et dérivés M2 FDE Lin Ma lin.ma@iae.univ-lille1.fr 25 novembre 2013 Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 1 / 83
Introduction Les produits dérivés classiques Contrats forwards, contrats futures Forwards sur des marchandises Forwards sur des devises Forwards sur des actions (ou des indices boursiers) Forwards sur des taux d intérêt (FRA) Evaluation d un contrat forward SWAP SWAP entre taux fixe et flexible ( plain vanilla ) SWAP entre taux fixe et variation d un indice boursier. SWAP entre des devises étrangères Evaluation des SWAP Warrant, option Evaluation des options (modèles binomial et Black-Scholes et Merton) Simulation Monte Carlo et option pricing. Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 2 / 83
Forward et futures Présentation des produits Contrats forward : définition Un contrat forward est un engagement ferme d acheter ou de vendre un sous-jacent à une date future et à un prix et une quantité convenus. Par exemple, le 03/06/2009, le trésorier d une entreprise prend une position longue sur un contrat forward pour acheter 1 millon dans 6 mois, à un taux forward de GBP/USD 1,61. Ceci oblige l entreprise à payer $1610000 pour obtenir 1000000 le 03/12/2009. Les contrats futures partagent le même principe de fonctionnement, sauf que ces derniers sont échangés sur des marchés organisés ( exchanges ). Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 3 / 83
Forward et futures Présentation des produits Contrats forwards et futures : un point sur leur origine Japon, Osaka-Dojima en 1673 Stockage de riz Trading floor, ouverture et clôture du marché Standardisation des contrats : date, location, produits. Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 4 / 83
Forward et futures Présentation des produits Les principaux marchés organisés pour des contrats futures Chicago Board of Trade, Chicago Mercantile Exchange (CBOT-CME 2007) LIFFE (London International Financial Futures and options Exchange) Eurex (European Exchange) TIFFE (Tokyo International Financial Futures Exchange) Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 5 / 83
Forward et futures Présentation des produits Que se passe-t-il à l échéance du contrat? (a) Position longue (b) Position short Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 6 / 83
Forward et futures Présentation des produits Arbitrage avec contrat forward Supposons que le prix spot de l or est $1500 l once, son prix forward à 1 an est $1590, le taux sans risque en dollar est 5% par an. Existe-il une opportunité d arbitrage? Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 7 / 83
Forward et futures Présentation des produits Arbitrage avec contrat forward Supposons que le prix spot de l or est $1500 l once, son prix forward à 1 an est $1550, le taux sans risque en dollar est 5% par an. Existe-il une opportunité d arbitrage? Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 8 / 83
Forward et futures Présentation des produits Théorie vs réalité Le 29/04/2011, le prix spot de l or est $1535,50 l once, son prix forward à 2 mois est $1556,40, le taux sans risque en dollar est de 4, 3% par an pour les OZC à 2 mois. Possibilité d arbitrage? Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 9 / 83
Forward et futures Calcul du prix forward Le prix forward d un sous-jacent Formule : F 0,T = S 0 (1 + r + s + l) Backwardation et Contango Exemples : or ( contango ), pétrole brute ( backwardation ), blé ( Backwardation avant la récolte). Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 10 / 83
Forward et futures Calcul du prix forward Exercise An investor owns 1000 Microsoft shares currently worth $28 per share. He wants to ensure the value of this portfolio in 2 months with a forward contract, what is the minimum forward price he can accept? Risk-free rate is supposed to be 4, 3% Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 11 / 83
Forward et futures Evaluation des contrats forwards Evaluation des contrats forwards La la signature du contrat, on a : F (0, T ) = S 0 (1 + r) T (1) La valeur d un contrat forward après signature (à la date T ) est calculée par la différence entre le prix du sous-jacent au spot (S t ) et le prix forward actualisé. V t (0, T ) = S t F (0, T ) (1 + r) T t (2) Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 12 / 83
Forward et futures Evaluation des contrats forwards Exercices : évaluation des contrats forwards Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 13 / 83
Forward et futures Evaluation des contrats forwards Contrats futures Dans le cas des futures, c est le prix futur (F (0, T )) qui est négocié en permanence. Le problème d évaluation ne se pose pas. A l échéance, le prix d un contrat future est toujours égale au prix spot. Contango (or) Contango (or) Spot Spot Backwardation (pétrole) Backwardation (pétrole) No basis risk Basis risk Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 14 / 83
Forward et futures Chambre de compensation Contrat forward vs futures Points de divergence : OTC/Exchanges, standardisation des contrats Chambre de compensation, risque de contrepartie. Chambre de compensation comment cela fonctionne? marge initiale à la signature de contrat, marge de réserve : le niveau de marge minimal pour garder la position actuelle. une très bonne trader de futures : Hillary Clinton Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 15 / 83
Forward et futures Chambre de compensation Système d appel de marge : exemple A company enters into a short futures contract to sell 5000 bushels of wheat for 450 cents per bushel. The initial margin is $3000 and the maintenance margin is $2000. What price change would lead to a margin call? Under what circumstances could $1500 be withdrawn from the margin account? Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 16 / 83
Forward et futures Arbitrer avec les contrats à terme Arbitrage avec les contrats à terme Deux mécanismes possibles : 1 Strip : on prend une couverture pour chaque engagement à terme (les mêmes quantités + les même échéances) +10M +10M +10M 0 1 2 3 4 5 6 7 2 Stack : à chaque instant on prend une seule position pour tous les engagements à terme, et faire rouler cette position dans le temps. 30M 20M 10M 0 1 2 3 4 5 6 7 Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 17 / 83
Forward et futures Arbitrer avec les contrats à terme Arbitrage avec les contrats à terme Deux mécanismes possibles : 1 Strip : on prend une couverture pour chaque engagement à terme (les mêmes quantités + les même échéances) +10M +10M +10M 0 1 2 3 4 5 6 7 2 Stack : à chaque instant on prend une seule position pour tous les engagements à terme, et faire rouler cette position dans le temps. 30M 20M 10M 0 1 2 3 4 5 6 7 Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 17 / 83
Forward et futures Arbitrer avec les contrats à terme Arbitrage avec les contrats à terme Deux mécanismes possibles : 1 Strip : on prend une couverture pour chaque engagement à terme (les mêmes quantités + les même échéances) +10M +10M +10M 0 1 2 3 4 5 6 7 2 Stack : à chaque instant on prend une seule position pour tous les engagements à terme, et faire rouler cette position dans le temps. 30M 20M 10M 0 1 2 3 4 5 6 7 Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 17 / 83
Forward et futures Arbitrer avec les contrats à terme Arbitrage avec les contrats à terme Deux mécanismes possibles : 1 Strip : on prend une couverture pour chaque engagement à terme (les mêmes quantités + les même échéances) +10M +10M +10M 0 1 2 3 4 5 6 7 2 Stack : à chaque instant on prend une seule position pour tous les engagements à terme, et faire rouler cette position dans le temps. 30M 20M 10M 0 1 2 3 4 5 6 7 Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 17 / 83
Forward et futures Arbitrer avec les contrats à terme Arbitrage avec les contrats à terme Deux mécanismes possibles : 1 Strip : on prend une couverture pour chaque engagement à terme (les mêmes quantités + les même échéances) +10M +10M +10M 0 1 2 3 4 5 6 7 2 Stack : à chaque instant on prend une seule position pour tous les engagements à terme, et faire rouler cette position dans le temps. 30M 20M 10M 0 1 2 3 4 5 6 7 Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 17 / 83
Forward et futures Arbitrer avec les contrats à terme Arbitrage avec les contrats à terme Deux mécanismes possibles : 1 Strip : on prend une couverture pour chaque engagement à terme (les mêmes quantités + les même échéances) +10M +10M +10M 0 1 2 3 4 5 6 7 2 Stack : à chaque instant on prend une seule position pour tous les engagements à terme, et faire rouler cette position dans le temps. 30M 20M 10M 0 1 2 3 4 5 6 7 Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 17 / 83
Forward et futures Arbitrer avec les contrats à terme Avantage des stacks 1 Les contrats à court terme sont plus nombreux. 2 Les contrats à court terme sont plus liquides et coûtent moins chers. 3 La technique de rolling permet de spéculer la structure des taux forwards. Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 18 / 83
Forward et futures Arbitrer avec les contrats à terme Etude de cas : Metallgesellschaft (1) Arbitrage sur le prix du pétrole brut. 1. en cas de strip : Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 19 / 83
Forward et futures Arbitrer avec les contrats à terme Etude de cas : Metallgesellschaft (2) 2. en cas de stack : backwardation Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 20 / 83
Forward et futures Arbitrer avec les contrats à terme Etude de cas : Metallgesellschaft (3) 2. en cas de stack : contango Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 21 / 83
Présentation du produit Option : définition Contrat donnant à son acquéreur le droit d acheter (option d achat = call) ou de vendre (option de vente = put) : une quantité déterminée d actif sous-jacent à un cours fixé d avance (prix d exercice où strike ) pendant une période ( American options ) ou à une échéance donnée ( European options ) En échange de ce droit, l acheteur paie le vendeur en lui versant une prime. Le vendeur est alors tenu de réaliser l opération d échange si l acheteur en décide ainsi. Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 22 / 83
Présentation du produit Terminologie Selon la relation entre le prix d exercice et le prix du sous-jacent sur le marché spot : at-the-money option in-the-money option out-of-the-money option Pourquoi les options out-of-money existent? valeur intrinsèque valeur temps Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 23 / 83
Présentation du produit Valeur temps d un call Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 24 / 83
Présentation du produit Valeur temps d un call et la durée d une option Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 25 / 83
Présentation du produit Valeur temps d un call et la volatilité du sous-jacent Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 26 / 83
Présentation du produit Figure : Profil de gain des options européennes à l échéance Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 27 / 83 Profil de gain
Caractéristiques des options Les bornes de la valeur d une option Soit S t le prix du sous-jacent à la date t, T la date d expiration d une option, r le taux sans risque et K le prix d exercice de l option. Le prix d une option à la date t satisfait : Option Minimum Value Maximum Value European call max(0, S t Ke r(t t) ) S t American call max(0, S t Ke r(t t) ) S t European put max(0, Ke r(t t) S t) Ke r(t t) American put max(0, K S t) K Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 28 / 83
Caractéristiques des options Exercice What is a lower bound for the price of a 2-month European put option on a non dividend paying stock when the stock price is $58, the strike price is $65, and the risk-free interest rate is 5% per annum? Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 29 / 83
Caractéristiques des options Quelles relations à constater... Variable Call européen Put européen Call américain Put américain S 0 + - + - K - + - + T t?? + + σ + + + + r + - + - D - + - + Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 30 / 83
Caractéristiques des options Exercice : variables et le prix d une option Parmi les facteurs suivants, lequel n augmentera pas nécessairement le prix d un call européen dont le sous-jacent est une action ordinaire? A. La hausse du taux sans risque B. La hausse du prix du sous-jacent C. Le rallongement de la durée de vie de l option D. L augmentation de la volatilité du sous-jacent Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 31 / 83
Caractéristiques des options Le profil de gains d un portefeuille d options P 1 : 1 Call + actif sans risque pour un montant de Ke r(t t) Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 32 / 83
Caractéristiques des options Le profil de gain d un portefeuille d options P 2 : 1 put + 1 sous-jacent Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 33 / 83
Caractéristiques des options Parité put-call P 1 =P 2 à la date T quelque soit le prix du sous-jacent dans le future. Leur valeur à la période t doit s avérer identique, car sinon opportunité d arbitrage. Ainsi, c t + Ke r(t t) = p t + S t (3) En raison de cette parité, nous pouvons nous concentrer sur les calls pour l évaluation des options. Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 34 / 83
Caractéristiques des options Exercise The price of a non dividend paying stock is $19 and the price of a 3-month European call option on the stock with a strike price is $20 is $1. The risk-free rate is 4% per annum. What is the price of a three-month European put option with a strike price of $20? Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 35 / 83
Caractéristiques des options L impact du dividende sur la valeur d un call Quand un dividende est attendu pendant la durée de vie d une option, la valeur d un call (put) est ajustée en soustrayant (ajoutant) la valeur actuelle de la dividende. La période d actualisation est fixée selon la date d ex-dividende. Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 36 / 83
Caractéristiques des options Exemple A European call option an put option on a stock both have a strike price of $20 and an expiration date in 3 months. Both sell for $3. The risk free rate is 10% per annum, the current stock price is $19, and a $1 dividend is expected in 1 month. Identify the arbitrage opportunity open to a trader. Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 37 / 83
Stratégies d investissement avec les options Stratégie bull spread long un call avec strike = K 1, maturité=t. short un call avec strike = K 2, maturité=t. K 1 < K 2 Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 38 / 83
Stratégies d investissement avec les options Stratégie bear spread long un put avec strike = K 1, maturité=t. short un put avec strike = K 2, maturité=t. K 1 < K 2 Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 39 / 83
Stratégies d investissement avec les options Stratégie butterfly spread long un call avec strike = K 1, maturité=t. short 2 call avec strike = K 2, maturité=t. long un call avec strike = K 3, maturité=t. K 1 < K 2 < K 3 Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 40 / 83
Stratégies d investissement avec les options Stratégie calendar spread vend un call avec strike = K, maturité=t. achète un call avec strike = K, maturité=t 2, T 2 > T. Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 41 / 83
Stratégies d investissement avec les options Straddle long un call avec strike = K, maturité=t. long un put avec strike = K, maturité=t. Bearish, Bullish, Neutral Straddles. Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 42 / 83
Stratégies d investissement avec les options Strip vs. Strap Strip : long un call avec strike = K, maturité=t. long 2 put avec strike = K, maturité=t. Strap : long 2 call avec strike = K, maturité=t. long 1 put avec strike = K, maturité=t. Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 43 / 83
Stratégies d investissement avec les options Strangle ( bottom vertical combination ) Strip : long un put avec strike = K 1, maturité=t. long 1 call avec strike = K 2, maturité=t. K 1 < K 2 Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 44 / 83
Évaluation des options Evaluation des options Modèle binomial Une option call dont la date d expiration est prévue dans 3 mois, le prix d exécution est $21. Le taux sans risque est 12% Figure : Évolution du sous-jacent dans 3 mois Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 45 / 83
Évaluation des options Modèle binomial Figure : Valeur de l option selon scénario Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 46 / 83
Évaluation des options Modèle binomial (suite) Construction du portefeuille sans risque P contenant : actif sous-jacent 1 position short en call Figure : Valeur de P selon scénario Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 47 / 83
Évaluation des options Modèle binomial (suite) Pour que P soit risque neutre, il faut que sa valeur dans les deux scénarios soit identique. C-à-d, Ou = 0, 25. 22 1 = 18 P est risque neutre, alors sa rentabilité doit être le taux sans risque, sinon possibilité d arbitrage. Ou C = 0, 633. (20 0, 25 C)e 0,12 3 12 = 22 0, 25 1 Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 48 / 83
Évaluation des options Exercise A stock price is currently $40, it is known that at the end of 1 month it will be either $42 or $38. The risk-free interest rate is 8% per annum with continuous compounding. What is the value of a 1-month European call option with a strike price of $39? Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 49 / 83
Évaluation des options Où : f désigne la valeur du call à la date 0. f u désigne la valeur du call à la date T en cas de hausse. f d désigne la valeur du call à la date T en cas de baisse. u = (1+la proportion de hausse), S 0 u donne donc le prix du sous-jacent en cas de hausse. d = (1+la proportion de baisse), S 0 u donne donc le prix du Lin Ma sous-jacent (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) en cas de baisse. Options et dérivés 25 novembre 2013 50 / 83 Généralisation du modèle binomial 1 Figure : Evolution du sous-jacent
Évaluation des options Généralisation du modèle binomial 2 Considérons toujours un portefeuille P contenant sous-jacent et une position short en call. S 0 fu = S 0 d fd (S 0 f )e rt = S 0 u fu = S 0 d fd donne : f = S 0 (S 0 u fd)e rt (4) Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 51 / 83
Évaluation des options Généralisation du modèle binomial 2 En introduisant l expression de dans l équation (??) : f = [pfu + (1 p)fd]e rt (5) Où p = er t d u d Ce p (resp. 1 p) peut être interprété comme la probabilité d observer une hausse (resp. baisse). Attention! p ne dépend pas de la vraie probabilité d observer une hausse de prix du sous-jacent. Elle est le résultat d une manipulation mathématique, c est une synthetic probability. Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 52 / 83
Évaluation des options Ré-interprétation de l exemple précédent Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 53 / 83
Évaluation des options Ré-interprétation de l exemple précédent (suite) f = e 0,12 0,25 (0, 6523 1 + 0, 3477 0) = 0, 633 Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 54 / 83
Évaluation des options Modèle binomial à 2 étapes, exemple Chaque étape a une durée de 3 mois, taux sans risque r = 12%, K=$21. Comment évaluer la valeur du call à la date 0. Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 55 / 83
Évaluation des options Modèle binomial à 2 étapes, réponse à l exemple Valeur à noeud B : e 0,12 0,25 (0, 6523 3, 2 + 0, 3477 0) = 2, 0257 Valeur à noeud A : e 0,12 0,25 (0, 6523 2, 0257 + 0, 3477 0) = 1, 2823 Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 56 / 83
Évaluation des options Exercise A stock price is currently $100. Over each of the next 2 six-month periods it is expected to go up by 10% or down 10%. The risk-free interest rate is 8% with continuous compounding. What is the value of a 1-year European call option with a strike of $100? Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 57 / 83
Évaluation des options Modèle BSM C est un modèle d évaluation d option dans un contexte du temps continu. La déduction du modèle partage exactement la même logique que le modèle binomial dans le contexte du temps discret (composition du portefeuille risque neutre + le principe de non arbitrage). Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 58 / 83
Évaluation des options Quelques mots sur la déduction... Sous l hypothèse : d(s t ) = rs t dt + σs t dε t, t [0, ) C est-à-dire : d(s t ) N(r, σ). Cette équation différentielle stochastique (EDS) est utilisée par Black and Scholes (1973) pour évaluer les options. Une solution connue de cette EDS est : S t = S 0 e (r 1 2 σ2 )t+σε t C est-à-dire : ln( St S 0 ) N(r 1 2 σ2, σ). Etant donné ce processus décrivant S t, on peut évaluer des options selon le principe de non arbitrage. Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 59 / 83
Évaluation des options Modèle BSM, formule mathématique où Où C t = F (S T, t) = S t N(d 1 ) Ke r(t t) N(d 2 ) (6) P t = Ke r(t t) N( d 2 ) S t N( d 1 ) (7) d 1 = ln(s t/k) + (r + 1 2 σ2 )(T t) σ T t d 2 = d 1 σ T t N(d i ) désigne la probabilité de tirer, d une loi normale standard, une valeur inférieure à d i. σ désigne l écart-type du sous-jacent, supposé constante durant la période T t. K le strike de l option. Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 60 / 83
Évaluation des options Examen : 1 Illustrez l évolution de DJ du 01/10/1928 au 19/02/2012. (avec les dates d observation en axe X ) 2 Transformez la série de prix en rentabilités, vérifiez la distribution anormale de la série de rentabilités. (test+figures) 3 Illustrez la tendance de l action EDF pendant la période du 01/01/2010 au 19/02/2012. Comparez cette tendance avec celle du CAC40 durant la même période sur une figure. 4 Estimez la volatilité au 20/02/2012 de EDF avec un modèle Garch. 5 Une option call at the money sur EDF avec une durée de 4 mois, émise le 19/02/2012 doit valoir combien selon le modèle BSM? Le taux sans risque est à 3%. Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 61 / 83
Évaluation des options Exercise What is the price of a European put option on a non-dividend paying stock when the stock price is $69, the risk-free interest rate is 5% per annum, the volatility is 35%, the time to maturity is 6 months, and the strike is 70$? Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 62 / 83
Évaluation des options Les lettres Grecques Les dérivés partiels de la valeur d une option : 1 Delta : prix du sous-jacent 2 Gamma Γ : Delta 3 Theta Θ : temps 4 Vega ν : volatilité 5 Rho ρ : taux d intérêt Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 63 / 83
Évaluation des options Implied volatility Connaissant les prix historiques d une option, on peut déduire la volatilité du sous-jacent avec le modèle BCM, cette volatilité impliquée par le modèle BSM est souvent estimée pour vérifier la validité du modèle. Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 64 / 83
Évaluation des options Une anomalie tout de même Volatility smile Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 65 / 83
Évaluation des options TD salle informatique Avec Excel : Calcul BSM Simulation Monté Carlo Volatilité implicite Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 66 / 83
Les marchés des produits dérivés : un point sur l actualité Une comparaison entre OTC et ETD Volume de transactions : OTC environ $100 Milliards, ETD $6 Milliards. Or, différence de mesure! (position bouclée ou non) Croissance : OTC et ETD affichent tous deux des taux à double chiffres (depuis 2000). En 2003, le taux de croissance OTC dépasse celui d ETD à cause du CDS. Produits traités : les transactions ETD sont concentrées sur les indices d action ou d actions individuelles, alors que OTC traite principalement les produits des taux, notamment des SWAP des taux. Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 67 / 83
Les marchés des produits dérivés : un point sur l actualité ETD : produits échangés (données 2008) Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 68 / 83
Les marchés des produits dérivés : un point sur l actualité OTC : produits échangés (données 2008) Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 69 / 83
Les marchés des produits dérivés : un point sur l actualité Emergence des marchés asiatiques grâce aux produits stars Table : ETDs classés selon le volume de transaction en 2008 1 Kospi 200 KRX (option) 2 E-mini SP500 CME(futures) 3 DJ Euro Stoxx 50 Eurex (futures) 4 DJ Euro Stoxx 50 Eurex (option) 5 SPDR SP500 CBOE (ETF option) 6 Powershares QQQ CBOE (ETF option) 7 SP CNX Nitfy NSE india (Futures) 8 SP500 CBOE (option) Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 70 / 83
Les marchés des produits dérivés : un point sur l actualité Euro et marchés dérivés Baisse de transactions anticipée Croissance soutenue depuis le passage à l euro Première monnaie des produits dérivés sur les taux d intérêt : EUR Première monnaie des produits dérivés sur les taux de change : USD Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 71 / 83
Les marchés des produits dérivés : un point sur l actualité Produits dérivés et la crise subprime CDO (collateralized debt obligation), leader du métier : Lehman Brothers CDS (credit default swap), SPV (special purpose vehicle) Forte concentration du marché (volume d achat CDS) Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 72 / 83
Les marchés des produits dérivés : un point sur l actualité CDS spread : un indice de la crise de l euro Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 73 / 83
Contrats SWAP Mécanisme de fonctionnement SWAP définition C est un accord pour échanger des flux de trésorerie dans le futur selon des règles spécifiques définis contractuellement. Le principaux types de contrats SWAP : Taux fixe contre taux variable ( plain vanilla or interest rate swap ), Taux fixe contre variation d un indice boursier ( equity swap ), Dette dans une devise en une dette dans une autre devise ( currency swap ). Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 74 / 83
Contrats SWAP Mécanisme de fonctionnement Plain vanilla 1 échanger des cash-flows fixes contre les flexibles, 2 pas d échange de principal, 3 le taux flexible pratiqué est souvent le LIBOR observé à l échéance de paiement précédente. Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 75 / 83
Contrats SWAP Mécanisme de fonctionnement Plain vanilla (exemple) Bank A enters into a $1000000 quarterly-pay plain vanilla interest rate swap as the fixed-rate payer at a fixed rate of 6% based on a 360-day year. The floating rate payer agrees to pay 90-day LIBOR plus a 1% margin. 90-day LIBOR is currently 4%. 90-day LIBOR rates are : 4, 5% 90 days from now 5, 0% 180 days from now 5, 5% 270 days from now 6, 0% 360 days from now Calculate the amounts Bank A pays or receives 90, 270, and 360 days from now. Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 76 / 83
Contrats SWAP Mécanisme de fonctionnement Equity swap 1 le même principe que plain vanilla, 2 taux flexible référencé : la variation d un indice boursier. Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 77 / 83
Contrats SWAP Mécanisme de fonctionnement Equity swap (exemple) Ms. Smith enters into a 2-year $10 millon quarterly swap as the fixed payer and will receive the index return on the SP500. The fixed rate is 8% and the index is currently at 986. At the end of the next 3 quarters the index level is 1030, 968 and 989. Calculate the net payment for each of the next three quarters and identify the direction of the payment. Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 78 / 83
Contrats SWAP Mécanisme de fonctionnement SWAP de devise 1 convertir la devise empruntée, 2 échange de principal à la signature, 3 diminution des coûts de crédit. Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 79 / 83
Contrats SWAP Mécanisme de fonctionnement SWAP de devise : exemple BB can borrow in USA for 9%, while AA has to pay 10% to borrow in the US. AA can borrow in Australia for 7%, while BB has to pay 8% to borrow in Australia. BB will be doing business in Australia and needs AUD, while AA will be doing business in the US and needs USD. The exchange rate is USD/AUD=2. AA needs 1 millon USD and BB needs 2 millon AUD. They decide to borrow the funds locally and swap the borrowing funds, charging each other the rate the other party would have paid had they borrowed in the foreign market. The swap period is for 5 years. Calculate the cash flows for this swap. Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 80 / 83
Contrats SWAP Mécanisme de fonctionnement Rémunération des intermédiaires Le plus souvent les entreprise industrielles ne réalisent pas ce genre de transaction directement. Une institution financière fait écran. En effet, les banques sont les principaux acteurs sur le marché de SWAP. Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 81 / 83
Contrats SWAP Mécanisme de fonctionnement Rémunération des intermédiaires : exemple Company A, a British manufacturer, wished to borrow US dollars at a fixed rate of interest. Company B, a US multinational, wished to borrow sterling at a fixed rate of interest. They have been quoted the following rates per annum : Sterling US dollars A 11, 0% 7, 0% B 10, 6% 6, 2% Design a swap that will net a bank, acting as intermediary, 10 basis points per annum and that will produce a gain of 15 basis points per annum for each of the 2 companies. Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 82 / 83
Contrats SWAP Évaluation des contrats SWAP Evaluation des SWAP de taux Lin Ma (lin.ma@iae.univ-lille1.fr) Options et dérivés 25 novembre 2013 83 / 83