Méthodes d Analyse multifractale pour la classification de signaux et d images Stéphane Jaffard Université Paris Est Créteil (France) Collaboration avec: Patrice Abry CNRS, Laboratoire de Physique, ENS Lyon Herwig Wendt CNRS IRIT, Toulouse Séminaire de Mathématiques Appliquées Collège de France 27 janvier 2012
Signaux et images partout irréguliers Jet turbulence Eulerian velocity signal (ChavarriaBaudetCiliberto95) 70 35 = 3.2 ms 0 0 300 temps (s) 600 900 Turbulence pleinement développée Trafic internet!&( 567!689!&"!&'!&%!&$!&#!!!&#!!&$! "!! #!!! #"!! $!!! $"!! %!!! )*+,-./01234
f752 300 600 900 1200 50 1500 100 150 200 1800 250 300 350 2100 400 450 300 600 900 1200 1500 500 100 200 300 400 500
Niveaux de gris f752 Canal rougey f752 Canal Saturation y f752 300 300 300 600 600 600 900 900 900 1200 1200 1200 1500 1500 1500 1800 1800 1800 2100 2100 2100 300 600 300 600 300 600
Niveaux de gris Canal rougey Canal Saturation y 50 100 150 200 250 300 350 400 450 50 100 150 200 250 300 350 400 450 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 100 200 300 400 500 500 100 200 300 400 500 500 100 200 300 400 500 La nature, les sciences et les arts fournissent de nombreux exemples de fonctions rugueuses
La fonction d échelle ζ f (p) (N. Kolmogorov 1941) Définition heuristique f (x + δ) f (x) p dx δ ζ f (p) quand δ 0
La fonction d échelle ζ f (p) (N. Kolmogorov 1941) Définition heuristique f (x + δ) f (x) p dx δ ζ f (p) quand δ 0 Définition utilisée en traitement du signal f (x + δ) f (x) p dx = δ ζ f (p)+o(1) quand δ 0 Autosimilarité en moyenne dans la limite des petites échelles
La fonction d échelle ζ f (p) (N. Kolmogorov 1941) Définition heuristique f (x + δ) f (x) p dx δ ζ f (p) quand δ 0 Définition utilisée en traitement du signal f (x + δ) f (x) p dx = δ ζ f (p)+o(1) quand δ 0 Autosimilarité en moyenne dans la limite des petites échelles Définition mathématique générale ( log ζ f (p) = lim inf δ 0 ) f (x + δ) f (x) p dx log( δ )
Fonction d échelle du FBM B H (x) est l unique processus gaussien centré tel que E( B H (x) B H (y) 2 ) = x y 2H Donc B H (x + δ) B H (x) δ H -10-12 -14 B H (x + δ) B H (x) p dx δ Hp -16 6 4 2 0-2 -4-6 -8 0 200 400 600 800 1000 FBM d exposant H = 1/3
Fonction d échelle du FBM B H (x) est l unique processus gaussien centré tel que E( B H (x) B H (y) 2 ) = x y 2H Donc B H (x + δ) B H (x) δ H -10-12 -14 B H (x + δ) B H (x) p dx δ Hp -16 6 4 2 0-2 -4-6 -8 0 200 400 600 800 1000 FBM d exposant H = 1/3 Fonction d échelle du FBM : p > 0, ζ f (p) = Hp
Fonction d échelle du FBM B H (x) est l unique processus gaussien centré tel que E( B H (x) B H (y) 2 ) = x y 2H Donc B H (x + δ) B H (x) δ H -10-12 -14 B H (x + δ) B H (x) p dx δ Hp -16 6 4 2 0-2 -4-6 -8 0 200 400 600 800 1000 FBM d exposant H = 1/3 Fonction d échelle du FBM : p > 0, ζ f (p) = Hp La fonction d échelle de la turbulence est strictement concave
Fonction d échelle et espaces fonctionnels Espaces de Lipschitz Soient s (0, 1), et p [1, [ f Lip(s, L p ) si f L p et si C > 0 tels que δ > 0, f (x + δ) f (x) p dx C δ sp
Fonction d échelle et espaces fonctionnels Espaces de Lipschitz Soient s (0, 1), et p [1, [ f Lip(s, L p ) si f L p et si C > 0 tels que δ > 0, f (x + δ) f (x) p dx C δ sp Si ζ f (p) < p, ζ f (p) = sup{s : f Lip(s/p, L p )}
Bases d ondelettes sur R Une base d ondelettes sur R est engendrée par une fonction ψ régulières et bien localisées telle que les 2 j/2 ψ(2 j x k), j Z, k Z forment une base orthonormée de L 2 (R) Ondelettes de Daubechies
Bases d ondelettes en dimension 2 Une base d ondelettes sur R 2 est de la forme 2 j ψ i (2 j x k), i = 1, 2, 3, j Z, k Z d où les ψ i sont trois fonctions régulières et bien localisées ψ 1 (x 1, x 2 ) = θ(x 1 )ϕ(x 2 ) ψ 1 (x 1, x 2 ) = ϕ(x 1 )θ(x 2 ) ψ 1 (x 1, x 2 ) = θ(x 1 )θ(x 2 )
Bases d ondelettes en dimension 2 Une base d ondelettes sur R 2 est de la forme 2 j ψ i (2 j x k), i = 1, 2, 3, j Z, k Z d où les ψ i sont trois fonctions régulières et bien localisées ψ 1 (x 1, x 2 ) = θ(x 1 )ϕ(x 2 ) ψ 1 (x 1, x 2 ) = ϕ(x 1 )θ(x 2 ) ψ 1 (x 1, x 2 ) = θ(x 1 )θ(x 2 ) Moments nuls si α 1 + α 2 N ψ(x 1, x 2 )x α 1 1 x α 2 2 dx 1dx 2 = 0
Notations pour les ondelettes sur R d Cubes dyadiques : Si k = (k 1,...k d ), λ = [ k1 2 j, k [ [ 1 + 1 kd 2 j 2 j, k [ d + 1 2 j
Notations pour les ondelettes sur R d Cubes dyadiques : Si k = (k 1,...k d ), λ = [ k1 2 j, k [ [ 1 + 1 kd 2 j 2 j, k [ d + 1 2 j Ondelettes : ψ λ (x) = ψ i (2 j x k)
Notations pour les ondelettes sur R d Cubes dyadiques : Si k = (k 1,...k d ), λ = [ k1 2 j, k [ [ 1 + 1 kd 2 j 2 j, k [ d + 1 2 j Ondelettes : ψ λ (x) = ψ i (2 j x k) Coefficients d ondelette : c λ = 2 dj f (x)ψ i (2 j x k)dx
Notations pour les ondelettes sur R d Cubes dyadiques : Si k = (k 1,...k d ), λ = [ k1 2 j, k [ [ 1 + 1 kd 2 j 2 j, k [ d + 1 2 j Ondelettes : ψ λ (x) = ψ i (2 j x k) Coefficients d ondelette : c λ = 2 dj f (x)ψ i (2 j x k)dx Cubes dyadiques à l échelle j : Λ j = {λ : λ = 2 j }
Notations pour les ondelettes sur R d Cubes dyadiques : Si k = (k 1,...k d ), λ = [ k1 2 j, k [ [ 1 + 1 kd 2 j 2 j, k [ d + 1 2 j Ondelettes : ψ λ (x) = ψ i (2 j x k) Coefficients d ondelette : c λ = 2 dj f (x)ψ i (2 j x k)dx Cubes dyadiques à l échelle j : Λ j = {λ : λ = 2 j } Décomposition en ondelettes de f : f (x) = c λ ψ λ (x) j λ Λ j
Calcul de coefficients d ondelette 2D
Calcul de coefficients d ondelette 2D
Calcul de coefficients d ondelette 2D
Calcul de coefficients d ondelette 2D
Calcul de coefficients d ondelette 2D
Calcul de coefficients d ondelette 2D
Calcul de coefficients d ondelette 2D
Calcul de coefficients d ondelette 2D
Autosimilarité : Cas déterministe Fonction de Weierstrass-Mandelbrot W α (x) = + 2 αj sin(2 j x) 0 < α < 1
Autosimilarité : Cas déterministe Fonction de Weierstrass-Mandelbrot W α (x) = + 2 αj sin(2 j x) 0 < α < 1 Autosimilarité exacte : W α (2x) = + 2 αj sin(2 j+1 x) = + 2 α(l 1) sin(2 l x) = 2 α W α (x) C j,k = W α (x) 2 j ψ(2 j x k)dx = 2 α C j 1,k
Autosimilarité statistique Mouvement Brownien Fractionnaire 6 4 2 0-2 -4-6 FBM d exposant H = 1/3-8 -10-12 -14-16 0 200 400 600 800 1000
Autosimilarité statistique Mouvement Brownien Fractionnaire 6 4 2 0-2 -4-6 FBM d exposant H = 1/3-8 -10-12 -14-16 0 200 400 600 800 1000 B H (ax) L = a H B H (x)
Autosimilarité statistique Mouvement Brownien Fractionnaire 6 4 2 0-2 -4-6 FBM d exposant H = 1/3-8 -10-12 -14-16 0 200 400 600 800 1000 B H (ax) L = a H B H (x) Les 2 Hj C j,k ont la même loi
Espaces fonctionnels et ondelettes Soit p 1 et s 0 ; f Lip(s, L p ) si f L p et si C > 0 tel que δ > 0, f (x + δ) f (x) p dx C δ sp
Espaces fonctionnels et ondelettes Soit p 1 et s 0 ; f Lip(s, L p ) si f L p et si C > 0 tel que δ > 0, f (x + δ) f (x) p dx C δ sp Espaces de Besov p > 0 et s R, f B s p j, 2 dj k c j,k p C 2 spj
Espaces fonctionnels et ondelettes Soit p 1 et s 0 ; f Lip(s, L p ) si f L p et si C > 0 tel que δ > 0, f (x + δ) f (x) p dx C δ sp Espaces de Besov p > 0 et s R, f B s p j, 2 dj k c j,k p C 2 spj B s+ε p Lip(s, L p ) B s ε p
Espaces fonctionnels et ondelettes Soit p 1 et s 0 ; f Lip(s, L p ) si f L p et si C > 0 tel que δ > 0, f (x + δ) f (x) p dx C δ sp Espaces de Besov p > 0 et s R, f B s p j, 2 dj k c j,k p C 2 spj B s+ε p Lip(s, L p ) B s ε p ζ f (p) = sup {s : f Lip(s/p, L p )} { } = sup s : f B s/p p
La fonction d échelle ondelettes Si S p,j = 2 dj La fonction d échelle ondelettes est p > 0 λ Λ j c λ p, ζ f (p) = lim inf j + log(s p,j ) log(2 j ).
La fonction d échelle ondelettes Si S p,j = 2 dj La fonction d échelle ondelettes est p > 0 λ Λ j c λ p, ζ f (p) = lim inf j + log(s p,j ) log(2 j ). Elle coincide avec la fonction d échelle de Kolmogorov si p 1
La fonction d échelle ondelettes Si S p,j = 2 dj La fonction d échelle ondelettes est p > 0 λ Λ j c λ p, ζ f (p) = lim inf j + log(s p,j ) log(2 j ). Elle coincide avec la fonction d échelle de Kolmogorov si p 1 Elle est définie par une régression log-log à travers les échelles
Exposant de Hölder uniforme Espaces C α : Soit α (0, 1) ; f C α (R d ) si C, x, y : f (x) f (y) x y α
Exposant de Hölder uniforme Espaces C α : Soit α (0, 1) ; f C α (R d ) si C, x, y : f (x) f (y) x y α α R, C α = B α
Exposant de Hölder uniforme Espaces C α : Soit α (0, 1) ; f C α (R d ) si C, x, y : f (x) f (y) x y α α R, C α = B α L exposant de Hölder uniforme de f est H min f = sup { } α : f C α (R d )
Exposant de Hölder uniforme Espaces C α : Soit α (0, 1) ; f C α (R d ) si C, x, y : f (x) f (y) x y α α R, C α = B α L exposant de Hölder uniforme de f est H min f = sup { } α : f C α (R d ) Calcul numérique : Soit ω j = sup c λ alors H min log(ω j ) f = lim inf λ Λ j j + log(2 j )
p-variation (d = 1) On note f a (x) = f (x a). La fonction f a une p-variation finie si C, a, h ]0, 1], f a ((n + 1)h) f a (nh) p C n
p-variation (d = 1) On note f a (x) = f (x a). La fonction f a une p-variation finie si C, a, h ]0, 1], f a ((n + 1)h) f a (nh) p C n Définition : Soient p 1 et s 0 ; f appartient à V s p si C a, h ]0, 1], h n f a ((n + 1)h) f a (nh) p C h sp
p-variation (d = 1) On note f a (x) = f (x a). La fonction f a une p-variation finie si C, a, h ]0, 1], f a ((n + 1)h) f a (nh) p C n Définition : Soient p 1 et s 0 ; f appartient à V s p si C a, h ]0, 1], h n f a ((n + 1)h) f a (nh) p C h sp Proposition : Si f appartient à V s p, alors : f est localement bornée f Lip(s, L p )
Utilisation de ζ f (p) et H min f Validation d hypothèses fonctionnelles { } ζ f (p) = sup s : p B s/p, p (p > 0)
Utilisation de ζ f (p) et H min f Validation d hypothèses fonctionnelles { } ζ f (p) = sup s : p B s/p, p (p > 0) Si ζ f (1) > 1, f BV Si ζ f (2) > 0, f L 2 Si Hf min > 0, f est continue Si Hf min < 0, f n est pas localement bornée Si Hf min < 0 ou si ζ f (p) < 1, alors la p-variation de f n est pasfinie Si ζ f (p) > 1, alors la p-variation de f est finie
Utilisation de ζ f (p) et H min f Validation d hypothèses fonctionnelles { } ζ f (p) = sup s : p B s/p, p (p > 0) Si ζ f (1) > 1, f BV Si ζ f (2) > 0, f L 2 Si Hf min > 0, f est continue Si Hf min < 0, f n est pas localement bornée Si Hf min < 0 ou si ζ f (p) < 1, alors la p-variation de f n est pasfinie Si ζ f (p) > 1, alors la p-variation de f est finie Motivations : Y. Gousseau, J.-M. Morel : Are natural images of bounded variation? (2001) Modèles à sauts et à variation quadratique finie en finance
Exposant de Hölder uniforme 567!689!&(!&"!&'!&%!&$!&#!!!&#!!&$! "!! #!!! #"!! $!!! $"!! %!!! )*+,-./01234 0.8 0.7 0.6 0.5 H min 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 5 10 15 20 25 30 35 2001 2009 Données fournies par Vivienne Investissement
Classification basée sur l exposant de Hölder uniforme Rythme cardiaque : Patient en bonne santé 1100 RR Interval! human 1000 900 RRI (ms) 800 700 600 500 0 2 4 6 8 10 12 14 Time (min) 6.5 h min LogScale!0.069575 6 wtype 0 5.5 j:[2!6] H min f = 0.06 log 2 sup [d(j,.)] 5 4.5 4 3.5 1 2 3 4 5 6 7 j
Classification basée sur l exposant de Hölder uniforme Anomalie de rythme cardiaque 1200 RR Interval! human! patient 1150 1100 1050 1000 RRI (ms) 950 900 850 800 750 700 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Time (min) 7 h min LogScale 6.5!0.5547 6 wtype 0 j:[2!6] H min f = 0.55 log 2 sup [d(j,.)] 5.5 5 4.5 4 3.5 3 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 j
8 9 ζ(2) = 0.44864 10 11 12 0 2 4 6 8 j 1 2 3 4 h min = 0.23042 5 0 2 4 6 8 j
500 1000 1500 2000 500 1000 1500 2000 3 4 5 DWT fonction de structure log 2 S(j,q=1) j 1 = 4 j 2 = 7 ζ(q=1) = 0.72218 6 7 8 9 0 2 4 6 8 j 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 DWT fonction d echelle ζ(q) ζ(q=1) = 0.72218 0.2 0 5 10 q
1 c 200 400 600 800 1000 200 400 600 800 1000 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 DWT fonction de structure log 2 S(j,q=1) j 1 = 3 j 2 = 6 ζ(q=1) = 0.53726 8 0 2 4 6 8 j 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 DWT fonction d echelle ζ(q) ζ(q=1) = 0.53726 0.2 0 5 10 q
Coefficients dominants Si λ est un cube dyadique, 3λ est le cube de même centre et trois fois plus large. Soit f une fonction bornée ; les coefficient dominant de f sont les quantités d λ = sup c λ λ 3λ... 2 j d λ = sup λ 3 λ c λ c(j, k) 2 j+1 λ 3 λ 2 j+2...
Calcul de coefficients dominants 2D Les coefficients dominants permettent d estimer l exposant de Hölder ponctuel
Spectre de Legendre Λ j désigne l ensemble des cubes dyadiques d échelle 2 j. T p,j = 2 dj λ Λ j d λ p 2 ηf (p)j
Spectre de Legendre Λ j désigne l ensemble des cubes dyadiques d échelle 2 j. T p,j = 2 dj λ Λ j d λ p 2 ηf (p)j Fonction d échelle dominante : p R, η f (p) = lim inf j + log(t p,j ) log(2 j )
Spectre de Legendre Λ j désigne l ensemble des cubes dyadiques d échelle 2 j. T p,j = 2 dj λ Λ j d λ p 2 ηf (p)j Fonction d échelle dominante : Spectre de Legendre p R, η f (p) = lim inf j + L f (H) = inf p R (d + Hp η f (p)) log(t p,j ) log(2 j ) Théorème : Soit D f (H) la dimension de Hausdorff de l ensemble des points où l exposant de Hölder de f vaut H. Si f C ε (R d ), alors D f (H) L f (H)
Régressions log-log Comportements en loi de puissance : Condition préliminaire pour le calcul de fonctions d échelle
Régressions log-log Comportements en loi de puissance : Condition préliminaire pour le calcul de fonctions d échelle!&(!&"!&' 567!689 8 10 1.0053 Q=1 LWT (q) LogScale, q=2!&% 12 wtype 0 j:[4 13]!&$ 14!&# 16!!!&# 18!!&$! "!! #!!! #"!! $!!! $"!! %!!! )*+,-./01234 20 22 0 2 4 6 8 10 12 14 j données fournies par Vivienne Investissement
Monohölderianité vs. Multifractalité 70 = 3.2 ms 35 0 0 300 temps (s) 600 900 trafic Internet
Monohölderianité vs. Multifractalité 70 = 3.2 ms 35 0 0 300 temps (s) 600 900 trafic Internet 3 2 1!(q) 0!1!2!3!5!4!3!2!1 0 1 2 3 4 5 q Fonction d échelle dominante données de http ://mawi.wide.ad.jp/mawi/
Réfutation de modèles Cascade multiplicative P(W) W W>0
Réfutation de modèles Cascade multiplicative P(W) W 11 W 12 W W>0 i=1
Réfutation de modèles Cascade multiplicative P(W) W 11 W 12 W W 21 W 22 W 23 W 24 W>0 i=2
Réfutation de modèles Cascade multiplicative P(W) W 11 W 12 W W 21 W 22 W 23 W 24 W>0 W 31 W 32 W33 W 34 W 35 W36 W 37 W 38 i=3
Réfutation de modèles Cascade multiplicative P(W) W 11 W 12 W W 21 W 22 W 23 W 24 W>0 W 31 W 32 W33 W 34 W 35 W36 W 37 W 38 i=6...
Réfutation de modèles Cascade multiplicative P(W) W 11 W 12 W W 21 W 22 W 23 W 24 W>0 W 31 W 32 W33 W 34 W 35 W36 W 37 W 38 i=10......
Processus construits à partir de cascades Une cascade est une mesure : Elle n est pas appropriée pour modéliser des signaux oscillants Si F(t) est la fonction de répartition de la mesure, on peut considérer le FBM en temps multifractal X(t) = B H (F(t)) proposé par Calvet, Fisher et Mandelbrot en modélisation financière
Réfutation de modèles (travail en collaboration avec Bruno Lashermes) Jet turbulence Eulerian velocity signal (ChavarriaBaudetCiliberto95) modèle de cascade log-normal vs. log-poisson 1 D(h) 0.5 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 h
p-oscillation Soit f une fonction localement bornée. Si A est un intervalle, l oscillation du premier ordre de f sur A est Os f (A) = sup f inf f A A
p-oscillation Soit f une fonction localement bornée. Si A est un intervalle, l oscillation du premier ordre de f sur A est Os f (A) = sup f inf f A A Définition : Soit p 1 ; f appartient à V s p si C j 2 dj λ Λ j (Os f (3λ)) p C2 spj Définition : f a une p-oscillation finie si C j 0 (Os f (3λ)) p C λ Λ j Donc, si f V d/p p, alors f a une p-oscillation finie
p-oscillation Espaces O s p : Soit f localement bornée, f O s p(r d ) si 2 dj λ Λ j d λ p C 2 spj Theorem : Soit p 1 ; alors ε > 0 C ε V s p O s p V s+ε p
p-oscillation Espaces O s p : Soit f localement bornée, f O s p(r d ) si 2 dj λ Λ j d λ p C 2 spj Theorem : Soit p 1 ; alors ε > 0 C ε V s p O s p V s+ε p Corollaire : Soit f C ε pour un ε > 0. Alors Si η f (p) > 1, f a une p-oscillation finie Si η f (p) < 1, la p-oscillation de f n est pas bornée
Taux de change USD-Euro : Juin 2003-juin 2004 1.3 EUR USD 062003 062004 5.5 EUR USD 062003 062004 1.25 6 1.2 6.5 Price h min 7 1.15 7.5 1.1 8 1.05 0 50 100 150 200 250 Time (Day) Regression log-log pour la détermination de H min f 8.5 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 Scale (Hour) 5 EUR USD 062003 062004! f (2) = 0.94763 1 EUR USD 062003 062004 10 0.8 log 2 S(j,2) 15 20 D0.6 0.4 0.2 25 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 Scale (Hour) Détermination de η f (2) 0 0 0.5 1 1.5 h Spectre de Legendre
Taux de change USD-Euro : juin 2006-juin 2007 1.4 EUR USD 062006 062007 5 EUR USD 062006 062007 1.38 1.36 6 1.34 1.32 7 Price 1.3 h min 1.28 8 1.26 1.24 9 1.22 0 50 100 150 200 250 Time (Day) Regression log-log pour la détermination de H min f 10 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 Scale (Hour) 5 EUR USD 062006 062007! f (2) = 0.94777 1 EUR USD 062006 062007 10 0.8 log 2 S(j,2) 15 20 D0.6 0.4 0.2 25 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 Scale (Hour) Détermination de η f (2) 0 0 0.5 1 1.5 h Spectre de Legendre
Taux de change USD-Euro Estimations sur une année avec décallages de 3 mois 1.5 EUR USD #+& /01!023! (2) f 1!, -!. # 0.5 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 "+&!""#!""!!""$!""%!""&!""'!""(!"")!""*!"#" ζ f (2) η f (2) (fonction d échelle ondelette) (fonction d échelle dominante)
Analyse Multifractale de peintures : Défi Van Gogh (en collaboration avec D. Rockmore) %"( $!(!+,-!$!./!!0123456 % $"( * $!"(! Van Gogh (f415) Arles -Saint Rémy!!"(!"# $ $"% $"& $"' $"# % )
Van Gogh 2.5 2!4!RGB!1!CH0!j=[3,7] 2 1.5 D 1 0.5 0 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 h
2.5 2!5!RGB!1!CH0!j=[3,7] 2 1.5 D 1 0.5 Inconnu 0 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 h
2.5 3!13!RGB!1!CH0!j=[3,7] 2 1.5 D 1 0.5 0!0.5 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 h Inconnu
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Peinture originale et copie : Charlotte Caspers
Peinture originale et copie : Charlotte Caspers 100 100 200 200 300 300 400 400 500 500 600 600 100 200 300 400 500 600 100 200 300 400 500 600 50 50 100 100 150 150 200 200 250 250 300 300 350 350 400 400 450 450 500 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 500 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
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