détaillant les calculs. 0. Résoudre graphiquement les équations (a) f(x) = 0 (b) f(x) = 16 (c) f(x) = 4 (d) f(x) = 6 Tracer des traits sur le graphique. 1 10. Résoudre les équations précédentes algébriquement. 1 1 Développer les expressions (1) x + 6) () (a 7) () ( x) (4) (x + 1) () (y 7) (6) (8 4t)

Chapitre 7 Fonction du second degré, algèbre, équations I EXERCICES page I-4 1 14 1. Résoudre les équations suivantes : (1) (x 7) = 9 () (x 1) = 0 () (x + 4) = (4) (x + 10, ) = 7. Résoudre l équation : 1 (x + ) = 0 Indication : justifier d abord que résoudre cette équation revient à résoudre l équation (x + ) = 9. La fonction f est définie par f(x) = (x 4)(x + ) et sa représentation graphique est la courbe C f ci-dessous. 1. La fonction f est-elle une fonction du nd degré? Justifier en détaillant les calculs.. Résoudre graphiquement et algébriquement l équation : f(x) = 0 10 0 1 4 1 Développer les expressions (1) (x + 6)(x ) () (a 4)(a 1) () ( x)( + x) (4) (x + 1)(x 7) () (6y 7)(6y + 7) (6) ( 4t)(t ) 16 Résoudre les équations : (1) (x )(x ) = 0 () (x 8)(x + 6) = 0 () x(4 + x) = 0 (4) (x + 16, )(1 + x) = 0 17 1. Développer : (a) (x ) (b) (x )(x + 4). Factoriser : (a) 6x x (b) (x + 1) 8. Résoudre : (a) (x + )(x + 7) = 0 (b) (x + 4) 7 = 0 18 La fonction f est définie par f(x) = x x et sa représentation graphique est la courbe C f ci-contre. 1. Résoudre graphiquement l équation f(x) = 0. Résoudre l équation précédente algébriquement (indication : factoriser d abord l expression x x ). 1

Chapitre 7 Fonction du second degré, algèbre, équations I EXERCICES page I- 19 La fonction f est définie par f(x) = x 14x et sa représentation graphique est la courbe C f ci-dessous. 1. Résoudre graphiquement l équation f(x) = 0. Résoudre l équation précédente algébriquement. Donner les valeurs exactes et arrondies au centième. 10 0 1 4 0 La fonction f est définie par f(x) = x + x + 7 et sa représentation graphique est la courbe ci-contre. 10 1. Résoudre graphiquement l équation f(x) = 7 1. Résoudre l équation précédente algébriquement. 1 4 6 La fonction f est définie par f(x) = 4x 1x + 1 et sa représentation graphique est la courbe ci-contre. 1. Résoudre graphiquement l équation f(x) = 1. Résoudre l équation précédente algébriquement. 1 10 0 1

Chapitre 7 Fonction du second degré, algèbre, équations I EXERCICES page I-6 Les fonctions f et g sont définies par f(x) = x + 4x + 1 g(x) = x x + et leurs représentations graphiques sont les courbes C f et C g ci-contre. 1. Résoudre graphiquement l équation f(x) = g(x). Résoudre l équation précédente algébriquement. 4 C f C g 1 Les fonctions f et g sont définies par f(x) = x + x + g(x) = 0, x x + et leurs représentations graphiques sont les courbes C f et C g ci-contre. 1. Résoudre graphiquement l équation f(x) = g(x). Résoudre l équation précédente algébriquement. 4 1 1 4 C f C g 4 1 La fonction f est définie par f(x) = x 6x + 7 sur l intervalle [0 ; 6] et sa représentation graphique est la courbe C f. 1. Tracer la courbe C f sur l écran de la calculatrice.. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l intervalle [0 ; 6].. À l aide des commandes graphe et table, déterminer au dixième près les solutions de l équation f(x) = 0. 4. Démontrer par des calculs que f(x) = (x ).. Résoudre algébriquement l équation f(x) = 0. On donnera les solutions exactes.

Chapitre 7 Fonction du second degré, algèbre, équations I EXERCICES page I-7 La fonction f est définie par f(x) = x x sur l intervalle [ ; ] et sa représentation graphique est la courbe C f. 6 7 8 9 1. Tracer la courbe C f sur l écran de la calculatrice.. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l intervalle [ ; ].. À l aide des commandes graphe et table, déterminer au dixième près les solutions de l équation f(x) =. 4. Démontrer par des calculs que f(x) = (x 1).. Résoudre algébriquement l équation f(x) =. On donnera les solutions exactes. Signe du produit de fonctions affines 1. D après la représention graphique dans l exercice 14, indiquer (a) l ensemble des solutions de l inéquation : (x 4)(x + ) 0 (b) l ensemble des solutions de l inéquation : (x 4)(x + ) 0. Nous allons étudier un nouveau procédé pour obtenir ces résultats sans avoir besoin de la représentation graphique, en complétant le tableau ci-dessous. Rappel : pour indiquer le signe de x 4 et de x + selon les valeurs de x, résoudre d abord les inéquations x 4 0 et x + 0. x + Signe de x 4 Signe de x + Signe de (x 4)(x + ) 1. Étudier le signe de (x + )(x 7) selon les valeurs de x, en dressant un tableau de signes comme dans l exercice 6.. D après ce tableau, indiquer (a) l ensemble des solutions de l inéquation : (x + )(x 7) 0 (b) l ensemble des solutions de l inéquation : (x + )(x 7) 0 1. Étudier le signe de ( x)(x + 1) selon les valeurs de x, en dressant un tableau de signes.. D après ce tableau, indiquer l ensemble des solutions de l inéquation : ( x)(x + 1) 0 1. Étudier le signe de (x + 4)(9 x) selon les valeurs de x, en dressant un tableau de signes.. D après ce tableau, indiquer l ensemble des solutions de l inéquation : (x + 4)(9 x) < 0

Chapitre 7 Fonction du second degré, algèbre, équations II COURS page II-1 II Cours 1 Fonction polynôme du second degré Objectif du programme Connaître les variations des fonctions polynômes de degré (minimum ou maximum) et la propriété de symétrie de leurs courbes. Définition Soient a, b, c trois nombres réels, tels que a 0. La fonction f définie sous la forme f(x) = ax + bx + c est appelée fonction polynôme de degré. Propriétés Variations et représentation graphique Une fonction polynôme de degré est soit décroissante, puis elle atteint un minimum, puis elle est croissante ; soit croissante, puis elle atteint un maximum, puis elle est décroissante. La représentation graphique d une fonction polynôme de degré s appelle un parabole. Cette parabole a un sommet qui correspond, selon les cas, au minimum ou au maximum de cette fonction. Cette parabole admet un axe de symétrie parallèle à l axe des ordonnées qui passe par son sommet. Exemple 1 Soit la fonction polynôme du second degré définie par : f 1 (x) = x 4x + 7 et représentée par la courbe C f. La fonction f est décroissante sur ] ; ] et croissante sur [ ; + [ Le minimum de cette fonction est et il est atteint lorsque x =. Les coordonnées du sommet A 1 sont donc ( ; ) et l axe de symétrie (d 1 ) passe par le sommet A 1. Voir la figure 1 ci-dessous. Exemple Soit la fonction polynôme du second degré définie par : f (x) = x + 6x et représentée par la courbe C g. La fonction g est décroissante sur ] ; ] et croissante sur [ ; + [ Le maximum de cette fonction est 7 et il est atteint lorsque x =. Les coordonnées du sommet A sont donc ( ; 7) et l axe de symétrie (d ) passe par le sommet A. Voir la figure ci-dessous. Figure 1 : fonction f Figure : fonction g 7 7 A 6 C f 6 4 4 1 A 1 (d 1 ) 1 (d ) C g 1 4 1 4

Chapitre 7 Fonction du second degré, algèbre, équations II COURS page II- Fonction carré Objectifs du programme Connaître les variations de la fonction carré. Représenter graphiquement la fonction carré. Définition La fonction carré est définie par f(x) = x Remarque : la fonction carré est une fonction polynôme du nd degré. Propriétés Variations et représentation graphique La foncion carré est décroissante sur l intervalle ] ; 0], est croissante sur l intervalle ]0 ; + ] ; atteint un minimum lorsque x = 0 et ce minimum est égal à zéro. La représentation graphique de la fonction carré est une parabole qui admet comme axe de symétrie l axe des ordonnées. 8 6 4 Calcul algébrique rappels de collège a Rappels de règles de calcul Propriété (distributivité) La multiplication est distributive par rapport à l addition et par rapport à la soustraction, et pour des nombres k, a, b, c, d, on a les égalités suivantes : k (a+b) = k a+k b k (a b) = k a k b (a+b) (c+d) = a c+a d+b c+b d Propriété (identités remarquables) Pour des nombres a et b on a les égalités suivantes : (a + b) = a + ab + b (a b) = a ab + b (a b)(a + b) = a b Propriété (signe plus ou moins devant des parenthèses) Si, dans une expression, il y a un signe plus devant des parenthèses, on peut enlever ce signe plus ; garder les signes de tous les termes entre parenthèses. Si, dans une expression, il y a un signe moins devant des parenthèses, on peut enlever ce signe moins ; changer les signes de tous les termes entre parenthèses. Exemples x x 8 + (6x x + 4) = x x 8 + 6x x + 4 = 10x 8x 4 7x + 4x 9 (x 6x + 8) = 7x + 4x 9 x + 6x 8 = 4x + 10x 17 Propriété (produit nul) Si un produit est nul, alors l un des facteurs (au moins) est nul. Autrement dit : si A B = 0 alors A = 0 ou B = 0 1

Chapitre 7 Fonction du second degré, algèbre, équations II COURS page II- b Développer et réduire Développer une expression signifie transformer cette expression en une somme Exemples utilisant la distribitivité (x 6) = (x 6) = x 6 = x 18 4x(x + ) = 4x (x + ) = 4x x + 4x = 4x + 0x (x + 7)(8 x) = x 8 x x + 7 8 7 x = 8x x + 6 7x = x + x + 6 Exemples utilisant une identité remarquable (x 9) = x x 9 + 9 = x 18x + 81 (7 x)(7 + x) = 7 (x) = 49 9x = 9x + 49 c Factoriser Factoriser une expression signifie transformer cette expression en un produit Exemples utilisant une mise en facteur x 7x = x x 7 x = x(x 7) (x + 1)(x ) + (x + 1)(x ) = (x + 1)[(x ) + (x )] = (x + 1)(4x ) Exemples utilisant une identité remarquable (x + ) 4 = (x + ) = ((x + ) ))((x + ) + ) = (x + )(x + 7) (x 8) (x ) = ((x 8) (x )) ((x 8) + (x )) = (x 8 x + )(x 8 + x ) On obtient finalement : (x 8) (x ) = (x )(4x 1) 4 Équations Dans tous les exemples, la lettre S représentera l ensemble des solutions. Le signe représente l ensemble vide (lorsqu il n y a pas de solution). 4a Équation x = k Si k est strictement négatif, l équation x = k n a pas de solution (dans IR). Si k = 0 l équation x = 0 n a qu une solutionn qui est zéro. Si k est strictement positif, l équation x = k a deux solutions qui sont k et k Exemples x = Il n y a pas de solution S = x = 9 x = 9 = ou x = 9 = S = { ; } x = x = ou x = S = { ; } (x ) = 0 donc x = 0 donc x = donc x = { S = } (x ) = 16 donc x = 16 ou x = 16 x = 16 x = 16 x = 4 x = 4 x = 7 x = x = 7 x = 1 { donc S = 1 } ; 7

Chapitre 7 Fonction du second degré, algèbre, équations II COURS page II-4 4b Équation-produit Exemple 1 (x 4)(x + ) = 0 x 4 = 0 ou x + = 0 x 4 = 0 = 0 x + = 0 x = 4 x = Exemple x = donc S = { } ; 4 x(4 + x) = 0 x = 0 ou 4 + x = 0 x = 0 ou x = 4 S = { 4 ; 0} 4c Autres exemples d équations Exemple 1 x x = 0 x(x ) = 0 ( ) x = 0 ou x = 0 x = 0 ou x = S = {0 ; } (*) À la deuxième ligne, on a factorisé l expression x x. Exemple x 6x + 9 = 9 x 6x = 9 9 x 6x = 0 x(x 6) = 0 x = 0 ou x 6 = 0 S = { 0 ; } 6 x = 0 ou x = 6 Exemple x + 8x 4 = x x + 6 8x 4 = x + 6 8x x = 6 + 4 x = 10 x = 10 Exemple 4 { } 10 S = (x ) = 0 (x ) = x = ou x = x = + ou x = S = { + ; }