Oral 2 Thème : Fonctions Introduction : La notion de fonction est formellement introduite en classe de troisième à l'aide des fonctions linéaires et affines. Les élèves peuvent déterminer l'image ou l'antécédent d'une fonction définie par sa représentation graphique. Puis dès la classe de seconde, on aborde la notion d'ensemble de définition, de variation d'une fonction, d'extremums. De plus, de nouvelles fonctions sont introduites comme la fonction carré, l'inverse etc. Les élèves pourront résoudre des inéquations ou équations. En classe de première, on rencontre la notion de dérivée, de ite et le lien entre le signe de la dérivée et les variations de la fonction. Tout ceci pourra permettre la construction du tableau de variation d'une fonction. En classe de terminale, les élèves vont voir la notion de continuité et approfondiront l'étude des fonction en découvrant de nouvelle fonction comme la fonction exponentielle et logarithme. L'exercice proposé se place au niveau de la classe de première S. C'est un exercice qui permet de vérifier la véracité de plusieurs affirmations sur le thème des fonctions. L'originalité de cet exercice est de trouver des propriétés sur une fonction en ne connaissant pas son expression. Dans la question 1 nous ne connaissons pas l'expression de la fonction mais nous avons son tableau de variation. En effet, la plupart des énoncés portant sur l'étude d'une fonction nous donne la fonction et on doit trouver le tableau de variation mais ici nous devons étudiés des propriétés sur une fonction à l'aide de son tableau de variation sans connaître l'expression de cette fonction. De même dans la question 2, nous avons des propriétés sur la fonction mais nous ne la connaissons pas cela va nous donner des propriétés qui seront vrai ou fausse pour toute fonction qui vérifiera les hypothèse de l'énoncé.
Questions du jury : 1) Préciser les méthodes et les savoirs mis en œuvre pour répondre correctement aux questions posées dans l'exercice. Commentaire : Ici, j'ai détaillé les définitions et les théorèmes mais cela prend trop de temps. ( Ne pas le faire le jour J ) Méthodes Question 1 : Les deux premières questions Lire un tableau de variation. Utiliser la lecture du tableau pour avoir les ites utiles de la fonction f. ex : f (x)=2 et f (x)=2 x 1 x> 1 x Utiliser les définitions d'asymptote. ( Inutile) Savoirs Représenter les variations et les ites dans un tableau de variations : ( flèche = croissance ou décroissance de f double barre = valeur exclue etc ) Définition d'une asymptote d'équation x=k : La droite d'équation x=k est asymptote à la courbe Cf si : f (x)=± x k x < ou > k Pour la 3ème question : Utilisation du théorème des valeurs intermédiaires sur les intervalles appropriés.(inutile) Question 2 : Construire un contre-exemple. Utilisation de la définition d'une fonction strictement croissante sur [1, + [ (Inutile) Définition d'une asymptote d'équation y=k : La droite d'équation y=k est asymptote à la courbe Cf en + si : x + f (x)=k ou asymptote en si : f (x)=k x Théorème de la bijection : Soient a, b, α et β des réels ou ± Si f est une fonction continue et strictement monotone sur ]a,b[ telle que : f ( x)=β alors : x b x a f (x)=α pour tout k strictement compris entre α et β, l'équation f(x)=k admet une solution unique dans l'intervalle ]a,b[. Définition d'une fonction strictement monotone sur un intervalle I : x, y I, x<y alors si f est strictement croissante sur I : f(x) < f(y). et
2) a. Déterminer une fonction rationnelle de x, notée f 1, dont le tableau de variation lorsque x ] ;1[ soit exactement celui qui est donné dans l'exercice. On cherche une fonction rationnelle qui vérifie : x f 1 ( x)=2 et x 1 x< 1 f 1 (x)=+ On remarque d'après le théorème des valeurs intermédiaires que f 1 admet deux racines. On pose f 1 de la forme suivante : f 1 (x)= x2 + bx+ c (x 1) 2 + 1 On a de plus que : f 1 (0)= 3. D'où : c+2=-3, on en déduit : c=-5. f 1 (x)= x2 + bx 5 + 1 (x 1) 2 Nous pouvons maintenant utiliser les hypothèses sur la dérivée de f 1 : f 1 ' (0)=0 calculons f 1 ' : f 1 ' ( x)= (2x+ b)(x 1)2 2(x 1)( x 2 + bx 5) ( x 1) 4 On obtient après simplification : f 1 ' ( x)= D'où : (b+2).0+b-10=0, on obtient alors b = 10. ( b 2) x b+ 10 (x 1) 3. Conclusion : f 1 (x)= x2 + 10x 5 ( x 1) 2 + 1, x ] ;1[. En traçant sur sinequanone, on peut vérifier que les variations correspondent au tableau de variations de l'exercice. 2) b. Déterminer une fonction rationnelle de x, notée f 2, dont le tableau de variation lorsque x ]1 ;+ [ soit exactement celui qui est donné dans l'exercice. f 2 admet une racine double qui est 3 et x x> 1 1 f 1 (x)=+. On obtient alors : f 2 (x)= ( x 3)2, x ]1 ;+ [. x 1 De même, on peut vérifier que les variations de la fonction f 2 respectent les données de l'exercice. 3) Proposition des exercices :
Ce premier exercice est un exercice destiné à un élève de 3ème. C'est un problème de géométrie que l'on va pouvoir résoudre à l'aide de fonctions linéaires. Nous avons donc un paramètre x=ec, on veut déterminer ce x pour que l'aire du trapèze soit égale à l'aire du parallélogramme mais aussi trouver les valeurs de x pour que l'aire du trapèze soit plus petite que l'aire du parallélogramme. Idée possible : Faire la figure sur géogébra et ajouter une question pour faire conjecturer la réponse aux élèves : A l'aide du logiciel géogébra, conjecturer les valeurs de x pour que P=Q et Q<P. Exercice 1 : fonction affine (niveau 3ème) Soit ABCD un carré de côté 6cm. Soit x un nombre tel que 0<x<6 et soit E le point du segment [DC] tel que EC=x. F est le point tel que EBFC est un parallélogramme. 1) Exprimer en fonction de x : a. l'aire T du triangle BEC. b. l'aire P du parallélogramme EBFC c. l'aire Q du quadrilatère ABED 2) On considère les fonctions f et g définies par f: x 3x+ 36 et g : x 6x Représenter graphiquement, dans un même repère orthogonal, les fonctions f et g. (On prendra 1cm pour une unité en abscisses et 1cm pour 9unités en ordonnées.) 3) A l'aide de la question 2, déterminer graphiquement pour quelles valeurs de x: P=Q et Q<P Résolution : 1) a. T = 6. x 2 =3x b. P=2.T=6x c. Q= Aire( ABCD) Aire( BEC)=36 3x
2) f(x)=q et g(x)=p. 3) P=Q f (x)=g ( x) x [0,6] Donc d'après le graphique pour x=4 ( l'abscisse du point d'intersection de f et g qui est A ) Q< P f (x)< g ( x) x [0,6], c'est pour les x tel que Cf est en dessous de Cg, graphiquement, on trouve : x ]4,6 ]. Présentation de l'exercice 2 : Cette exercice est un exercice de modélisation qui va conduire à un problème d'optimisation destinée à des élèves de Première. Après avoir modéliser ce problème, nous obtenons une fonction rationnelle et il suffira de chercher le minimum de cette fonction. Exercice 2 : Le prix de la course ( niveau 1ère S ) Un camion doit faire un trajet de 150 km. Sa consommation de gasoil est de ( 6+ v2 ) litres par heure, où v désigne sa vitesse en km/h. 300 Le prix du gasoil est de 1,5 le litre et on paie le chauffeur 12 par heure. Quelle doit être la vitesse du camion pour que le prix de revient de la course soit minimal? Quel est alors ce prix de revient? Notons t le temps. Le total de litre consommé par le camion est : (6+ v2 300 ) t Le prix total de gasoil est donc : (6+ v2 300 ) t 1,5 La paye du chauffeur est : 12 t La vitesse est notée v : v= d donc : t= d t v =150. v Soit P le prix de revient de la course en fonction de la vitesse du camion : P(v)= (6+ v2 150 ) 300 v 1,5 + 12 150 v
D'où : P(v) = 3 4 4200+ v2 ( ) v Cherchons le minimum de la fonction P : P est dérivable sur ] 0,+ [. P'(v)= 3 4 ( v2 4200 v 2 ) Donc : Nous avons que P est décroissante sur ]0, 4200 ] et elle est croissante sur [ 4200, + infinty [. Donc le minimum de P est atteint pour v 65 km/h. Conclusion : La vitesse du camion doit être d'environ 65 km/h pour que le prix de revient de la course soit minimal. Ce prix étant de : P( 4200 ) 97. Présentation de l'exercice 3 : Cet exercice n'est pas très interressant. C'est un exercice classique de l'étude de fonction. Exercice 3 : Etude d'une fonction dont on connait l'expression et qui dépend de la fonction ln.(niveau Terminale S) Soit la fonction f définie sur ]0,+ [ par : f(x)=(x-e)(ln x 1) 1) Déterminer les ites de f en 0 et en +. 2) Déterminer la fonction dérivée de f. 3) Soit la fonction g définie sur ]0,+ [ par : g(x) = ln x e x. a. Déterminer le sens de variations de g. b. Calculer g(e) et déduire, à l'aide de a., le signe de g sur ]0 ;+ [. 4) En utilisant les résultats sur la fonction g, déterminer le sens de variations de f et dresser son tableau de variations. 5) Dans le plan muni d'un repère, on désigne par D la droite d'équation y= - x + e. Étudier la position de la courbe C représentant f par rapport à D et les tracer dans un repère.