Résumé de Math Sup : Matrices

Résumé de Math Sup : Matrices I - Opérations dans M n,p (K) Une matrice à n lignes et p colonnes (n et p entiers naturels non nuls) est une application de 1, n 1, p dans K qui à un couple d indices (i, j) associe un élément de K noté a i,j Une matrice se note A = (a i,j ) 1 i n, 1 j p 1) Structure de K-espace vectoriel de M n,p (K) Addition de deux matrices (a i,j ) 1 i n, 1 j p + (b i,j ) 1 i n, 1 j p = (a i,j + b i,j ) 1 i n, 1 j p Multiplication par un scalaire λ(a i,j ) 1 i n, 1 j p = (λa i,j ) 1 i n, 1 j p Muni de ces deux lois, M n,p (K) est un K-espace vectoriel de dimension np et en particulier M n (K) est un K-espace vectoriel de dimension n La base canonique de M n,p (K) est la famille des matrices élémentaires (E i,j ) 1 i n, 1 j p où E i,j est la matrice dont le coefficient ligne k, colonne l vaut 1 si (k, l) = (i, j) et 0 sinon Une écriture abrégée de son terme général est δ k,i δ l,j ) Produit de deux matrices Soient A = (a i,j ) 1 i n, 1 j p M n,p (K) et B = (b i,j ) 1 i p, 1 j q M p,q (K) Le produit AB est la matrice de format (n, q) dont le terme général ligne i, colonne j, (i, j) 1, n 1, q, est c i,j = p a i,k b k,j Dans le cas des matrices non carrées, ce produit n est pas une loi interne Il est «associatif», non «commutatif» en général et «distributif sur l addition» Théorème (M n (K), +, ) est un anneau, non commutatif pour n L ensemble des matrices inversibles pour est noté GL n (K) (GL n (K), ) est un groupe, non commutatif pour n Dangers principaux : On peut avoir AB = 0 sans que ni A, ni B ne soient nuls : AB A = 0 ou B = 0 Plus généralement, l égalité AB = AC n entraîne pas en général B = C mais si A est carrée et inversible, A est simplifiable AB = 0 BA = 0 Les identités (A+B) = A +AB+B et plus généralement le binôme de Newton, et aussi A B = (A B)(A+B) ne sont vraies que si A et B commutent La somme de matrices inversibles n est en général pas inversible Théorème Soit A M n (K) Les propriétés suivantes sont équivalentes : 1) A est inversible ) deta 0 3) A est inversible à gauche 4)A est inversible à droite 5) A est simplifiable à gauche 6) A est simplifiable à droite 7) rga = n 8) KerA = {0} 9) ImA = M n,1 (K) 10) Pour tout vecteur colonne B, le système AX = B admet une unique solution où X est un vecteur colonne inconnu (KerA est l ensemble des vecteurs colonnes X tels que AX = 0 et ImA est l ensemble des vecteurs colonnes de la forme AX où X est un vecteur colonne quelconque) Remarque AB = 0 BA = 0 mais AB = I n BA = I n Produit de deux matrices élémentaires Soient E i,j une matrice élémentaire de format (n, p) et E k,l de format (p, q) alors E i,j E k,l = δ j,k E i,l Demonstration Le coeffient ligne u, colonne v de ce produit vaut p p w=1 δ u,i δ w,j δ w,k δ v,l = δ u,i δ v,l qui est le coefficient ligne u, colonne v de la matrice δ j,k E i,l w=1 δ w,j δ w,k = δ j,k δ u,i δ v,l 3) Transposition Soit A = (a i,j ) 1 i,j n une matrice de format (n, p) La transposée de A notée t A est la matrice de format (p, n) dont le coefficient ligne i, colonne j, vaut a j,i Théorème t ( t A) = A, t (A + B) = t A + t B, t (λa) = λ t A La transpositon est un isomorphisme de l espace vectoriel (M n,p (K), +, ) sur l espace vectoriel (M p,n (K), +, ) c Jean-Louis Rouget, 009 Tous droits réservés 1 http ://wwwmaths-francefr

Théorème t (AB) = t B t A Si de plus A est carrée, A est inversible si et seulement si t A l est et dans ce cas, ( t A) 1 = t (A 1 ) Les matrices carrées A telles que t A = A sont les matrices symétriques Leur ensemble est noté S n (K) C est un sous-espace vectoriel de M n (K) Les matrices A telles que t A = A sont les matrices antisymétriques Leur ensemble est noté A n (K) C est un sous-espace vectoriel de M n (K) Théorème M n (K) = S n (K) A n (K) dims n (K) = n(n + 1) et dima n (K) = n(n 1) Demonstration L endomorphisme t de M n (K) qui à une matrice associe sa transposée est involutif et est donc une symétrie On sait alors que M n (K) = Ker(t Id) Ker(t + Id) = S n (K) A n (K) (La décomposition d une matrice M est alors : M = 1 (M + t M) + 1 (M t M)) Une base de S n (K) est (E i,i ) 1 i n (E i,j + E j,i ) 1 i<j n et donc dims n (K) = n + II -Matrice d une famille de vecteurs dans une base n(n 1) = n(n + 1) Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et B = (e i ) 1 i n une base donnée de E Soit (x j ) 1 j p une famille de p vecteurs de E La matrice de la famille (x j ) 1 j p dans la base B, notée Mat B (x j ) 1 j p, est la matrice de format (n, p) dont le coefficient ligne i, colonne j, vaut la i-ème coordonnée de x j dans B (la j-ème colonne est x j ) III - Matrice d une application linéaire 1) Définition Soient E et F des espaces de dimensions respectives n et p et f un élément de L (E, F) Soient B = (e j ) 1 j n une base de E et B = (e i ) 1 i p une base de F La matrice de f relativement aux bases B et B, notée Mat B,B f, est la matrice de la famille (f(e j ) 1 j n dans la base B Cette matrice est de de format (p, n) Le coefficient ligne i, colonne j, de cette matrice est la i-ème coordonnée dans B de f(e j ) Deux bases B et B de E et F respectivement étant fixées, l application qui à f L (E, F) associe sa matrice relativement à ces bases est un isomorphisme d espaces vectoriels de L (E, F) vers M p,n (K) (une application linéaire est entièrement déterminée par sa matrice car entièrement déterminée par l image d une base) et en particulier Mat(f+g) = Matf+Matg et Mat(λf) = λmat(f) ) Ecriture matricielle d une application linéaire On conserve les notations de 1) Soient x un vecteur de E puis y = f(x) Soit X M n,1 (K) le vecteur colonne dont les composantes sont les coordonnées du vecteur x dans la base B Soit Y M p,1 (K) le vecteur colonne dont les composantes sont les coordonnées du vecteur y dans la base B Soit A M p,n (K) la matrice de f relativement aux bases B et B Alors Demonstration f(x) = x j f(e j ) = bien le coefficient ligne i de AX Y = AX ( p ) p x j a i,j e i = a i,j x j e i et pour i 1, p, y i = Une conséquence important est : Théorème Mat(g f) = Mat(g) Mat(f) a i,j x j qui est 3) Ecriture matricielle d une application affine Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions finies Soit f une application affine de E vers F dont la partie linéaire est notée L(f) Soit R = (O, B) (resp R = (O, B )) un repère de E (resp de F) Soient M un point de E et M = f(m) Soit A la matrice de L(f) relativement aux bases B et B Soit B le vecteur colonne dont les composantes sont les coordonnées de f(o) dans le repère R Soit X (resp Y) le vecteur colonne dont les composantes sont les coordonnées de M (resp M ) dans R (resp R ) alors Y = AX + B c Jean-Louis Rouget, 009 Tous droits réservés http ://wwwmaths-francefr

IV - Changement de bases 1) Matrice de passage Soient B et B deux bases d un espace vectoriel E de dimension n La matrice de passage de B à B notée P B B ou aussi P B B ou P B,B, est la matrice de B dans B On montre facilement les formules P B B PB B = PB B et en particulier PB B PB B = I n Donc toute matrice de passage est inversible et (P B B ) 1 = PB B et réciproquement, toute matrice inversible peut être interprétée comme une matrice de passage ) Changement de coordonnées a) Changement de base Soient B et B deux bases de E et soit P la matrice de passage de B à B Soient x un vecteur de E puis X (resp X ) le vecteur colonne dont les composantes sont les coordonnées de x dans B (resp dans B ) alors Démonstration x = n x j e j = le coefficient ligne i de PX x j ( n ) p i,j e i = X = PX p i,j x j e i et pour i 1, n, x i = i p i,j x j qui est bien b) Changement de repère Soient R = (O, B) et R = (O, B ) deux repères d un espace de dimension finie E Soient M un point de E puis X (resp X ) le vecteur colonne dont les composantes sont les coordonnées de M dans R (resp dans R ) alors X = PX + Q où P est la matrice de passage de B à B et Q le vecteur colonne dont les composantes sont les coordonnées de O dans R 3) Changement de bases et applications linéaires a) Cas général Soient E un espace de dimension n muni de deux bases b et b et P la matrice de passage de b à b Soient F un espace de dimension p muni de deux bases β et β et Q la matrice de passage de β à β Soit f une application linéaire de E dans F Soit A (resp B) la matrice de f relativement aux bases b et β (resp b et β ) Alors B = Q 1 AP Démonstration Lemme Soient M et N deux matrices de format (n, p) telles que pour tout vecteur colonne X M p,1 (K), on a MX = NX, alors M = N En effet, si f et g sont les applications linéaires de K p dans K n de matrices respectives M et N relativement aux bases canoniques de K p et K n, alors pour tout x de K p, f(x) = g(x) et donc f = g puis M = N Y = AX donc QY = APX Donc BX = Y = (Q 1 AP)X et ceci pour tout vecteur colonne X b) Cas particulier d un endomorphisme Soient E un espace de dimension n muni de deux bases b et b et P la matrice de passage de b à b Soit f un endomorphisme de E de matrice A dans b et B dans b Alors B = P 1 AP 4) Matrices équivalentes, matrices semblables Définition Soient A et B deux matrices rectangulaires (éventuellement carrées) de format (n, p) A et B sont équivalentes si et seulement si il existe P matrice carrée inversible de format n et Q matrice carrée inversible de format p telles que B = QAP Deux matrices A et B sont équivalentes si et seulement si elles sont les matrices d une même application linéaire relativement à deux couples de bases comme décrit en 3) Deux matrices équivalentes ont même rang Définition Soient A et B deux matrices carrées de format n A et B sont semblables si et seulement si il existe P matrice carrée inversible de format n telle que B = P 1 AP Deux matrices A et B sont semblables si et seulement si elles sont les matrices d un même endomorphisme relativement à deux bases comme décrit en 3) Deux matrices semblables sont équivalentes mais la réciproque est fausse en général ne serait-ce que parce que deux matrices équivalentes ne sont pas nécessairement carrées Deux matrices semblables ont même rang, même trace, même déterminant, mêmes propriétés de calculs c Jean-Louis Rouget, 009 Tous droits réservés 3 http ://wwwmaths-francefr

V - Rang d une matrice Soit A = (a i,j ) 1 i n, 1 j p une matrice de format (n, p) Les lignes de A seront notées L 1,, L n et les colonnes de A seront notées C 1,, C p 1) Définitions et premières propriétés Définition Le rang de A est la dimension du sous-espace de M n,1 (K) engendré par la famille des vecteurs colonnes de A Exemple (écriture générale des matrices de rang 1) Soit A une matrice de format (n, p) et de rang 1 Ses colonnes sont dans la droite engendrée par une certaine colonne non nulle U = (u i ) 1 i n Plus précisément, pour j 1, p, C j s écrit v j U où les v j ne sont pas tous nuls Si on pose V = (v j ) 1 j p, alors A = U t V = (u i v j ) 1 i n, 1 j p où U et V sont non nuls Réciproquement, une telle matrice est bien de rang 1 Théorème rga Min{n, p} Théorème Soit F une famille de p vecteurs d un espace E de dimension n telle que A soit la matrice de F dans une certaine base de E alors rga = rgf Théorème Soient E et F deux K-espaces vectoriels Soient B une base de E et B une base de F Soit f une application linéaire de E vers F de matrice A relativement aux bases B et B alors rga = rgf Théorème Une matrice carrée de format n est inversible si et seulement si son rang est n Théorème rg(ab) Min{rgA, rgb} et rg(a + B) rga + rgb Théorème Soit A une matrice de format (n, p) Soit P une matrice carrée inversible de format n et Q une matrice carrée inversible de format p alors rg(pa) = rga et rg(aq) = rga Démonstration rg(pa) rga puis rga = rg(p 1 PA) rgpa ) Opérations élémentaires On utilise les trois opérations élémentaires sur les colonnes ou sur les lignes suivantes : 1) Echange de deux colonnes (respde deux lignes) Codage : C i C j (resp L i L j ) avec i j ) Multiplication d une colonne (resp d une ligne) par λ scalaire non nul Codage : C j λc j (resp L i λl i ) 3) Ajout de la colonne (respligne) j à la colonne (respligne) i avec i j Codage : C i C i + C j (resp L i L i + L j ) On peut ajouter à ces opérations élémentaires deux opérations moins élémentaires obtenues en combinant les transformations précédentes 1) permutation des colonnes (resp des lignes) ) ajout à une colonne (resp ligne) d une combinaison linéaire des autres colonnes (resp lignes)) 3) Interprétation des opérations élémentaires en terme de calcul matriciel a) Produit d une matrice par une matrice élémentaire On considère A = (a k,l ) 1 k n, 1 l p une matrice rectangulaire de format (n, p) Calculons le produit de A par une matrice élémentaire E i,j ayant un format adapté c est-à-dire : AE i,j = 1 k n, 1 l p j-ème colonne a k,l E k,l E i,j = 1 k n, 1 l p δ l,i a k,l E k,j = a k,i E k,j 0 0 a 1,i 0 0 AE i,j = (la i-ème colonne de A se retrouve en j-ème position) 0 0 a n,i 0 0 0 0 p 0 0 De même, AE i,j = a k,i E k,j = a 1,j a p,j i-ème ligne (la j-ème ligne de A se retrouve en i-ème 0 0 0 0 position) b) Echange de deux colonnes (ou de deux lignes) : C i C j Soient i et j deux indices distincts puis P i,j la matrice carrée de format p (resp n) définie par P i,j = I p E i,i E j,j + E i,j + E j,i (resp I n ) c Jean-Louis Rouget, 009 Tous droits réservés 4 http ://wwwmaths-francefr

D après le calcul préliminaire, il est clair que AP i,j se déduit de la matrice A par échange des colonnes i et j et que P i,j A se déduit de A par échange des lignes i et j Théorème P i,j est inversible c) Multiplication d une colonne (ou d une ligne) par un scalaire λ non nul : C j λc j Soient j 1, p puis λ un scalaire non nul Soit Λ j (λ) la matrice carrée de format p définie par Λ j (λ) = I p + (λ 1)E j,j D après le calcul préliminaire, il est clair que AΛ j (λ) se déduit de A par multiplication par λ de la colonne j Résultat analogue pour les lignes Théorème Si λ 0, Λ j (λ) est inversible d) Ajout d une colonne à une autre colonne (d une ligne à une autre ligne) : C i C i + C j Soient i et j deux éléments de 1, p (resp 1, n ) distincts Soit Λ i,j = I p + E j,i (respi n + E i,j ) D après le calcul préliminaire, il est clair que AΛ j,i se déduit de A en ajoutant C j à C i et que Λ i,j A se déduit de A en ajoutant L j à L i Théorème Λ i,j est inversible Remarque On peut étoffer les opérations élémentaires avec Λ i,j (λ) = I p + λe j,i qui rajoutera λ fois une colonne à une autre 4) Opérations élémentaires et rang Théorème Les opérations élémentaires ne modifient pas le rang Démonstration La multiplication à gauche ou à droite par une matrice inversible ne modifie pas le rang de cette matrice 5) Méthode du pivot de Gauss Lemme du pivot de Gauss Soit A une matrice de format (n, p) dont la première ligne est non nulle A peut être transformée par opérations élémentaires en une matrice A 1 de même format de la forme : ( ) 1 0 A 1 = A 1 où rga 1 = rga (ou encore rga 1 = rga 1) Démonstration Si a 1,1 = 0, il existe j > 1 tel que a 1,j soit non nul On échange alors la colonne C j et la colonne C 1 pour obtenir une matrice de même rang que A et dont le premier coefficient est non nul Puis par division de la première colonne de cette matrice par ce coefficient non nul, on obtient une matrice de même rang que A dont le coefficient ligne 1, colonne 1, est égal à 1 Il reste enfin à remplacer chaque colonne C j d indice j > 1 et de premier coefficient a 1,j par C j a 1,j C 1 pour parvenir à la forme voulue sans avoir modifié le rang de A Détermination du rang de A par la méthode du pivot de Gauss Si A est nulle, rga = 0 Sinon, quite à échanger deux lignes de A ce qui ne modifie pas son rang, ( on se ) ramène à une 1 0 matrice dont la première ligne est non nulle et A a même rang qu une matrice de la forme A = A 1 Le rang de A est 1 + rga 1 car la première colonne de A et les p 1 dernières engendrent des sous espaces supplémentaires 1 0 0 En réitérant, A a même rang qu une matrice de la forme 1 0 Le rang de A est le nombre de 0 0 colonnes non nulles de cette dernière matrice 6) Rang et matrices équivalentes Théorème Soit A une matrice de format (n, p) et de rang r non nul A est équivalente à la matrice J r de format (n, p) définie par blocs : ( ) Ir 0 J r = où I 0 0 r est la matrice identité de format r Réciproquement, une matrice équivalente à J r est de rang r c Jean-Louis Rouget, 009 Tous droits réservés 5 http ://wwwmaths-francefr

Démonstration 1 Dans la démonstration précédente, on a multiplié A à droite par des matrices inversibles dont le 1 0 0 produit est noté V pour obtenir AV = 1 0 0 0 De la même façon, on( peut encore ) multiplier à gauche cette dernière matrice par un produit de matrices inversibles noté U Ir 0 pour obtenir UAV = = J 0 0 r ou encore A = U 1 J r V 1 ce qui montre que toute matrice de rang r est équivalente à la matrice J r Démonstration Soit A une matrice de format (n, p) et de rang r non nul Soit f l application linéaire de K p dans K n de matrice A relativement aux bases canoniques de K p et K n D après le théorème du rang, dim(kerf) = p r Soit B 0 = (e i ) r+1 i p une base de Kerf si r < p ou B 0 = si r = p B 0 est une famille libre de K p que l on peut compléter en B = (e i ) 1 i p base de K p On sait que la restriction de f à Vect(e i ) 1 i r est un isomorphisme de textvect(e i ) 1 i r sur Imf Par suite, si on pose i 1, r, e i = f(e i), la famille (e i ) 1 i r est une base de Imf que l on peut compléter en une base B = (e i ) 1 i n de K n La matrice de f relativement aux bases B et B est la matrice J r ce qui montre encore une fois que A est équivalente à J r Théorème Deux matrices de même format sont équivalentes si et seulement si ces deux matrices ont même rang Théorème rga = rg( t A) VI - Matrices de permutations 1) Définition Soit σ une permutation de 1, n La matrice P σ = (δ i,σ(j) ) 1 i,j n est la matrice (de permutation) associée à σ Le coefficient ligne i, colonne jde P σ vaut 1 sii = σ(j) et 0 sinon 0 0 0 1 Exemple Si σ = (413) alors P σ = 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 ) Propriétés Théorème (σ, σ ) (S n ), P σ P σ = P σ σ Démonstration Le coefficient ligne i, colonne j de P σ P σ vaut δ i,σ(k) δ k,σ (j) = δ i,σ(σ (j)) qui est bien le coefficent ligne i, colonne j, de P σ σ Théorème σ S n, P σ GL n (C) et (P σ ) 1 = P σ 1 Théorème Soit G = {P σ, σ S n } (G, ) est un sous-groupe de (GL n (C), ) isomorphe à (S n, ) Théorème σ S n, det(p σ ) = ε(σ) (signature) Démonstration det(p σ ) = σ S n ε(σ )p σ (1),1p σ (n),n = (car δ σ (1),σ(1)δ σ (n),σ(n) = 1 k 1, n, σ(k) = σ (k) σ = σ σ S n δ σ (1),σ(1)δ σ (n),σ(n) = ε(σ), 3) Produit d une matrice par une matrice de permutation Soit A = (a i,j ) 1 i n, 1 j p une matrice de format (p, n) et P σ la matrice associée à σ permutation donnée de 1, n (resp L σ 1 (1) 1, p ) Alors AP σ = (C σ(1),, C σ(n) ) (resp P σ A = ) L σ 1 (n) Démonstration Le coefficent ligne i, colonne j de AP σ vaut a σ 1 (i),j a i,k δ k,σ(j) = a i,σ(j) et le coefficient de P σ = p δ iσ(k) a k,j = c Jean-Louis Rouget, 009 Tous droits réservés 6 http ://wwwmaths-francefr

VII - Trace d une matrice carrée et trace d un endomorphisme 1) Définition Soit A = (a i,j ) 1 i,j n une matrice carrée La trace de A est le nombre a i,i ) Propriétés Théorème La trace est une forme linéaire sur M n (K) : (λ, µ) K, (A, B) (M n (K)), Tr(λA+µB) = λtra+µtrb Théorème A M n (K, Tr( t A) = TrA Théorème (A, B) (M n (K)), Tr(AB) = Tr(BA) ( n ) Démonstration Tr(AB) = a i,j b j,i = b j,i a i,j = Tr(BA) Théorème Deux matrices semblables ont même trace Démonstration Tr(P 1 AP) = Tr(APP 1 ) = TrA Danger Tr(ABC) = Tr(CAB) = Tr(BCA) Tr(ACB) en général Par exemple, Tr(E 1,1 E 1, E,1 ) = Tr(E 1,1 ) = 1 et Tr(E 1,1 E,1 E 1, ) = Tr(0) = 0 3) Trace d un endomorphisme La trace d un endomorphisme f d un espace E de dimension n est la trace de sa matrice dans une base donnée de E (ne dépend pas du choix de la base puisque deux matrices semblables ont mêmes traces) VIII - Calculs par blocs 1) Combinaisons linéaires On découpe une matrice A = (a k,l ) 1 k n, 1 l p de format (n, p) en blocs (ou cellules) A i,j de format (n i, p j ) où 1 i s, 1 j t et n 1 + + n s = n, p 1 + + p t = p Avec des notations évidentes, si A = (A i,j ) 1 i s, 1 j t et B = (B i,j ) 1 i s, 1 j t alors λa+µb = (λa i,j +µb i,j ) 1 i s, 1 j t ) Multiplication Pour calculer par blocs le produit AB, le découpage de A en colonnes doit être identique au découpage de B en lignes On découpe une matricea = (a i,j ) 1 i n, 1 j p de format (n, p) en A = (A i,j ) 1 i r,1 j s où 1 i r, 1 j t et n 1 + + n r = n, p 1 + + p s = p et une matrice B = (b k,l ) 1 k p, 1 j q de format (p, q) en B = (B i,j ) 1 i s, 1 j t où 1 i s, 1 j t et p 1 + + p s = p, q 1 + + q t = q s Si, pour 1 i r et 1 j t, on pose C i,j = A i,k B k,j, alors AB = (C i,j ) 1 i r, 1 j t c Jean-Louis Rouget, 009 Tous droits réservés 7 http ://wwwmaths-francefr