Exercice de géométrie dans l espace - Corrigé Intersection d une droite et d un plan Méthode du plan auxiliaire Pour déterminer l intersection d un plan P et d une droite d qui n est pas parallèle à P : On choisit un plan qui contient d et qui coupe P On détermine la droite, intersection des plans P et Le point commun à d et est alors l intersection de d et P. est un tétraèdre, est le milieu de l arête, est un point de la face distinct des sommets et tel que ne soit pas parallèle au plan. On note l intersection de la droite avec le plan. Construire le point en détaillant les étapes. On choisit un plan qui contient et qui coupe : C est le plan. On note le point d intersection de droite. avec la La droite est la droite intersection des plans et. est le point d intersection des droites et. N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 1
Intersection de deux plans Pour déterminer l intersection de deux plans sécants P et, il suffit de trouver deux points A et B distincts, communs aux plans P et. L intersection est alors la droite (AB). est un tétraèdre, et sont des points des arêtes et tels que les droites, et ne sont pas parallèles au plan. 1) Construire la droite, intersection des plans et 2) Démontrer que les droites, et sont concourantes. 1) Construire la droite, intersection des plans et Les points et sont dans le même plan. Les droites et sont concourantes car et ne sont pas parallèles. On note leur point d intersection. Il appartient aux plans et. Les points et sont dans le même plan. Les droites et sont concourantes (car non parallèles) en un point qui appartient aux plans et. et sont deux points communs aux plans et. Donc la droite, intersection des plans et est la droite. N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 2
2) Démontrer que les droites, et sont concourantes. Les points et sont dans le même plan. Les droites et sont concourantes (car non parallèles) en un point qui appartient aux plans et. appartient donc à la droite. Le point appartient aux trois droites (FG), (CD) et qui sont donc concourantes en. Orthogonalité de droites et de plans Pour prouver que deux droites et d sont perpendiculaires dans l espace, il suffit de montrer que la droite est perpendiculaire à un plan P contenant la droite d. Pour prouver qu une droite est perpendiculaire à un plan P, il suffit de prouver qu elle est orthogonale à deux droites du plan. est un tétraèdre trirectangle, c est-à-dire que les triangles,, et sont rectangles en. On note le projeté orthogonal de sur et le projeté orthogonal de sur. 1) Montrer que la droite est une hauteur du triangle. Si est une hauteur du triangle alors est perpendiculaire à. Pour le prouver, il suffit de montrer que est perpendiculaire à un plan contenant et donc à deux droites de ce plan. On choisit le plan. est perpendiculaire aux droites et car les triangles et sont rectangles en. Donc est perpendiculaire à toute droite du plan et donc à la. De plus est perpendiculaire à. Donc est perpendiculaire aux deux droites et du plan donc à toutes les droites de ce plan et en particulier. N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 3
2) Montrer que la droite est perpendiculaire au plan. est perpendiculaire à car est le projeté orthogonal de sur. est orthogonale à car est perpendiculaire au plan donc à toute droite de ce plan et en particulier est orthogonale à et à donc au plan. Section d un solide de l espace avec un plan Pour déterminer la section d un solide de l espace avec un plan, on cherche à trouver de proche en proche des points du plan de section sur chaque arête du solide, en utilisant deux droites coplanaires sécantes dont l une est incluse dans le plan de section et l autre porte une arête d une face. Section d un cube par un plan que : est un cube, et sont les points des arêtes et tels et. Construire la section du cube par le plan. Les plans et sont parallèles. Or le plan coupe selon la droite donc aussi le plan selon une droite parallèle et passant par. Elle coupe en. Les plans et sont parallèles. Or le plan coupe le plan selon la droite donc le plan coupe le plan suivant une droite passant par et parallèle à Elle coupe (CD) en La section du cube par le plan pentagone. est le N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 4
Section d une pyramide par un plan est une pyramide dont la base un parallélogramme. est On définit les points et par et. Le point est le milieu du segment. 1) Démontrer que la section de cette pyramide par le plan parallèle au plan et passant par est un parallélogramme. Le plan coupe les plans et suivant deux droites parallèles. Donc le plan coupe l arête en selon une droite passant par et parallèle à. De même, le plan coupe les plans et suivant deux droites parallèles : et sa parallèle passant par. Elle coupe en. Enfin, le plan coupe les plans et selon une droite parallèle à et passant par. Cette droite coupe en. Le quadrilatère a ses côtés opposés deux à deux parallèles donc c est un parallélogramme. N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 5
2) Déterminer la section de la pyramide par le plan. Les droites et sont dans le même plan. Elles se coupent en qui est donc inclus dans les plans et. La droite coupe en. Le segment est donc la trace du plan sur la face SBC de la pyramide. Les droites et appartiennent au plan et sont concourantes en un point. La droite appartient aussi au plan et coupe en un point. Le segment est donc la trace du plan sur la face de la pyramide. est sur et sur. Il appartient donc à la face et au plan. coupe en. Le segment est donc la trace du plan sur la face de la pyramide et le segment est la trace du plan sur la face SCD de la pyramide. Le plan pentagone. coupe la pyramide suivant le N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 6