007 008 Généralités et raisonnement Classe de Terminale S (Option Maths) Généralités et raisonnement ( Spécialité Maths) Terminale S Dernière mise à jour : Vendredi 13 Septembre 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 007-008) Lycée Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton ) -1-
007 008 Généralités et raisonnement Classe de Terminale S (Option Maths) J aimais et j aime encore les mathématiques pour elles-mêmes comme n admettant pas l hypocrisie et le vague, mes deux bêtes d aversion. Stendhal Lycée Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton ) --
007 008 Généralités et raisonnement Classe de Terminale S (Option Maths) Table des matières 1 Quantificateurs 4 1.1 Le quantificateur universel ( )............................... 4 1. Le quantificateur existentiel ( ).............................. 4 1.3 Mélanger les quantificateurs................................. 4 Divers raisonnement 4.1 Contraposée.......................................... 4. Raisonnement par l absurde................................. 6.3 Raisonnement par récurrence................................ 6 Lycée Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton ) -3-
007 008 Généralités et raisonnement Classe de Terminale S (Option Maths) 1 Quantificateurs Les quantificateurs sont des symboles permettant d écrire des phrases de manière plus simple à lire et à écrire. 1.1 Le quantificateur universel ( ) Le symbole signifie Pour tout ou Quel que soit. 1. x R, x 0. x R, f(x) 3. x D f, f( x) = f(x) 4. n N, u n+1 = u n 3 1. Le quantificateur existentiel ( ) Le symbole signifie Il existe. 1. x R / x = 9. x R / f(x) 3. y R / 1 y = 4 4. x N, y N / x + y = 5 1.3 Mélanger les quantificateurs On peut mettre plusieurs quantificateurs dans une même phrase. Exemple : x R +, y R / x = y Proriétés : 1. On peut intervertir les quantificateurs s il sont identiques. x R +, y R +, x y = x y x + y est identique à y R +, x R +, x y = x y x + y. On ne peut pas intervertir les quantificateurs s il sont différents. x R +, y R / x = y est différent de : y R / x R +, x = y Divers raisonnement.1 Contraposée On note la proposition (P ) vraie : Si A est vraie alors B est vraie ou A B. Lycée Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton ) -4-
007 008 Généralités et raisonnement Classe de Terminale S (Option Maths) Exemple : Si ABC est un triangle rectangle en A alors AB + AC = BC. Définition : La contraposée de (P ) est la proposition vraie : Si B n est pas vraie alors A n est pas vraie ou (Non B) (Non A) Exemple 1 : 1) Démontrer que n N, n impair n impair. ) Démontrer que n N, n impair n impair. 3) Comment traduire ces deux propriétés en une seule? Correction : 1. Commençons par essayer de démontrer la propriété directe : n impair n impair. Si n est impair alors k N / n = k + 1 Or k + 1 est strictement positif donc : k N / n = k + 1 Et là on doit montrer que la racine carré d un impair est impair, ce qui n est pas si simple. Nous allons voir qu il est plus simple de prouver la proposition contraposée : n pair n pair. Si n est pair alors k N / n = k donc n = (k) = 4k = (k ) Or k est un entier naturel donc si on pose k = m alors m N / n = m Donc n est pair. On a donc montré que la contraposée de n impair n impair était vraie donc la propriété n impair n impair est vraie.. Montrons la propriété directe : n impair n impair. Si n est impair alors k N / n = k + 1 donc n = (k + 1) = 4k + 4k + 1 = (k + k) + 1 Or k + k est un entier naturel donc si on pose k + k = m alors m N / n = m + 1 Donc n est impair. { n impair n impair 3. On a donc les deux propriétés : n impair n se traduit par n impair n impair. impair Exemple : 1) Démontrer que n N, n pair n pair. ) Démontrer que n N, n pair n pair. 3) Comment traduire ces deux pripriétés en une seule? Lycée Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton ) -5-
007 008 Généralités et raisonnement Classe de Terminale S (Option Maths) Correction : 1. Commençons par essayer de démontrer la propriété directe : n pair n pair. Si n est pair alors k N/n = k Or k est strictement positif donc : k N/n = k = k Et là on doit montrer que k est de la forme m avec m N. Nous allons voir qu il est plus simple de prouver la proposition contraposée : n impair n impair. Cette propriété est démontrée dans l exercice 1. On a donc montré que la contraposée de n pair n pair était vraie donc la propriété n pair n pair est vraie.. Montrons la propriété directe : n pair n pair. Si n est pair alors k N/n = k donc n = (k) = 4k = (k ) Or k est un entier naturel donc si on pose k = m alors m N/n = m Donc n est pair. { n pair n pair 3. On a donc les deux propriétés : n pair n se traduit par n pair n pair. pair. Raisonnement par l absurde Définition : Le raisonnement par l absurde est une forme de raisonnement logique, consistant soit à démontrer la vérité d une proposition en prouvant l absurdité de la proposition contraire, soit à montrer la fausseté d une proposition en en déduisant logiquement des conséquences absurdes. Exemple : On souhaite démontrer que est un nombre irrationnel. On va donc essayer de voir ce qu il se passe si on considère que est un nombre rationnel. Si est rationnel alors il peut se mettre sous la forme d une fraction est donc il existe deux entiers p et q (q 0) tels que = p avec P GCD(p, q) = 1 (p et q sont premiers entre eux). q Si = p q alors p = q donc p = q donc p est un nombre pair et donc p est pair.(voir contraposée) Puisque p est un nombre pair alors il existe un entier naturel k tel que p = k On a donc (k) = q donc 4k = q donc q = k, donc q est pair et enfin q est pair.(voir contraposée). Or p et q ne peuvent pas être pairs tous les deux car p et q sont premiers entre eux donc n est pas un rationnel mais un irrationnel..3 Raisonnement par récurrence Les démonstration par récurrence servent à démontrer q une propriété est vraie ou fausse pour tout les entiers à partir d un certain rang. Il faut donc avoir à démontrer quelque chose du genre : Lycée Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton ) -6-
007 008 Généralités et raisonnement Classe de Terminale S (Option Maths) Démontrer que pour tout entier naturel n k, la propriété P n est vraie. Pour le démontrer, on va devoir prouver les deux étapes suivantes : 1. La propriété P k est vraie (Initialisation).. Pour tout q telq que k q n, si P n est vraie alors P n+1 est vraie. On dit dans ce cas que P n a un caractère héréditaire. On pourra alors conclure que P n est vraie pour tout n k. 1. Démontrer que n N, 3 divise 4 n 1. On note (P n ) la propriété : 4 n 1 est un multiple de 3. Première étape (Initialisation) : 4 0 1 = 1 1 = 0 est un multiple de 3. donc (P 0 ) est vraie. Deuxième étape (Caractère héréditaire) : (a) On suppose que (P n ) est vraie. C est à dire que 4 n 1 est un multiple de 3. (b) Sachant que (P n ) est vraie, démontrons que (P n+1 ) l est aussi. C est à dire que 4 n+1 1 st un multiple de 3. 4 n+1 1 = 4 4 n 1 = 4(4 n 1 + 1) 1 = 4(4 n 1) + 4 1 = 4(4 n 1) + 3 On sait que 4 n 1 est un mutiple de 3 donc il existe k N tel que 4 n 1 = 3k. donc 4 n+1 1 = 4(3k) + 3 = 1k + 3 = 3(4k + 1) avec 4k + 1 N donc 4 n+1 1 est un multiple de 3 donc (P n+1 ) est vraie. Conclusion : n N, 4 n 1 est un multiple de 3. n. Démontrer que n N n(n + 1), k = n n(n + 1) On note (P n ) la propriété : k =. Première étape (Initialisation) : 1 k = 1 1(1 + 1) = 1 1 donc k = 1(1 + 1) donc (P 0 ) est vraie. Deuxième étape (Caractère héréditaire) : (a) On suppose que (P n ) est vraie. C est à dire que n k = n(n + 1) (b) Sachant que (P n ) est vraie, démontrons que (P n+1 ) l est aussi. n+1 (n + 1)(n + ) C est à dire que k = Lycée Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton ) -7-
007 008 Généralités et raisonnement Classe de Terminale S (Option Maths) n+1 n k = k + (n + 1) = donc n+1 k = n(n + 1) + donc (P n+1 ) est vraie. Conclusion : n n N, k = n(n + 1) (n + 1) n(n + 1) = + n + 1 (n + 1)(n + ) 3. On note (u n ) n N la suite définie par u 0 = 0 et u n+1 = U n + 6. Démontrer que n N, 0 u n 3. On note (P n ) la propriété : 0 u n 3. Première étape (Initialisation) : u 0 = 0 donc (P 0 ) est vraie. Deuxième étape (Caractère héréditaire) : (a) On suppose que (P n ) est vraie. C est à dire que 0 u n 3 (b) Sachant que (P n ) est vraie, démontrons que (P n+1 ) l est aussi. C est à dire que 0 u n+1 3 0 u n 3 donc 6 u n + 6 9 Or x x est une fonction strictement croissante sur R + donc 0 6 u n + 6 9 donc 0 u n+1 3 donc (P n+1 ) est vraie. Conclusion : n N, 0 u n 3. Lycée Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton ) -8-