COURS 6 OPTIMISATION ET DÉCISION

COURS 6 OPTIMISATION ET DÉCISION MULTICRITÈRE Master IAD DMDC PATRICE PERNY LIP6 Université Paris 6

2 / 36 PLAN 1 (PLMO) Goal programming Utilisation de normes de Tchebycheff en PLMO 2 : Exercice et mise en oeuvre (illustration sous Excel) Un cas d étude

3 / 36 Le Goal Programming Utilisation de normes de Tchebycheff en PLMO I) Le goal programming

4 / 36 Le Goal Programming Utilisation de normes de Tchebycheff en PLMO UN PROBLÈME DE MEDIA PLANNING Campagne de publicité qui cible les populations suivantes : H. rev sup (HRS) H. rev mod (HRM) F. rev sup (FRS) On envisage de diffuser la pub ds 2 types de programmes TV : Foot Melo Les impacts (millions/h) et les coûts (millions $/h) sont les suivants : HRS HRM FRS Coûts foot 7 10 5 100 mélo 3 5 4 60 Maximiser l impact pour un budget maxi de 600 millions $

5 / 36 Le Goal Programming Utilisation de normes de Tchebycheff en PLMO PREMIÈRE MODÉLISATION VARIABLES DE DÉCISION : x : tps diff foot (h) y : tps diff mélo (h) max 7 x + 3 y max 10 x + 5 y max 5 x + 4 y s.c 100 x + 60 y 600 x 0 y 0

Le Goal Programming Utilisation de normes de Tchebycheff en PLMO AUTRE APPROCHE : SPÉCIFICATION DE BUTS On cible les objectifs suivants : au moins b 1 millions de HRS au moins b 2 millions de HRM au moins b 3 millions de FRS min 100x + 60y 7x + 3y b 1 10x + 5y b 2 5x + 4y b 3 100x + 60y 600 x 0 y 0 s.c 7x + 3y b 1 10x + 5y b 2 5x + 4y b 3 x 0 y 0 Mais il n y a pas nécéssairement de solution! Ex : (3,4) si (b 1 = 30, b 2 = 50, b 3 = 30), mais pas de sol. si : (b 1 = 40, b 2 = 60, b 3 = 35) 6 / 36

7 / 36 Le Goal Programming Utilisation de normes de Tchebycheff en PLMO DEUXIÈME MODÉLISATION Si pas de sol. avec la 1ère mod. (obj. trop ambtieux) Introduction de variables d écart + pénalisations e i écart au but b i p i pénalité unitaire qd le but b i est manqué min p 1 e 1 + p 2 e 2 + p 3 e 3 7x + 3y + e 1 = b 1 10x + 5y + e 2 = b 2 5x + 4y + e 3 = b 3 100x + 60y 600 x 0 y 0 e 1 0 e 2 0 e 3 0 C est une formulation de type Goal programming.

8 / 36 Le Goal Programming Utilisation de normes de Tchebycheff en PLMO CAS GÉNÉRAL Soit x = (x 1,..., x n ) vect. var. décision Soit un critère linéaire f i (x) = n j=1 a ijx j En pratique on peut rencontrer différent types de buts : 1 Buts de type borne inf n a ij x j b i j=1 ajouter variable e i 0 contrainte n j=1 a ijx j + e i b i ajouter un terme p i e i à l objectif (p i > 0 si min)

9 / 36 Le Goal Programming Utilisation de normes de Tchebycheff en PLMO 2 Buts de type borne sup n a ij x j b i j=1 ajouter variable e i 0 contrainte n j=1 a ijx j e i b i ajouter un terme p i e i à l objectif (p i > 0 si min) 3 Buts exacts n a ij x j = b i j=1 ajouter deux variables e + i et e i 0 contrainte n j=1 a ijx j e + i + e i = b i ajouter un terme p + i e + i + p i e i à l objectif

Le Goal Programming Utilisation de normes de Tchebycheff en PLMO INTERPRÉTATION DES VARIABLES e + i ET e i Dans le cas de deux variables e + i et e i, l écart e i = e + i e i représente l écart à la contrainte. e i peut toujours s écrire comme diff. de 2 var 0 e + i = e i + e i 2 EXEMPLES : 2 = 2 0 2 = 0 2 e i = e i e i 2 si e i = 0 alors e + i = f i (x) b i écart au dessus du but si e + i = 0 alors e i = b i f i (x) écart en deça du but Objectif : Min n i=1 p+ i e + i + n i=1 p i e i 10 / 36

11 / 36 Le Goal Programming Utilisation de normes de Tchebycheff en PLMO GOAL PROGRAMMING PRÉEMPTIF Supposons que l on ait des priorités sur les objectifs : dans l exemple HRS >> HRM >> FRS On va faire une agrégation lexicographique des critères 1 on optimise le premier objectif (seul coeff non nul p 1 = 1) 2 si e 1 > 0 à l optimum STOP (solution optimale) sinon on ajoute la contrainte e 1 = 0 et on minimise le second objectif (seul coeff non nul p 2 = 1) 3 si e 2 > 0 à l optimum STOP (solution optimale) sinon on ajoute la contrainte e 2 = 0 et on minimise le troisième objectif (seul coeff non nul p 3 = 1)...

12 / 36 Le Goal Programming Utilisation de normes de Tchebycheff en PLMO APPLICATION NUMÉRIQUE 1 résolution d un PL sous Excel 2 problème du MP (modélisation monocritère) 3 problème du MP (variable d écart) tester avec p i égaux tester avec p i différentes cas lexicographique 4 problème du MP (variable d écarts décomposées)

13 / 36 Le Goal Programming Utilisation de normes de Tchebycheff en PLMO II) Utilisation de normes de Tchebycheff en PLMO

14 / 36 Le Goal Programming Utilisation de normes de Tchebycheff en PLMO PROBLÈME STANDARD (1) min c t 1 x min c t 2 x... min c t nx s.c. Ax b, x 0 A matrice (m, n), x, b R n, c i R n Ens. des alternatives : polyhèdre convexe Critères : f i (x) = c t i.x

15 / 36 Le Goal Programming Utilisation de normes de Tchebycheff en PLMO REFORMULATION DU PROBLÈME STANDARD 1 min max i=1,...,n { c t i x y 0 i y N i y 0 i } + ɛ s.c. Ax b, x 0 n i=1 ci tx y i 0 yi N yi 0 Ens. des alternatives : polyhèdre convexe Ax b Critère : Tchebycheff pondéré augmenté (non-linéaire)

16 / 36 Le Goal Programming Utilisation de normes de Tchebycheff en PLMO REFORMULATION DU PROBLÈME STANDARD 1 Introduction d une variable auxiliaire : min z s.c. z ct i x y i 0 yi N yi 0 + ɛ n i=1 Ax b, x 0 ci tx y i 0 yi N yi 0 Ens. des alternatives : polyhèdre convexe (contraintes linéaires) Critère : linéaire

17 / 36 Le Goal Programming Utilisation de normes de Tchebycheff en PLMO PROBLÈME STANDARD 2 max c t 1 x max c t 2 x... max c t nx s.c. Ax b, x 0 A matrice (m, n), x, b R n, c i R n Ens. des alternatives : polyhèdre convexe Ax b Critères : f i (x) = c t i.x

18 / 36 Le Goal Programming Utilisation de normes de Tchebycheff en PLMO REFORMULATION DU PROBLÈME STANDARD 21 min max i=1,...,n { y 0 i y 0 i ci tx } yi N + ɛ s.c. Ax b, x 0 n i=1 yi 0 yi 0 c t i x y N i Ens. des alternatives : polyhèdre convexe Ax b Critère : Tchebycheff pondéré augmenté (non-linéaire)

19 / 36 Le Goal Programming Utilisation de normes de Tchebycheff en PLMO REFORMULATION DU PROBLÈME STANDARD 2 Introduction d une variable auxiliaire : s.c. z y i 0 y 0 i min z c t i x y N i + ɛ n i=1 Ax b, x 0 yi 0 yi 0 c t i x y N i Ens. des alternatives : polyhèdre convexe (contraintes linéaires) Critère : linéaire

20 / 36 Exercice et mise en oeuvre Un cas d étude III) Mise en oeuvre

21 / 36 Exercice et mise en oeuvre Un cas d étude EXERCICE ET MISE EN OEUVRE résolution graphique d un PL multicritère (exercice) résolution d un PL multicritère sous Excel

22 / 36 Exercice et mise en oeuvre Un cas d étude EXERCICE (EXTRAIT DE L EXAMEN DMDC 2005) On considère le problème d optimisation multicritère suivant : s.c max x + y min 2y x 3x + 2y 6 x 2y 2 2x y 10 3x 10y 70 x 0, y 0 1. Représenter graphiquement le polyhèdre X des solutions réalisables dans l espace des variables (x, y) (on prendra soin de déterminer les coordonnées des sommets de X).

23 / 36 QUESTIONS 2-3 Exercice et mise en oeuvre Un cas d étude 2. Dans un premier temps, on envisage d optimiser une combinaison linéaire des deux fonctions objectifs avec les coefficients λ et 1 λ respectivement. Discuter la solution optimale en fonction de λ (on utilisera une résolution graphique). Selon vous, la solution obtenue pour λ = 0.5 est elle un bon compromis entre les critères? 3. Calculer l image de chaque sommet du polyèdre X dans l espace des critères puis représenter graphiquement l image de X dans l espace des critères et l ensemble des solutions non-dominées.

24 / 36 QUESTIONS 4-5 Exercice et mise en oeuvre Un cas d étude 4. Déterminer les coordonnées du point idéal I et du point nadir N dans l espace des critères (attention un critère est à maximiser et l autre à minimiser). 5. En vous basant sur les points I et N, déterminer (graphiquement) le meilleur compromis réalisable (au sens d une norme de Tchebycheff pondérée et augmentée) entre les critères et précisez ses coordonnées (x 0, y 0 ) dans l espace des solutions.

25 / 36 QUESTIONS 6-7 Exercice et mise en oeuvre Un cas d étude 6. Dans l hypothèse où la solution (x 0, y 0 ) ne satisferait pas le décideur sur le premier critère, montrer comment intégrer cette nouvelle information dans la recherche d une nouvelle solution et déterminer le point (x 1, y 1 ) obtenu comme nouveau meilleur compromis. 7. Dans l hypothèse où la solution (x 0, y 0 ) ne satisferait pas le décideur sur le second critère, montrer comment intégrer cette nouvelle information dans la recherche d une nouvelle solution et déterminer le point (x 2, y 2 ) obtenu comme nouveau meilleur compromis.

26 / 36 Exercice et mise en oeuvre Un cas d étude IV) Un cas d étude

27 / 36 Exercice et mise en oeuvre Un cas d étude SELECTION DE CONTREMESURES POUR LE TRAITEMENT D ALIMENTS CONTAMINÉS Etude Institut de Protection et de Sureté Nucléaire (IPSN). 3 zones area 1, area 2, area 3 3 type d aliments contaminés (Milk, Meat, Vegetables) Foodstuffs Area 1 Area 2 Area 3 Milk 6.85 31.5 145.2 Meat 350 1750 4250 Vegetables 22.5 75 150 TAB.: Contaminated quantities (in tons)

28 / 36 Exercice et mise en oeuvre Un cas d étude CONTREMESURES ÉLÉMENTAIRES Foodstuffs Countermeasures Name Description Milk None No Action Decont. Decontamination by addition of a preservative Butter Transformation to butter Meat None No Action Decont. Decontamination by treating animals feed Vegetables None No Action Destr. Destruction Preserv. Preservation until radioactive decay TAB.: Elementary countermeasures

29 / 36 Exercice et mise en oeuvre Un cas d étude EFFICACITÉ DES CONTREMESURES ÉLÉMENTAIRES (1) AREA 1 Foodstuffs Counter- Averted dose measures Infant Child Adult Milk None 0 0 0 Decont. 0 400 11 Butter 0 630 36 Meat None 0 0 0 Decont. 0.1 30 39 Vegetables None 0 0 0 Destr. 0 80 6 Preserv. 0 40 1 TAB.: Averted collective doses in Area 1 (ManSv)

30 / 36 Exercice et mise en oeuvre Un cas d étude EFFICACITÉ DES CONTREMESURES ÉLÉMENTAIRES (2) AREA 2 Foodstuffs Counter- Averted dose measures Infant Child Adult Milk None 0 0 0 Decont. 0 260 58 Butter 0 880 58 Meat None 0 0 0 Decont. 0.1 20 48 Vegetables None 0 0 0 Destr. 0 110 11 Preserv. 0 95 1 TAB.: Averted collective doses in Area 2 (ManSv)

31 / 36 Exercice et mise en oeuvre Un cas d étude EFFICACITÉ DES CONTREMESURES ÉLÉMENTAIRES (3) AREA 3 Foodstuffs Counter- Averted dose measures Infant Child Adult Milk None 0 0 0 Decont. 0 700 38 Butter 0 810 38 Meat None 0 0 0 Decont. 0 10 8 Vegetables None 0 0 0 Destr. 0 380 26 Preserv. 0 190 11 TAB.: Averted collective doses in Area 3 (ManSv)

32 / 36 Exercice et mise en oeuvre Un cas d étude SPÉCIFICITÉS DU PROBLÈME Un stratégie est une combinaison de stratégies élémentaires dans chacune des zones pour chaque type d aliment L ensemble des alternatives est continu et défini implicitement par les contraintes matérielles plusieurs critères sont à prendre en compte (coût, impact sur les différents type de population, acceptabilité des contremesures) Le modèle : PLMO

33 / 36 Exercice et mise en oeuvre Un cas d étude MODÉLISATION DU PROBLÈME Variables de décision x ijk : quantité de produit i traitée par la contremesure j dans la zone k (en tonnes). Données d ijklm : réduction de dose par unité de population l (infants, children, adults), dans la zone m, consécutive au traitement du produit i par la contremesure j dans la zone k (expressed in ManSv/t). c ijk : coût de traitement par unité de produit i traité par la contremesure j dans la zone k (Euros/t).

34 / 36 Exercice et mise en oeuvre Un cas d étude CONSTRUCTION DES CRITÈRES Min le coût de traitement global : min z 1 = X i X X c ijk x ijk Max la réduction de dose pour la population l : max z l = X i X X j k j k! X d ijklm x ijk (l = 2, 3, 4) avec l = 2 nourrissons, l = 3 enfants, l = 4 adultes. Max l acceptabilité moyenne des contremesures : Comme P i max z 5 = m P P P i j P i P j k a ijkx ijk P k x ijk P P j k x ijk est une constante on peut l oublier.

Exercice et mise en oeuvre Un cas d étude CONTRAINTES DURES constraintes de cohérence pour le produit i et la zone k, la quantité traitée ne dépasse pas la quantité totale contaminée x ijk q ik i, k j capacité totale de traitement par contremesure j x ijk p j i k constraintes de non-négativité j x ijk 0 i, j, k 35 / 36

36 / 36 Exercice et mise en oeuvre Un cas d étude CONTRAINTES SOUPLES contraintes sur les valeurs des critères : coût maximal acceptable réduction minimale de doses... contraintes sur les variables de décision : quantités minimales à traiter répartition des interventions... Mise en oeuvre avec le solveur EXCEL min s(z, z) = max r=1,...,5 {λ r ( z r z r )} ɛ 5 λ r z r r=1