DAEU-B Maths UGA 016-017 Correction des Exercices Géométrie plane : la méthode des coordonnées. Exercice n o 1 Soit (D) la droite d équation y = x 1. a. Les points A(1, 3) et B(4, 9) appartiennent-ils à (D)? Il suffit de remplacer les coordonnées des points dans l équation y = x 1 : Pour A : 3 = 1 1, donc A appartient à (D). Pour B : 9 4 1, donc B n appartient pas à (D). b. Tracer la droite (D) dans le plan muni d un repère (O; I; J). Nous savons déja que A appartient à (D). Pour tracer cette droite, il suffit donc de trouver un second point. Par exemple, pour x = 0 dans l équation de la droite, on obtient y = 1. Donc le point C de coordonnées (0; 1) appartient à (D). Exercice n o Pour chacune des équations de droite suivantes, déterminer (s ils existent) le coefficient directeur et l ordonnée à l origine de la droite : (a) 5x + y =, (b) x 3y = 1, (c) x + 3y = 7 5x + 3y. (a) 5x + y =. On réecrit l équation sous la forme y = 5x. La droite a donc pour coefficient directeur a = 5 et pour ordonnée à l origine b =. (b) x 3y = 1. On réecrit l équation sous la forme y = 3 x 1 3. La droite a donc pour coefficient directeur a = 3 et pour ordonnée à l origine b = 1 3. (c) x + 3y = 7 5x + 3y. On réecrit l équation sous la forme x = 1. Il s agit donc d une droite parallèle à l axe des ordonnées. -1-
DAEU-B Maths UGA 016-017 Exercice n o 3 Soit (D) la droite d équation y = x 1. Déterminer les points C(x C ; y C ) et E(x E ; y E ) de la droite (D), d abscisse x C = 0 et x E = 1 respectivement. On a déjà vu dans la correction de la seconde partie de l exercice 1 que C(0; 1) appartient à (D). Si on prend x = 1 dans l équation, on obtient y = 1. Donc le point E de coordonnées ( 1; 1) appartient à (D). Exercice n o 4 a. Déterminer une équation de la droite passant par les points A(; ) et B(4; 5). La droite (D) n est pas parallèle à l axe des ordonnées (puisque les abscisses de A et B sont différentes). Elle a donc une équation de la forme y = ax + b. On calcule a = y B y A x B x A = 5 4 = 3. La droite (D) passe par le point A(; ), d où y A = ax A + b, soit = 3 + b, ce qui donne b = 1. La droite (D) a donc pour équation y = 3 x 1. b. Déterminer le coefficient directeur de la droite passant par les points A(; 5) et B( 1; 3). Le coefficient directeur de cette droite est donné par y B y A x B x A = 3 5 1 = 3. c. Déterminer une équation de la droite (D) de coefficient directeur 3 et passant par le point A(3; ). Puisque la droite (D) a pour coefficient directeur 3, son équation est de la forme y = 3x + b. La droite (D) passe par le point A(3; ), d où y A = 3x A + b, soit = 3 3 + b, ce qui donne b = 11. La droite (D) a donc pour équation y = 3x 11. Exercice n o 5 On considère la droite d équation 3x 5y = 5 et celle d équation x + y = 1. Ces droites ont-elles un point d intersection? La première équation peut se mettre sous la forme y = 3 5x 1, tandis que la seconde peut se mettre sous la forme y = x + 1. Les deux droites ont donc des coefficents directeurs distincts ( 3 5 et 1 respectivement), et sont donc bien sécantes. Exercice n o 6 Déterminer une équation de la droite (D) parallèle à la droite (D ) d équation y = x 3 et passant par le point A(1; 5). --
DAEU-B Maths UGA 016-017 La droite (D) n est pas parallèle à l axe des ordonnées (car (D ) ne l est pas), et a donc une équation de la forme y = ax + b. Puisque (D) est parallèle à (D ), son coefficient directeur est égal à celui de (D ), soit : a =. Le point A(1; 5) appartient à la droite (D), d où : y A = ax A + b, soit 5 = 1 + b, ce qui nous donne b = 3. la droite (D) a donc pour équation y = x + 3. Exercice n o 7 Représenter graphiquement les droites d équation (D 1 ) : y = x + 1, (D ) : y =, (D 3 ) : y = 3x, (D 4 ) : x = 1, (D 5 ) : y = 3 4 x 3. Exercice n o 8 Soit D 1 la droite d équation y = 3x 1, D la droite d équation y = et D 3 celle d équation y = 5x +. a. Montrer que ces droites se coupent deux à deux. Les droites D 1, D et D 3 ont pour coefficient directeur 3, 0 et 5 respectivement. Ces trois nombres étant différents deux à deux, on en déduit que les droites se coupent deux à deux. -3-
DAEU-B Maths UGA 016-017 b. Tracer ces droites. c. Déterminer les coordonnées des sommets du triangle ainsi formé. Correction : Soit C le point d intersection de D 1 et D : ses coordonnées vérifient le système 3x y = 1 (L 1 ) linéaire. En remplaçant y = dans (L 1 ), on trouve x = 1. Les coordonnées de C sont donc (1; ). y = (L ) Soit B le point d intersection de D et D 3 : ses coordonnées verifient le système linéaire y = (L 1 ). En remplaçant y = dans (L ), on trouve x = 0. Les coordonnées de B sont donc (0; ). 5x + y = (L ) Soit A le point d intersection de D 1 et D : ses coordonnées verifient le système linéaire 3x y = 1 (L 1 ) (S) : 5x + y = (L ) La deuxième ligne est équivalente à y = 5x. En substituant dans la première ligne, on obtient 3x + 5x = 1 (S) y = 5x Ce qui donne : x = 3 8 (S) y = 1 8 Les coordonnées de A sont donc ( 1 8 ; 3 8 ). Exercice n o 9 Déterminer l équation du cercle (C) de centre A(1; ) et de rayon 3. Déterminer l intersection de ce cercle avec la droite (D) d équation y = x + 1. -4-
DAEU-B Maths UGA 016-017 Le cercle (C) de centre A(1; ) et de rayon 3 est l ensemble des points M(x, y) qui sont situés à distance 3 de A, donc son équation est : (x 1) + (y ) = 3 Soit M(x, y) un point quelconque. Alors M (C) (D) M (C) et M (D) (x 1) + (y ) = 3 (S) (x 1) + (x + 1 ) = 3 (x 1) + (x 1) = (x 1) = 3 (S (x 1) = 3 ) Résolvons le système (S ) : Si (x, y) vérifie (S ), alors on a x 1 = 1er cas : Si x 1 = 3 = 3, alors x = 1 + 3, donc y = x + 1 = + 3. 3 ou x 1 = 3. 3 eme cas : Si x 1 = = 3, alors x = 1 3, donc y = x + 1 = 3. Réciproquement, on vérifie facilement que (1 + 3, + 3 ) et (1 3, 3 ) vérifient (S ). Conclusion : L intersection de (C) et de (D) est formée de deux points distincts I 1 (1 + 3, + 3 ) et I (1 3, 3 ). Exercice n o 10 Soit A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) deux points du plan. Déterminer les coordonnées du point C(x C ; y C ), symétrique de B par rapport à A. Le point C est caractérisé par le fait que A est le milieu du segment [BC]. On a donc : x A = x B+x C On trouve donc : y A = y B+y C x C = x A x B y C = y A y B -5-