LIMITES DE SUITES ET DE FONCTIONS I. Définitions des ites en l infini. - Limite infinie. a) Limite de suites. Définition : On dit que la suite (U n ) tend vers + lorsque pour tout réel A, l intervalle ] A; + [ contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang. On écrit : U n = +. Interprétation graphique : pour tout nombre A, il existe un entier N, tel que pour tout n > N, la représentation graphique de la suite est au-dessus de la droite d équation y = A. U n = + équivaut à : A, N N / n N, (n > N) (Un > A). Exemple : La suite (U n ) définie par U n = n² tend vers +. Définition 2 : On dit que la suite (U n ) tend vers - lorsque la suite (-U n ) tend vers +. On écrit : U n = -. b) Limites de fonctions. Définition 3 : On dit que la fonction f définie sur un intervalle de la forme ] x 0 ; + [ tend vers + quand x tend vers + lorsque tout intervalle ]A ; + [ ( A ) contient toutes les valeurs f(x) pour x «assez grand». On écrit f(x) = +. Interprétation graphique : Pour tout nombre A, il est possible de trouver un réel a, tel que la représentation graphique de f sur l intervalle ]a ; + [ soit au dessus de la droite d équation y = A. f(x) = + équivaut à : A, a ]x 0; + [ / x ]x 0; + [, (x > a) (f (x) > A) Exemple : Les fonctions définies sur + par x x² ; x x ; x x n ( n > 0) vérifient f(x) = +. Définition 4 : On dit que f tend vers - quand x tend vers + lorsque [-f(x)] = +. On écrit f(x) = -. 2- Limite finie. a) Limite de suites. Définition 5 : On dit qu une suite (U n ) tend vers un réel λ lorsque tout intervalle ouvert contenant λ contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang. On écrit U n = λ. Remarque : Dans la définition on peut prendre un intervalle ouvert centré en λ de la forme ] λ - r ; λ + r[, avec r réel strictement positif. Interprétation graphique : Pour tout r > 0, il existe un entier N tel que pour tout n > N, la représentation graphique de la suite est comprise entre les droites d équations y = λ - r, et y = λ + r. Sophie Touzet -Limites de suites et de fonctions- Page
U n =λ équivaut à : r, N / n, (n > N) ( Un λ < r) N N. Exemple : (U n ) définie par U n = ( )n n converge vers 0. Définition 6 : Une suite admettant une ite finie est dite convergente. Dans le cas contraire, on dit que la suite est divergente. En d autres termes, une suite est divergente lorsqu elle n admet pas de ite ou si elle admet une ite infinie. b) Limites de fonctions. Définition 7 : Soit λ. On dit que la fonction f définie sur un intervalle de la forme ]x 0 ; + [ tend vers λ quand x tend vers + lorsque tout intervalle ouvert contenant λ contient toutes les valeurs f(x) pour x «assez grand». On écrit f(x) = λ. On dit alors que la courbe représentative de f admet en + une asymptote horizontale d équation y = λ. Interprétation graphique : Pour tout r > 0, il existe un réel a tel que la représentation graphique de f sur ]a ; + [ est comprise entre les droites d équations y = λ - r, et y = λ + r. f(x) = λ équivaut à : r, a ]x 0; + [ / x ]x 0; + [, (x > a) ( f (x) λ < r) Exemple: La courbe de la fonction f définie sur * par f(x) = sin(x) x d équation y =. admet pour asymptote en + la droite Remarque : Dans l exemple ci-dessus, la courbe «coupe» son asymptote un nombre infini de fois Définition 8 : f(x) peut s écrire sous la forme f(x) = mx + p + ε(x) avec a 0 et courbe représentative de f admet en + une asymptote oblique d équation y = mx + p. ε(x) = 0, on dit que la Technique : pour montrer que la droite d équation y = mx + p est asymptote oblique à la courbe de f en +, on montre que ( ) f (x) (mx + p) = 0. Remarque : On dispose de définitions analogues de ites en -, asymptotes horizontales et obliques en pour des fonctions définies sur des intervalles de la forme ] ; x 0 [. II. Théorèmes de convergence. - Théorèmes relatifs aux suites. Théorème : Soit (U n ) une suite admettant une ite, finie ou infinie. Alors cette ite est unique. Théorème 2 : Toute suite croissante non majorée tend vers +. Toute suite décroissante non minorée tend vers -. Théorème 3 : Toute suite (U n ) croissante majorée par un réel A converge vers un réel λ et n, U n λ A. Toute suite (V n ) décroissante minorée par un réel B, converge vers un réel µ, et n, B µ V n. Sophie Touzet -Limites de suites et de fonctions- Page 2
Exemple : La suite (U n ) définie par Un = + est décroissante, minorée par 0, elle converge donc vers un réel n 2 positif. Définition 9 : On dit que deux suites (U n ) et (V n ) sont adjacentes lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées : - (U n ) est croissante et (V n ) est décroissante ; 2- n + (V n - U n ) = 0. Propriété : (U n ) et (V n ) sont adjacentes, avec (U n ) est croissante et (V n ) est décroissante alors pour tout entier naturel n, U n V n. Théorème 4 : Soient (U n ) et (V n ) deux suites adjacentes telles que n, U n V n, alors ces deux suites convergent vers la même ite L et n, U n L V n. 2- Théorèmes de comparaison pour les suites et les fonctions. Théorème 5 : Théorème des gendarmes pour les suites. Soient (U n ), (V n ), (W n ) trois suites vérifiant à partir d un certain rang: U n V n W n. (U n ) et (W n ) convergent vers le même réel λ, alors la suite (V n ) est convergente et sa ite est λ. Théorème 6 : Théorème des gendarmes pour les fonctions. Soient f, g et h trois fonctions vérifiant au voisinage de + : f(x) g(x) h(x). f et h admettent la même ite λ quand x tend vers +, alors g admet λ pour ite en +. Exemple : Soit g définie sur IR * sin(x) par g(x) = ; x IR * g(x) 2 2 2 ; 2 = 2, donc x x x x + x x + x g(x) = 0. Remarque : ce théorème s adapte aux ites en -. Théorème 7 : Théorème de minoration ou de majoration. Soient f et g deux fonctions vérifiant sur un intervalle ]x 0 ; + [, f(x) g(x). f(x) = +, alors g(x) = +. g(x) = -, alors f(x) = -. f(x) = λ, et g(x) = µ, alors λ µ. Exemple : Soit f définie sur par f(x) = x + cos x. f(x) x -, donc f(x) = +. Remarque : On peut avoir x, f(x) < g(x) et Remarque : Ce théorème s adapte aux suites. f(x) = g(x), par exemple f(x) = + x, et g(x) = x. Propriété 2 : Une suite géométrique de raison q converge si et seulement si q ] -; ]. q =, elle est constante ; si q ] -; [ elle converge vers 0. Sophie Touzet -Limites de suites et de fonctions- Page 3
III. Limite d une fonction en x 0. Dans ce paragraphe x 0 désigne un nombre réel et f une fonction définie au voisinage de x 0, mais pas nécessairement en x 0 ; on note D son domaine. - Limite infinie. Définition 0 : On dit que f tend vers + quand x tend vers x 0 lorsque tout intervalle ] A ; + [ (A ) contient toutes les valeurs f(x) pour x «assez proche» de x 0. On écrit f(x) = +. On dit alors que la courbe représentative de f admet une asymptote verticale d équation x = x 0. Interprétation graphique : Pour tout nombre A, il existe un intervalle de la forme ] x 0 r ; x 0 + r [ tel que la représentation graphique de f sur cet intervalle soit au dessus de la droite d équation y = A. f(x) = + équivaut à : A, r > 0 / x D, ( x x0 < r) (f (x) > A) Exemple : f définie sur IR * par f(x) = x² vérifie f(x) = +. x 0 Définition : On dit que f tend vers quand x tend vers x 0 lorsque On écrit f(x) =. [-f(x)] = +. Remarque : Dans certains cas, suivant que l on fait tendre x vers x 0 par valeurs inférieures ou par valeurs supérieures, la ite n est pas la même. On parle alors de ite à droite ou ite à gauche en x 0. Exemple : la ite à gauche (resp. à droite) en 0 de la fonction inverse est - (resp. + ) ; on note : = x 0 x x< 0 resp. = +. x 0 x > 0 x 2- Limite finie. Définition 2 : On dit que f tend vers λ ( λ ) quand x tend vers x 0, lorsque tout intervalle ouvert contenant λ contient toutes les valeurs f(x) pour x «assez proche» de x 0. On écrit f(x) = λ. Interprétation graphique : Pour tout réel a, il existe un intervalle ] x 0 r ; x 0 + r [ tel que la représentation graphique de f sur cet intervalle soit comprise entre les droites d équations y = λ - a et y = λ + a. f(x) = λ équivaut à : a > 0, r > 0 / x D, ( x x0 < r) ( f (x) λ < a) Exemple : f définie sur IR * par f(x) = x sin vérifie f(x) =0. x x 0 Théorème 8 : Le théorème des gendarmes et le théorème de minoration ou de majoration (vus pour les ites en l infini) s adaptent aux ites en un réel. Sophie Touzet -Limites de suites et de fonctions- Page 4
IV. Limites et opérations sur les suites et les fonctions. - Opérations sur les ites. Dans ce paragraphe x 0 désigne un nombre réel, ou +, ou -. Les résultats sur les ites faisant intervenir somme, produit ou quotient de suites ou de fonctions sont «intuitifs» sauf dans cinq cas (appelés «formes indéterminées» notées FI), où l on ne peut pas conclure directement et où l on doit au cas par cas «lever l indéterminée». L ensemble des cas est rappelé dans le tableau suivant où f et g désignent des fonctions définies au voisinage de x 0. f (x) x x 0 + - L 0 0 f (x) x x 0 0 0 L FI (*) g(x) x x 0 + - L > 0 L< 0 0 - L > 0 L< 0 0 L L x x 0 ( g(x) ) f (x) + + FI + + + - - - - L + L L x x 0 ( ) f (x)g(x) + - + - FI + - + FI LL 0 Technique : la plupart du temps (mais pas toujours!), on lève l indéterminée par le biais d une factorisation. Dans le cas (*), on étudie le signe de f(x) au voisinage de x 0. f(x) est de signe constant, la ite existe et vaut + si ce signe est positif, - sinon. 2- Limite de la composée. Dans ce paragraphe, a, b, c désignent des nombres réels, ou +, ou -. a) Composée de deux fonctions. Théorème 9 : Soient f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant a, ou dont a est une borne, et g une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant b, ou dont b est une borne. f(x) = b, g(x) = c, alors x b (g f)(x) = c. Exemple: cos x =, car x = 0, et cos x =. x 0 b) Composée d une suite et d une fonction. Théorème 0 : Soient (U n ) une suite, I un intervalle ouvert contenant a, ou dont a est une borne, tel que pour tout n, U n I, et f est une fonction définie sur I. U n = a et f(x) = b, alors (f(u n )) = b. Sophie Touzet -Limites de suites et de fonctions- Page 5