Volume et aire du cylindre

Activité 5 Volume et aire du cylindre Au cours de cette activité, l élève détermine le volume et l aire totale du cylindre. Pistes d observation L élève : compare l aire totale et le volume de prismes à l aire totale et au volume d un cylindre; établit la relation entre l aire de la base d un cylindre, sa hauteur et son volume; établit la relation entre la circonférence et l aire latérale d un cylindre; calcule le volume et l aire totale d un cylindre : en utilisant du matériel concret; en utilisant des stratégies de calcul. Matériel requis calculatrices scientifiques compas (un par équipe de deux) crayons-feutres à encre effaçable feuilles grand format (une par équipe de deux) ficelle galettes de riz emballées (un paquet par équipe de deux) mètres souples de couturière (un par équipe de deux) règles graduées en millimètres (une par équipe de deux) rétroprojecteur transparent Volume et aire totale de prismes feuille Papier quadrillé en cm 2 (trois copies par équipe de deux) transparent Aire totale d un cylindre fiche Cylindres (une copie par élève) Déroulement Au cours de cette activité, l élève découvre la formule pour déterminer le volume d un cylindre, soit V = A base Hauteur et la formule pour déterminer l aire d un cylindre, soit A cylindre = A latérale + 2 A base = 2 r H + 2 r 2 On utilise le H majuscule pour représenter la hauteur du cylindre. L importance doit être accordée à la relation entre le volume d un cylindre, l aire de sa base et sa hauteur. 378

Étape 1 Dire aux élèves qu au cours de cette activité elles et ils détermineront le volume et l aire totale de cylindres. 5 Activité Projeter seulement le prisme à base rectangulaire du transparent Ajouter les informations manquantes en questionnant les élèves à tour de rôle. Voici un exemple de solution possible : a) Nom : Prisme à base rectangulaire H Volume et aire totale de prismes. Propriétés : 2 bases rectangulaires congruentes et parallèles 4 faces latérales rectangulaires 12 arêtes, 8 sommets Volume : V = A base H ou V = A rectangle H ou V = A H ou V = Aire du rectangle Hauteur Aire : Aire totale = Aire des 4 faces + Aire des deux bases ou A A totale = A A + A B + A C + A D + A E + A F E B C D F ou A A totale = 2 A A + 2 A B + 2 A C C B A B C Pour calculer l aire d un rectangle, on utilise la formule A = b h. Reprendre la même démarche pour le prisme à base triangulaire du transparent Volume et aire totale de prismes. Numération et sens du nombre/mesure Module 3 Série 3 379

Activité 5 Voici un exemple de solution possible : b) Nom : Prisme droit à base triangulaire Propriétés : 2 bases triangulaires congruentes et parallèles H 3 faces latérales rectangulaires 9 arêtes, 6 sommets Volume : V = A base H ou V = A triangle H ou V = A H ou V = Aire du triangle Hauteur Aire : Aire totale = Aire des 3 faces latérales + Aire des deux bases ou A B D E A totale = A A + A B + A C + A D + A E C A A C C A totale = 2 A A + A B + 2 A C B Pour calculer l aire des faces latérales, on utilise la formule A = b h, puisqu il s agit de rectangles. Pour calculer l aire des bases, on utilise la formule A = b h 2, puisqu il s agit de triangles. Poser aux élèves la question suivante : «Pourquoi est-il possible de déterminer le volume d un prisme à l aide de la formule V = A base Hauteur?» On peut déterminer le volume d un prisme en utilisant cette formule puisque, dans un prisme, chaque étage (tranche) est identique. On peut mettre un certain nombre de petits cubes au fond du prisme (base) et le nombre de petits cubes sera le même pour chaque étage (hauteur). Montrer aux élèves un paquet de galettes de riz. 380

Poser aux élèves les questions suivantes. Voici des exemples de réponses possibles. À quel solide ressemble le paquet de galettes de riz? Le paquet de galettes de riz ressemble à un cylindre. Quelles sont les propriétés du cylindre? Un cylindre a deux bases parallèles et congruentes. Ces bases sont des surfaces planes courbes appelées disques. Le contour ou la surface latérale est une surface courbe. Le cylindre n a ni arêtes ni sommets. Quelles sont les similitudes et les distinctions entre les prismes et le cylindre? 5 Activité Similitudes Les prismes et le cylindre ont deux bases parallèles et congruentes. Les deux solides ont une hauteur. Distinctions Les prismes sont des polyèdres. Le cylindre est un corps rond. Les bases des prismes sont des polygones. Les bases du cylindre sont des surfaces planes courbes ou des disques. Les faces latérales des prismes droits sont des rectangles. Le cylindre n a pas de face latérale, c est une surface courbe latérale. Les prismes ont des arêtes et des sommets. Le cylindre n a pas d arêtes ni de sommets. Selon toi, peut-on déterminer le volume et l aire totale d un cylindre de la même façon que l on détermine le volume et l aire totale d un prisme droit. Pourquoi? Oui, on peut déterminer le volume d un cylindre en pensant aux prismes droits, car un cylindre (les galettes de riz) est formé d étages (tranches) identiques. Le cylindre a donc deux bases congruentes et parallèles qui sont des disques, et les étages (tranches) forment la hauteur du solide. On peut aussi penser à déterminer l aire totale d un cylindre en pensant aux prismes droits, puisqu on peut mesurer l aire des deux disques (bases) et l aire de la surface latérale (faces latérales), et additionner les réponses pour trouver l aire totale du cylindre. Grouper les élèves en équipes de deux. Remettre à chaque équipe : un paquet de galettes de riz; de la ficelle; un mètre souple de couturière; une règle graduée en millimètres; un compas; une calculatrice scientifique; Étape 2 trois copies de la feuille Papier quadrillé en cm 2 ; une feuille grand format. Demander aux élèves de déterminer le plus précisément possible le volume et l aire du paquet de galettes de riz en expliquant leur raisonnement et leur démarche à l aide de dessins et de calculs. Donner aux élèves le temps requis pour réaliser le travail. Numération et sens du nombre/mesure Module 3 Série 3 381

Activité 5 Circuler parmi les élèves et intervenir, au besoin, en leur posant des questions en vue de les amener à verbaliser leur compréhension des concepts d aire et de volume, et à organiser clairement les étapes de calcul. Poser des questions semblables aux questions suivantes : Quelles informations te sont utiles pour déterminer le volume du paquet de galettes de riz? Pourquoi? Quelles informations te sont utiles pour déterminer l aire totale du paquet de galettes de riz? Pourquoi? Voici trois exemples de solutions possibles pour un paquet contenant sept galettes de riz. Exemple 1 Les élèves tracent les bases du paquet de galettes de riz sur une feuille grand format, les découpent, les plient pour trouver le centre du disque, la longueur du diamètre et la longueur du rayon. Puis, elles et ils roulent le paquet de galettes de riz, sur une feuille grand format, et tracent la surface latérale du paquet sur la feuille. surface latérale hauteur = 11,2 cm O base = 31,3 cm d = 10 cm O r = 5 cm Les élèves mesurent la circonférence de l objet à l aide d une ficelle et calcule la longueur du rayon. Aire de la base du paquet de galettes de riz : C = 31,3 cm d = C = 31,3 9,96 cm L aire de la base est de 77,9 cm 2. Volume du paquet de galettes de riz : V paquet = A base H = 77,9 11,2 = 872,48 cm 3 r = 9,96 2 = 4,98 cm r 2 = 24,8 cm Le volume du paquet de galettes de riz est de 872,48 cm 3. Aire totale du paquet de galettes de riz : h = 11,2 cm A = 77,9 cm 2 b = 31,3 cm Je connais le développement d un cylindre. Alors, A totale = A latérale + 2 A base A totale = b h + 2 A base = 31,3 11,2 + 2 77,9 = 31,3 11,2 + 2 77,9 = 350,56 + 155,8 = 506,36 cm 2 A base = r 2 = 24,8 77,9 cm 2 A = 77,9 cm 2 L aire totale du paquet de galettes de riz est de 506,36 cm 2. 382

5 Exemple 2 Les élèves reproduisent le développement du cylindre en traçant les bases sur du papier quadrillé en cm 2 et en enroulant la surface latérale de papiers quadrillés. Elles et ils établissent ensuite les mesures en comptant le nombre de centimètres carrés. Activité Volume et aire totale d un paquet de 7 galettes de riz : Aire totale : A base = r 2 = 5 2 = 25 78,5 cm 2 L aire de la base est de 78,5 cm 2. A latérale = b h = 32 12 = 384 cm 2 L aire latérale est de 384 cm 2. Volume : V paquet = A base H = 78,5 12 = 942 cm 3 Le volume du paquet de galettes de riz est d environ 942 cm 3. A totale = A latérale + A base + A base = 384 + 78,5 + 78,5 = 541 cm 2 L aire totale du paquet de galettes de riz est de 541 cm 2. Numération et sens du nombre/mesure Module 3 Série 3 383

Activité 5 Exemple 3 Les élèves découpent l emballage pour reproduire le développement du cylindre. Volume et aire totale d un paquet de 7 galettes de riz : H = 11 cm r = 5 cm b = 31,1 cm Aire totale : A base = r 2 = 25 78,5 cm 2 A latérale = b h = 31,1 11 = 342,1 cm 2 Volume : V paquet = A base H = 78,5 11 = 863,5 cm 3 Le volume du paquet de galettes de riz est d environ 863,5 cm 3. A totale = A latérale + A base + A base = 342,1 + 78,5 + 78,5 = 499,1 cm 2 L aire totale du paquet de galettes de riz est de 499,1 cm 2. Faire ressortir : qu il existe différentes stratégies pour résoudre le problème (représentation visuelle, calculs variés); que l on obtient des réponses différentes, puisque la précision des mesures varie selon la stratégie utilisée; qu il faut déterminer la longueur du rayon du disque pour déterminer l aire de la base, ce qui permet de calculer ensuite le volume et l aire totale du cylindre; que la formule V = A base H peut s appliquer au calcul du volume du cylindre, puisque chaque étage (tranche) du solide est identique. 384

Projeter le transparent Aire totale d un cylindre. 5 Questions à poser Décris le développement du cylindre. Il y a deux bases et une surface latérale. À quelles figures planes correspondent les bases? À deux disques. À quelle figure plane correspond la surface latérale? À un rectangle. 5 cm Éléments à écrire sur le transparent 4 cm A = b h Activité Comment calcule-t-on l aire de la surface latérale? Il faut calculer b h. La base correspond à la circonférence du disque. La hauteur correspond à la hauteur du cylindre. A = b h Hauteur du cylindre Circonférence du disque A latérale = A = b h = Circonférence du disque H = d H ou 2 r H Comment obtient-on l aire totale du cylindre? Il faut additionner l aire de la surface latérale (rectangle) à l aire des bases (deux disques). On calcule l aire d un disque en utilisant la formule A = r 2. Puisqu il y a deux disques, on utilise A = 2 r 2. A = r 2 A = b h Circonférence du disque Hauteur du cylindre A = r 2 Calcule l aire totale et le volume du cylindre. 4 cm 5 cm A totale = A latérale + 2 A base = d H + 2 r 2 ou = 2 r H + 2 r 2 A totale = A latérale + 2 A base = 2 rh + 2 r 2 = 2 4 5 + 2 4 2 = 125,66 + 100,53 = 226,19 cm 2 Quels calculs fait-on en premier, dans la formule, pour calculer l aire totale du cylindre? On commence par les multiplications, puis on fait les additions. Quelle formule utilise-t-on pour calculer le volume d un cylindre? V = A base H Volume = A base H = r 2 H = 4 2 5 = 251,33 cm 3 Numération et sens du nombre/mesure Module 3 Série 3 385

Activité 5 Remettre à chaque élève la fiche Lien journal Cylindres et choisir les exercices à réaliser individuellement. Compare la façon de calculer le volume d un prisme à la façon de calculer le volume d un cylindre. Comment calcule-t-on l aire totale d un cylindre? Explique d où vient cette formule. 386

Activité 5 Volume et aire totale de prismes Solides a) Nom : Informations Propriétés : Volume : Aire : b) Nom : Propriétés : Volume : Aire : Numération et sens du nombre/mesure Module 3 Série 3 387

Activité 5 Papier quadrillé en cm 2 388

Activité 5 Aire totale d un cylindre 4 cm 5 cm A latérale = A totale = Calcule l aire totale et le volume du cylindre. 4 cm 5 cm Numération et sens du nombre/mesure Module 3 Série 3 389

Activité 5 Cylindres Nom : calculatrice scientifique 1. Détermine le volume et l aire totale des cylindres suivants : a) 3,5 cm b) 10 m 8 cm 18 m 2. Reproduis le tableau ci-dessous et remplis-le. Arrondis tes réponses au dixième près. Cylindre r (cm) H (cm) C (cm) A latérale (cm 2 ) A base (cm 2 ) A totale (cm 2 ) r 6 14 H 34,6 294,1 3. Le diamètre d une pièce de 5 est approximativement égal à 21 mm et sa hauteur est d environ 2 mm. Quelle quantité de papier doit-on utiliser pour fabriquer un rouleau contenant 40 pièces de 5? 4. On doit peindre l extérieur de la partie cylindrique d un observatoire. Calcule l aire de la surface à peindre. 12 m 25 m 5. a) Le tableau ci-dessous donne les mesures de six cylindres différents. Reproduis le tableau et remplis-le. Hauteur (cm) 10 10 10 20 20 20 Diamètre (cm) 2 4 8 2 4 8 Volume (cm 3 ) b) Qu arrive-t-il au volume d un cylindre lorsque le diamètre est doublé et que la hauteur reste la même? c) Qu arrive-t-il au volume d un cylindre lorsque la hauteur est doublée et que le diamètre reste le même? d) Quel sera le volume d un cylindre dont la hauteur est de 10 cm et le diamètre, de 16 cm? e) Quel sera le volume d un cylindre dont la hauteur est de 40 cm et le diamètre, de 2 cm? 390

Cylindres Corrigé 1. Détermine le volume et l aire totale des cylindres suivants : a) 3,5 cm b) 5 Activité 10 m 8 cm A base = r 2 = 3,5 2 38,48 cm 2 V = A base H 38,48 8 307,84 cm 3 A latérale = Circonférence H = 2 r H = 2 3,5 8 175,93 cm 2 A totale = A latérale + 2 A base 175,93 + 2 38,48 252,89 cm 2 Le volume du cylindre est approximativement égal à 307,84 cm 3. L aire totale du cylindre est approximativement égale à 252,89 cm 2. A base = r 2 = 9 2 254,47 m 2 18 m r = d 2 = 18 2 = 9 m V = A base H 254,47 10 2 544,7 m 3 A latérale = d H = 18 10 565,49 m 2 A totale = A latérale + 2 A base 565,49 + 2 254,47 1 074,43 m 2 Le volume du cylindre est approximativement égal à 2 544,7 m 3. L aire totale du cylindre est approximativement égale à 1 074,43 m 2. 2. Reproduis le tableau ci-dessous et remplis-le. Arrondis tes réponses au dixième près. Cylindre r (cm) H (cm) C (cm) A latérale (cm 2 ) A base (cm 2 ) A totale (cm 2 ) r 6 14 37,7 527,8 113,1 754 H 5,5 8,5 34,6 294,1 95,0 484,1 3. Le diamètre d une pièce de 5 est approximativement égal à 21 mm et sa hauteur est d environ 2 mm. Quelle quantité de papier doit-on utiliser pour fabriquer un rouleau contenant 40 pièces de 5? A base = r 2 = 10,5 2 346,36 mm 2 A latérale = d H = 21 2 40 5 277,89 mm 2 A totale = A latérale + 2 A base 5 277,89 + 2 346,36 5 970,61 mm 2 Il faut approximativement 5 970,61 mm 2 de papier pour fabriquer un rouleau contenant 40 pièces de 5. 4. On doit peindre l extérieur de la partie cylindrique d un observatoire. Calcule l aire de la surface à peindre. A latérale = Circonférence H = d H = 25 12 942,48 m 2 L aire de la surface à peindre est approximativement égale à 942,48 m 2. 25 m 12 m Numération et sens du nombre/mesure Module 3 Série 3 391

Activité 5 5. a) Le tableau ci-dessous donne les mesures de six cylindres différents. Reproduis le tableau et remplis-le. Hauteur (cm) 10 10 10 20 20 20 Diamètre (cm) 2 4 8 2 4 8 Volume (cm 3 ) 31,42 125,66 502,66 62,83 251,33 1 005,31 b) Qu arrive-t-il au volume d un cylindre lorsque le diamètre est doublé et que la hauteur reste la même? Lorsque le diamètre est doublé et que la hauteur reste la même, le volume du cylindre est quatre fois plus grand. Ex. : Hauteur (cm) 10 10 10 Diamètre (cm) 2 4 8 Volume (cm 3 ) 31,42 125,66 502,66 4 4 c) Qu arrive-t-il au volume d un cylindre lorsque la hauteur est doublée et que le diamètre reste le même? Lorsque la hauteur est doublée et que le diamètre reste le même, le volume du cylindre est deux fois plus grand. Ex. : 2 Hauteur (cm) 10 10 10 20 20 20 Diamètre (cm) 2 4 8 2 4 8 Volume (cm 3 ) 31,42 125,66 502,66 62,83 251,33 1 005,31 2 2 d) Quel sera le volume d un cylindre dont la hauteur est de 10 cm et le diamètre, de 16 cm? Le volume d un cylindre dont la hauteur est de 10 cm et le diamètre, de 8 cm est de 502,66 cm 3. Le volume d un cylindre dont la hauteur est de 10 cm et le diamètre, de 16 cm sera de 502,66 4, soit 2 010,64 cm 3. e) Quel sera le volume d un cylindre dont la hauteur est de 40 cm et le diamètre, de 2 cm? Le volume d un cylindre dont la hauteur est de 20 cm et le diamètre, de 2 cm est de 62,83 cm 3. Le volume d un cylindre dont la hauteur est de 40 cm et le diamètre, de 2 cm sera de 125,66 cm 3, soit 62,83 2. 392

Activité 3 Échelle de mesure Au cours de cette activité, l élève utilise une échelle de mesure et distingue des situations proportionnelles et non proportionnelles. Pistes d observation L élève : exprime une échelle de mesure à l aide d un rapport; compare diverses situations proportionnelles à des situations non proportionnelles; utilise des échelles de mesure pour résoudre des problèmes comportant des dessins faits à l échelle. Matériel requis crayons-feutres à encre effaçable règles rétroprojecteur feuille L Ontario à l échelle (une copie par élève) transparent de la feuille L Ontario à l échelle transparent Ballons à l échelle feuille Situations proportionnelles (une copie par élève) transparent de la feuille Situations proportionnelles fiche Proportionnalité (une copie par élève) Déroulement Échelle de mesure Définition : Une échelle de mesure est un rapport ou une relation de correspondance entre la mesure de la représentation d un objet et la mesure réelle de l objet. Symbole : Le symbole utilisé pour indiquer l échelle de mesure est qui signifie «correspond à». (On utilise ce symbole lorsqu il s agit d un taux, puisque les unités de mesure sont différentes.) Le symbole : est utilisé pour indiquer le rapport entre deux quantités exprimées avec la même unité de mesure. (On utilise ce symbole lorsqu il s agit d un rapport, puisque les unités de mesure sont les mêmes.) Ex. : Sur une carte, la relation «1 cm 10 km» se lit : «un centimètre correspond à un kilomètre». (Il s agit d un taux, puisque les unités de mesure du rapport sont différentes.) Sur un diagramme, le rapport «1 : 1 000 000» se lit : «un pour un million». (Il s agit d un rapport, puisque les unités de mesure du rapport sont les mêmes.) Source : D. de Champlain, P. Mathieu, P. Patenaude et H. Tessier. Lexique mathématique Enseignement secondaire, 2 e édition, Éditions du Triangle d Or inc., 1996. 216

Étape 1 Expliquer aux élèves qu au cours de l activité précédente elles et ils ont surtout travaillé en utilisant des rapports et des taux que l on trouve dans la vie quotidienne. Elles et ils ont vu qu un rapport est une relation entre deux grandeurs de même nature et qu un taux est une relation entre deux grandeurs de nature différente. Au cours de cette activité-ci, elles et ils poursuivront l étude des rapports et des taux au moyen d échelles de mesure que l on trouve sur des cartes ou des illustrations. 3 Activité Distribuer aux élèves la feuille Projeter le transparent de la feuille L Ontario à l échelle. Poser aux élèves les questions suivantes. Que trouve-t-on sur cette carte? L Ontario à l échelle. Voici des exemples de réponses possibles : Il s agit de la carte de la province de l Ontario. On y trouve les Grands Lacs et les frontières de la province. On y trouve plusieurs villes de l Ontario. On y trouve une légende. On y trouve une échelle. Quelle est l échelle utilisée sur cette carte de l Ontario? L échelle est 1 cm correspond à 100 km. À quoi sert l échelle qui se trouve sur cette carte de l Ontario? Voici des exemples de réponses possibles : Cette échelle sert à établir une relation entre les distances sur la carte et les distances réelles, soit 1 cm sur la carte correspond à 100 km en réalité. L échelle permet de déterminer la distance réelle entre deux endroits en mesurant à vol d oiseau la distance entre deux points sur la carte. La relation entre deux points sur la carte est toujours la même, soit 1 cm sur la carte correspond à 100 km en réalité. Lire avec les élèves les consignes au bas de la feuille et leur demander de réaliser le travail. Donner aux élèves le temps requis pour réaliser le travail. Circuler parmi les élèves et intervenir, au besoin, en leur posant des questions en vue de les amener à verbaliser leur compréhension du raisonnement proportionnel d une illustration. Voici des exemples de questions : Quelle est la distance entre les deux points? Comment peux-tu calculer la distance réelle entre ces deux points en sachant que 1 cm correspond à 100 km? Quelle opération as-tu effectuée? Pourquoi? Lorsque les élèves ont terminé, leur demander de comparer leur travail avec celui d un ou d une partenaire. Poser aux élèves la question suivante : «Selon toi, l échelle qui se trouve sur la carte de l Ontario représente-t-elle un rapport ou un taux?» Cette échelle de mesure représente un taux, puisque les unités de mesure sont différentes. Faire ressortir : que la carte de l Ontario est proportionnelle, car elle a été tracée à l échelle; que l échelle qui se trouve sur la carte est une échelle de mesure; que cette échelle de mesure est le rapport entre la mesure sur la carte et la mesure réelle de la province de l Ontario, soit 1 cm correspond à 100 km; Numération et sens du nombre/mesure Module 3 Série 3 1 2 217

Activité 3 que 8 cm sur la carte représente 800 km en réalité, car 8 100 = 800; que cette échelle de mesure peut être considérée comme un taux, puisqu on a utilisé des unités de mesure différentes (p. ex., cm : km); que le symbole utilisé pour indiquer l échelle de mesure, qui est un taux, est, qui signifie «correspond à», soit «1 cm 100 km». Étape 2 Expliquer aux élèves qu au cours de cette étape elles et ils poursuivront l étude des échelles de mesure en observant des illustrations. Projeter, une à la fois, les illustrations de ballons de football qui se trouvent sur le transparent Ballons à l échelle et animer un échange mathématique avec les élèves en vue de déterminer les illustrations de ballons qui sont proportionnelles. Note : Une échelle de mesure est un rapport qui compare, dans l ordre, la mesure d une illustration de l objet à la mesure réelle de l objet. Selon cette définition, il est possible de savoir si l illustration a été réduite ou agrandie par rapport aux mesures de l objet. Ex. : Mesure de l illustration de l objet : Mesure réelle de l objet 1 : 5 Cette échelle représente une réduction, c est-à-dire que l illustration est plus petite que l objet. 5 : 1 Cette échelle représente un agrandissement, c est-à-dire que l illustration est plus grande que l objet. Questions à poser Éléments à écrire sur le transparent Lorsqu on compare les trois ballons de football à l illustration originale, lequel est proportionnel à l illustration originale? Comment le sais-tu? L illustration B est proportionnelle à l illustration originale. Tous les éléments des illustrations se ressemblent, mais l illustration B n est pas déformée par rapport à l illustration originale. Encercler l illustration B. A. B. C. Si l on mesure la longueur de la base de l illustration B et celle de la base de l illustration originale, quelle est l échelle de mesure utilisée? L échelle de mesure est de 2,3 cm qui correspond à 4,6 cm. Demander à un ou à une élève de venir mesurer les deux bases. Écrire les longueurs sur le transparent. cm 1 2 3 4 5 6 7 8 A. B. C. 4,6 cm 2,3 cm 218

Comment peut-on écrire symboliquement cette échelle de mesure? On peut écrire 2,3 : 4,6. Écrire l échelle de mesure sur le transparent. 2,3 : 4,6 3 Activité Comment peux-tu exprimer cette échelle de mesure au moyen d un taux unitaire? Voici des exemples de réponses possibles : Je divise chaque terme par 2,3 pour obtenir un taux unitaire, soit 1 cm correspond à 2 cm. L échelle est de 1 : 2. Si l on mesure la hauteur de l illustration B et celle de l illustration originale, quelle est l échelle de mesure utilisée? L échelle de mesure est d environ 1,4 cm qui correspond à 2,8 cm. Comment peut-on écrire symboliquement cette échelle de mesure? On peut écrire 1,4 : 2,8 Comment peux-tu exprimer cette échelle de mesure au moyen d un taux unitaire? Voici des exemples de réponses possibles : Je divise chaque terme par 1,4 pour obtenir un taux unitaire, soit 1 cm qui correspond à 2 cm. L échelle est de 1 : 2. Effectuer les calculs et les écrire sur le transparent. 2,3 : 4,6 2,3 2,3 1 : 2 Demander à un ou à une élève de venir mesurer les deux hauteurs. Écrire les longueurs sur le transparent. A. cm 1 2 3 4 5 6 7 8 4,6 cm 2,8 cm Écrire l échelle de mesure sur le transparent. 1,4 : 2,8 B. 2,3 cm Effectuer les calculs et les écrire sur le transparent. 1,4 : 2,8 1,4 1,4 1 : 2 1,4 cm Numération et sens du nombre/mesure Module 3 Série 3 1 2 219

Activité 3 L illustration B et l illustration originale sont-elles vraiment proportionnelles? Oui, car les échelles pour la longueur et la largeur sont les mêmes, soit 1 : 2. L illustration B a-t-elle été agrandie ou réduite? Elle a été réduite, puisque l illustration B est plus petite que l illustration originale. Comment peut-on savoir que l illustration B est une réduction de l illustration originale en observant l échelle de mesure? Le premier terme de l échelle de mesure est plus petit que le second terme, alors c est une réduction. Comment peut-on exprimer la réduction au moyen d un pourcentage? Sur le plan horizontal, la base de 2,3 cm est la moitié de la base de 4,6 cm. Sur le plan vertical, la hauteur de 1,4 cm est aussi la moitié de 2,8 cm. Les dimensions de l illustration B sont 50 fois plus petites que les dimensions de l illustration originale, elles ont donc été réduites de 50 %. Poursuivre le même genre de questionnement mais cette fois-ci pour les ballons de soccer, en utilisant le transparent Ballons à l échelle. Voici des exemples de réponses possibles : L illustration C est proportionnelle à l illustration originale. L échelle de mesure de la longueur de la base des rectangles est de 4 cm qui correspond à environ 2 cm ou 4 : 2, ou encore 2 : 1. L échelle de mesure de la hauteur des carrés est d environ 4 cm qui correspond à 2 cm ou 4 : 2, ou encore 2 : 1. L illustration C est plus grande que l illustration originale, elle a été agrandie. Le premier terme de l échelle de mesure est plus grand que le second terme, alors l illustration a été agrandie. Sur le plan horizontal, la base de 2 cm est 2 fois plus petite que la base de 4 cm. Sur le plan vertical, la hauteur de 2 cm est 2 fois plus petite que la hauteur de 4 cm. Les dimensions de l illustration C sont 2 fois plus grandes que les dimensions de l illustration originale; l illustration C a été agrandie de 100 %. Faire ressortir : que les illustrations B et C et les illustrations originales sont proportionnelles, car on a utilisé la même échelle de mesure pour tracer les côtés des rectangles (p. ex., 1 : 2); que cette échelle de mesure est un rapport, car les unités de mesure sont les mêmes (p. ex., cm : cm); que le symbole : est utilisé pour indiquer le rapport entre deux quantités dont les unités de mesure sont les mêmes; que, lorsque le premier terme de l échelle de mesure est plus petit que le second terme (p. ex., 1 : 2), cela signifie que l illustration à l échelle est une illustration réduite de l illustration originale; que, lorsque le premier terme de l échelle de mesure est plus grand que le second terme, cela signifie que l illustration à l échelle est une illustration agrandie de l illustration originale (p. ex., 2 : 1). Remettre à chaque élève la feuille Situations proportionnelles. Lire les consignes avec les élèves et leur demander de réaliser le travail. Donner aux élèves le temps requis pour réaliser le travail. 220

Circuler parmi les élèves et intervenir, au besoin, en leur posant des questions en vue de les amener à verbaliser leur compréhension des situations proportionnelles et non proportionnelles. Voici des exemples de questions : Les rapports, dans cette table de valeurs, sont-ils équivalents? Le prix des légumes au kilogramme change-t-il si la masse des légumes varie? Comment peux-tu déterminer si une situation est proportionnelle? Qu est-ce qu un modèle réduit? 3 Activité À l aide du transparent de la feuille Situations proportionnelles, animer un échange mathématique au cours duquel les élèves expliquent les différentes façons de représenter les situations. Faire ressortir: qu une situation est proportionnelle lorsque des fractions, des rapports ou des taux sont équivalents; qu une situation est proportionnelle lorsque la relation d ordre de grandeur est conservée entre deux valeurs; qu une situation est proportionnelle lorsqu on obtient des grandeurs équivalentes en multipliant ou en divisant par un même nombre. 4 : 7 3 3 12 : 21 4 : 7 3 3 12 : 21 Faire également ressortir les différentes stratégies utilisées pour déterminer si chaque situation est proportionnelle, en consultant les feuilles Situations proportionnelles Corrigé. Remettre à chaque élève la fiche Proportionnalité et choisir les exercices à réaliser individuellement. Lien journal Demander aux élèves de répondre aux questions ci-dessous dans leur journal de mathématiques. Qu est-ce qu une échelle de mesure? Quand une échelle de mesure indique-t-elle un taux? Quand une échelle de mesure indique-t-elle un rapport? Peut-on exprimer une échelle de mesure au moyen d un taux unitaire? Justifie ta réponse. Numération et sens du nombre/mesure Module 3 Série 3 1 2 221

M A N I T O B A Activité 3 MANITOBA Sandy Lake Fort Severn Big Trout Lake Severn Hudson R Winisk Bay L Ontario à l échelle / Baie Peawanuck River ONTARIO d Hudson James Bay Baie James Attawapiskat CANADA Pikangikum Lansdowne House Albany River Moosonee Moose R QUEBEC / QUÉBEC N Red Lake Sioux Armstrong Kapuskasing Lookout L Cochrane Nipigon Kenora Dryden Geraldton Iroquois Falls Timmins Marathon Kirkland Lake Fort Thunder Frances Bay New Wawa Chapleau Liskeard Greater/ USA / É-U d A Grand North R Hawkesbury Sault Sudbury Bay Ste Elliot Marie Lake Pembroke Cornwall Espanola Ottawa Little Huntsville Brockville Current Parry Bancroft Sound Kingston LEGEND / LÉGENDE L Owen Orillia National capital / Sound Belleville Capitale nationale Michigan Port Peterborough Elgin Barrie Provincial capital / L Oshawa Capitale provinciale Huron Toronto Other populated places / Goderich Kitchener St Catharines Autres lieux habités Hamilton Welland International boundary / USA / É-U d A UNITED STATES Sarnia London Frontière internationale St Thomas Provincial boundary / OF AMERICA Chatham- Kent Limite provinciale Windsor http://atlas.gc.ca L Superior L Supérieur 2002. Her Majesty the Queen in Right of Canada, Natural Resources Canada. Sa Majesté la Reine du chef du Canada, Ressources naturelles Canada. ÉTATS-UNIS D AMÉRIQUE L Erie Ot tawa L Érié R / des Outaouais L Ontario Scale / Échelle St Lawrence R Fl Saint-Laurent 100 0 100 200 300 km km Détermine la distance, à vol d oiseau, entre : Sur la carte En réalité Windsor et Kapuskasing Marathon et Ottawa New Liskeard et North Bay Hawkesbury et Sudbury Toronto et Sarnia Cornwall et Timmins 222

M A N I T O B A MANITOBA Sandy Lake Fort Severn Big Trout Lake Severn Hudson R Winisk Bay L Ontario à l échelle / Baie Peawanuck River ONTARIO d Hudson James Bay Baie James Attawapiskat CANADA 3 Activité Pikangikum Lansdowne House Albany River Moosonee Moose R QUEBEC / QUÉBEC N Red Lake Sioux Armstrong Kapuskasing Lookout L Cochrane Nipigon Kenora Dryden Geraldton Iroquois Falls Timmins Marathon Kirkland Lake Fort Thunder Frances Bay New Wawa Chapleau Liskeard Greater/ USA / É-U d A Grand North R Hawkesbury Sault Sudbury Bay Ste Elliot Marie Lake Pembroke Cornwall Espanola Ottawa Little Huntsville Brockville Current Parry Bancroft Sound Kingston LEGEND / LÉGENDE L Owen Orillia National capital / Sound Belleville Capitale nationale Michigan Port Peterborough Elgin Barrie Provincial capital / L Oshawa Capitale provinciale Huron Toronto Other populated places / Goderich Kitchener St Catharines Autres lieux habités Hamilton Welland International boundary / USA / É-U d A UNITED STATES Sarnia London Frontière internationale St Thomas Provincial boundary / OF AMERICA Chatham- Kent Limite provinciale Windsor http://atlas.gc.ca L Superior L Supérieur 2002. Her Majesty the Queen in Right of Canada, Natural Resources Canada. Sa Majesté la Reine du chef du Canada, Ressources naturelles Canada. ÉTATS-UNIS D AMÉRIQUE L Erie Ot tawa L Érié R / des Outaouais L Ontario Scale / Échelle St Lawrence R Fl Saint-Laurent 100 0 100 200 300 km km Détermine la distance, à vol d oiseau, entre : Sur la carte En réalité Windsor et Kapuskasing Environ 8,3 cm Environ 830 km Marathon et Ottawa Environ 9,2 cm Environ 920 km New Liskeard et North Bay Environ 1,4 cm Environ 140 km Hawkesbury et Sudbury Environ 5,15 cm Environ 515 km Toronto et Sarnia Environ 2,65 cm Environ 265 km Cornwall et Timmins Environ 6,55 cm Environ 655 km Numération et sens du nombre/mesure Module 3 Série 3 1 2 223

Activité 3 Ballons à l échelle Illustration originale Choix de réponses possibles Réponses et explications A. B. C. A. B. C. 224

Situations proportionnelles Nom : 3 Activité 1. Détermine si chaque situation est proportionnelle. Justifie ton choix. Situation 1 Situation 2 L âge d une personne par rapport à sa taille. Nombre d articles 2 5 10 Prix ($) 5 12,5 25 Situation proportionnelle Situation non proportionnelle Situation proportionnelle Situation non proportionnelle Explications : Explications : Situation 3 Situation 4 La masse des légumes et leur prix par kilogramme. Situation proportionnelle Situation non proportionnelle Le coût d une boîte de céréales de petit format et celui d une boîte de céréales de grand format. Situation proportionnelle Situation non proportionnelle Explications : Explications : 2. La taille du modèle réduit d un wagon miniature correspond à 2 000 fois la taille d un wagon réel. Voici les explications de deux élèves. Sophie dit que la taille du modèle réduit est proportionnelle à la taille du wagon. Sylvie dit que la taille du modèle réduit n est pas proportionnelle à la taille du wagon. Qui a raison? Explique ton raisonnement. Numération et sens du nombre/mesure Module 3 Série 3 1 2 225

Activité 3 Situations proportionnelles Corrigé 1. Détermine si chaque situation est proportionnelle. Justifie ton choix. Situation 1 Situation 2 L âge d une personne par rapport à sa taille. 2,5 5 Nombre d articles 2 Prix ($) 5 5 12,5 10 25 2,5 2,5 5 Situation proportionnelle x Situation non proportionnelle Explications : Voici un exemple d explication possible : Si cette situation était proportionnelle, cela voudrait dire que l on continuerait de grandir même à l âge adulte. Alors, la situation n est pas proportionnelle. x Situation proportionnelle Situation non proportionnelle Explications : Voici un exemple d explication possible : On multiplie toujours le nombre d articles par 2,5 pour obtenir le prix. Situation 3 Situation 4 La masse des légumes et leur prix par kilogramme. x Situation proportionnelle Situation non proportionnelle Explications : Voici un exemple d explication possible : Pour obtenir le prix total, on multiplie toujours la masse par le prix au kilogramme. Le coût d une boîte de céréales de petit format et celui d une boîte de céréales de grand format. Situation proportionnelle x Situation non proportionnelle Explications : Voici un exemple d explication possible : Une boîte de céréales grand format est souvent plus économique qu une boîte de petit format. Alors, la situation n est pas proportionnelle. 2. La taille du modèle réduit d un wagon miniature correspond à 2 000 fois la taille d un wagon réel. Voici les explications de deux élèves. Sophie dit que la taille du modèle réduit est proportionnelle à la taille du wagon. Sylvie dit que la taille du modèle réduit n est pas proportionnelle à la taille du wagon. Qui a raison? Explique ton raisonnement. Sophie a raison, car un modèle réduit est construit selon une échelle de mesure. Pour que le modèle réduit soit proportionnel au wagon réel, il faut que chaque élément du wagon miniature soit 2 000 fois plus petit que chaque élément du wagon réel. 226

Proportionnalité Nom : 3 Activité calculatrice Section A 1. a) Parmi les illustrations ci-dessous, laquelle est proportionnelle à l illustration originale? Justifie ton choix au moyen d une échelle de mesure. b) Calcule le pourcentage d agrandissement ou de réduction de l illustration. Laisse des traces de ton travail. Illustration originale Choix de réponses possibles A. C. B. 2. Les dimensions réelles d un rectangle sont de 2 cm sur 3 cm. Michelle doit reproduire le rectangle en utilisant l échelle de mesure 3 : 1. Qu arrivera-t-il aux dimensions du rectangle? 3. Un lapin mesure 0,3 m de longueur. Un dessin à l échelle du lapin mesure 5 cm de longueur. a) Quelle est l échelle du dessin? Laisse des traces de ton travail. b) Que représente cette échelle de mesure? 4. Voici 4 recettes de chocolat chaud. A. On ajoute 50 ml de chocolat en poudre à 200 ml de lait chaud. C. On ajoute 30 ml de chocolat en poudre à 150 ml de lait chaud. B. On ajoute 45 ml de chocolat en poudre à 175 ml de lait chaud. D. On ajoute 25 ml de chocolat en poudre à 90 ml de lait chaud. a) Quelle recette donne une boisson plus chocolatée? Justifie ta réponse. b) Classe les chocolats chauds, selon leur recette, du moins chocolaté au plus chocolaté. c) Quelles sont les deux recettes qu il faut combiner pour obtenir un chocolat chaud qui goûte exactement la même chose que celui de la recette C. 5. En 40 minutes, Martine termine 80 % du travail qu elle doit accomplir. Andrée, quant à elle, termine 50 % de son travail en 30 minutes. Combien de temps Martine et Andrée mettront-elles pour accomplir chacune leur travail? Numération et sens du nombre/mesure Module 3 Série 3 1 2 227

Activité 3 Section B Qui suis-je? a) Je suis de la famille des solides qui comportent au moins une surface courbe. b) Je suis un polygone qui délimite un polyèdre. c) Je suis un prisme dont les arêtes latérales ne sont pas perpendiculaires à ses bases. d) Je suis un polyèdre. J ai 5 sommets. e) Nous sommes des polyèdres dont toutes les faces sont des polygones réguliers congruents. f) Je suis le point de rencontre d au moins 3 arêtes d un polyèdre. g) Je suis un solide limité par une seule surface. h) J ai 2 bases parallèles et congruentes, 6 faces latérales rectangulaires et 18 arêtes. 228

Section A Proportionnalité Corrigé 3 Activité 1. a) Parmi les illustrations ci-dessous, laquelle est proportionnelle à l illustration originale? Justifie ton choix au moyen d une échelle de mesure. b) Calcule le pourcentage d agrandissement ou de réduction de l illustration. Laisse des traces de ton travail. Illustration originale Choix de réponses possibles A. C. B. Voici des exemples de réponses possibles : a) L illustration A est proportionnelle à l illustration originale. Échelle de mesure : Le rapport entre la longueur de la base des deux illustrations est de 2,1 cm qui correspond à 5,2 cm ou d environ 1 : 2,5. Le rapport entre la hauteur des deux illustrations est de 1,3 cm qui correspond à environ 3,3 cm ou de 1 : 2,5. Puisque les deux rapports obtenus sont identiques, on peut conclure que les illustrations sont proportionnelles. b) Pourcentage d agrandissement ou de réduction : Longueur de la base : 21, 100 % 40 % 52, Hauteur : 13, 100 % 40 % 33, Le pourcentage de réduction de l illustration est d environ 40 %. 2. Les dimensions réelles d un rectangle sont de 2 cm sur 3 cm. Michelle doit reproduire le rectangle en utilisant l échelle de mesure 3 : 1. Qu arrivera-t-il aux dimensions du rectangle? Voici des exemples de réponses possibles : Les dimensions du rectangle seront 3 fois plus grandes que celles du rectangle original. Les dimensions du rectangle seront de 6 cm sur 9 cm. Puisque le premier terme de l échelle de mesure est plus grand que le second terme, alors le dessin de Michelle sera plus grand que le rectangle original. Numération et sens du nombre/mesure Module 3 Série 3 1 2 229

Activité 3 3. Un lapin mesure 0,3 m de longueur. Un dessin à l échelle du lapin mesure 5 cm de longueur. a) Quelle est l échelle du dessin? Laisse des traces de ton travail. Voici un exemple de solution possible : longueur du dessin : longueur réelle du lapin = 5 cm : 0,3 m = 5 cm : 30 cm = 1 : 6 b) Que représente cette échelle de mesure? L échelle de mesure 1 : 6 signifie que le dessin à l échelle du lapin est 6 fois plus petit que le lapin. 4. Voici 4 recettes de chocolat chaud. A. On ajoute 50 ml de chocolat en poudre à 200 ml de lait chaud. C. On ajoute 30 ml de chocolat en poudre à 150 ml de lait chaud. B. On ajoute 45 ml de chocolat en poudre à 175 ml de lait chaud. D. On ajoute 25 ml de chocolat en poudre à 90 ml de lait chaud. a) Quelle recette donne une boisson plus chocolatée? Justifie ta réponse. Voici des exemples de solutions possibles : Recette A Recette B Recette C Recette D Exemple 1 Exemple 1 Exemple 1 Exemple 1 chocolat en poudre : lait = 50 : 200 = 1 : 4 chocolat en poudre : lait = 30 : 150 = 1 : 5 chocolat en poudre : lait = 45 : 175 1 : 3,9 chocolat en poudre : lait = 25 : 90 = 1 : 3,6 Exemple 2 Exemple 2 Exemple 2 Exemple 2 chocolat en poudre lait chocolat en poudre lait chocolat en poudre lait chocolat en poudre lait 50 30 45 25 = = = = 200 150 175 90 1 = 4 ou 1 1: 4 = 5 ou 1 : 5 9 5 = = 35 18 1 1 ou 1 : 3,9 = ou 1 : 3,6 3,9 3,6 La recette D donne une boisson plus chocolatée, soit 25 : 90 ou 1 : 3,6 car, pour la même quantité de chocolat en poudre, il y a moins de lait chaud. b) Classe les chocolats chauds, selon leur recette, du moins chocolaté au plus chocolaté. L ordre des chocolats chauds, selon leur recette, du moins chocolaté au plus chocolaté est recette B, recette A, recette C et recette D. c) Quelles sont les deux recettes qu il faut combiner pour obtenir un chocolat chaud qui goûte exactement la même chose que celui de la recette C. Le rapport de la quantité de chocolat en poudre à la quantité de lait, dans la recette C, est de 45 : 175 ou de 1 : 3,9. 230

Voici des exemples de solutions possibles : Si l on mélange la recette A à la recette D, on obtient le rapport : Exemple 1 Exemple 2 50 + 25 : 200 + 90 = 75 : 290 1 : 3,9 chocolat en poudre lait 50 + 25 = 200 + 90 75 = 290 15 = 58 1 3,9 Donc, il faut combiner les recettes A et D pour obtenir un chocolat chaud qui goûte exactement la même chose que celui de la recette C. 3 Activité 5. En 40 minutes, Martine termine 80 % du travail qu elle doit accomplir. Andrée, quant à elle, termine 50 % de son travail en 30 minutes. Combien de temps Martine et Andrée mettront-elles à accomplir chacune leur travail? Voici des exemples de solutions possibles : Exemple 1 Exemple 2 Martine : Martine : 40 40 min 80 % 40 40 : 80 1 min 2 % 1,25 1,25 10 10 10 min 20 % a : 100 Martine mettra 50 minutes à accomplir son travail, car 40 + 10 = 50. Andrée : 30 min 50 % 30 min 50 % Andrée mettra 60 minutes ou une heure à accomplir son travail, car 30 + 30 = 60. Section B a = 50 Martine mettra 50 minutes à accomplir son travail. Andrée : 30 : 50 2 2 a : 100 a = 60 Andrée mettra 60 minutes ou une heure à accomplir son travail. Qui suis-je? a) Je suis de la famille des solides qui comportent au moins une surface courbe. La famille des corps ronds. b) Je suis un polygone qui délimite un polyèdre. Je suis une face. c) Je suis un prisme dont les arêtes latérales ne sont pas perpendiculaires à ses bases. Je suis un prisme oblique. d) Je suis un polyèdre. J ai 5 sommets. Je suis une pyramide à base carrée ou à base rectangulaire. Numération et sens du nombre/mesure Module 3 Série 3 1 2 231

Activité 3 e) Nous sommes des polyèdres dont toutes les faces sont des polygones réguliers congruents. Nous sommes des polyèdres réguliers. f) Je suis le point de rencontre d au moins 3 arêtes d un polyèdre. Je suis un sommet. g) Je suis un solide limité par une seule surface. Je suis une sphère. h) J ai 2 bases parallèles et congruentes, 6 faces latérales rectangulaires et 18 arêtes. Je suis un prisme à base hexagonale. 232

L ensemble des nombres entiers 1 Activité Au cours de cette activité, l élève représente des nombres entiers en utilisant des droites numériques et des jetons bicolores et établit des liens entre les deux modèles. Pistes d observation L élève : représente les nombres entiers au moyen de droites numériques et de jetons bicolores; représente le nombre zéro de différentes façons; situe des nombres entiers sur une droite numérique; effectue des déplacements sur une droite numérique; compare et ordonne des nombres entiers. Matériel requis crayons-feutres rouges et jaunes crayons-feutres à encre effaçable rouges et jaunes feuilles grand format jetons bicolores (10 jetons par élève) rétroprojecteur ruban-cache transparent Les ensembles de nombres transparent Des nombres entiers en contexte feuille Les nombres entiers (une droite numérique par élève) fiche Représentations de nombres entiers (une copie par élève) Avant la présentation de l activité reproduire, au tableau, la droite numérique ci-dessous en utilisant du ruban-cache; 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Note : La droite numérique sera utilisée tout le long des activités de cette série. tracer, sur une feuille grand format, le tableau suivant. Droite numérique Jetons bicolores Égalités équivalentes Numération et sens du nombre/mesure Module 3 Série 2 3 1 37

Activité 1 Déroulement Étape 1 Les nombres entiers Les nombres entiers appartiennent à l ensemble. = {, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, } Chaque nombre entier est formé d un nombre et d un signe ( ou + ). Chaque nombre entier a un opposé (p. ex., 3 et + 3). L opposé d un nombre positif est un nombre négatif de même «quantité» (valeur absolue), et vice versa. Les signes et + sont associés au nombre. Ce ne sont pas des signes d opération. Ainsi, le nombre 4 se lit : «l opposé de 4» ou «négatif 4». Il n y a pas d espace entre le signe négatif et le nombre «4», puisqu il ne s agit pas de l opération de soustraction. Zéro n est ni un nombre positif ni un nombre négatif, car il est le seul nombre à être son propre opposé. Sur la droite numérique, les nombres sont par ordre croissant de la gauche vers la droite et par ordre décroissant de la droite vers la gauche. Dire aux élèves qu au cours des activités portant sur les nombres elles et ils ont vu que les mathématiciennes et les mathématiciens ont élaboré le système de numération en créant des ensembles et des sous-ensembles de nombres. Elles et ils ont créé différents ensembles de nombres dont l ensemble des nombres naturels, l ensemble des nombres décimaux, l ensemble des nombres rationnels et l ensemble des nombres irrationnels. Dire aux élèves que les propriétés de l ensemble des nombres entiers seront revues au cours de cette activité. Projeter le transparent Les ensembles de nombres et revoir les propriétés des nombres rationnels, des nombres entiers et des nombres naturels. Faire remarquer aux élèves que les nombres entiers sont un sous-ensemble des nombres rationnels. Montrer aux élèves la droite numérique reproduite au tableau. Revoir avec les élèves que les nombres situés sur la droite numérique représentent l ensemble des nombres entiers, et que le symbole utilisé pour les représenter est. Demander aux élèves d observer la droite numérique reproduite au tableau et de décrire les nombres qui s y trouvent. Voici des exemples de réponses possibles : Il y a des nombres à la droite de 0 et des nombres à la gauche de 0. Il y a le signe devant les nombres à la gauche de 0. + Il y a le signe devant les nombres à la droite de 0. Il y a des nombres négatifs à la gauche de 0 et des nombres positifs à la droite de 0. Les nombres sont par ordre croissant de la gauche vers la droite et ils sont par ordre décroissant de la droite vers la gauche. Le zéro n est ni un nombre positif ni un nombre négatif. Le zéro, sur la droite numérique, est la frontière entre les nombres positifs et les nombres négatifs. 38

Laisser, sur la droite numérique, les traces suivantes. Nombres négatifs Frontière entre les nombres positifs et négatifs Nombres positifs 1 Activité 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Faire ressortir : que chaque nombre entier est formé d un nombre et d un signe ( ou + ); que le nombre 4 se lit : «négatif 4» et que le nombre + 4 se lit : «positif 4»; que les signes et + sont associés au nombre; ce ne sont pas des signes d opération. L écriture des nombres entiers Voici trois façons différentes d écrire les mêmes nombres entiers. + 3 = +3 = (+3) = 3 3 = 3 = (3) Nous avons choisi d utiliser la notation + 3 et 3 pour aider l élève à distinguer le symbole de la soustraction du signe négatif. Dans le cas d un nombre positif, son signe, c est-à-dire le symbole +, est facultatif. Ex. : 3 = + 3 Projeter le transparent Des nombres entiers en contexte et dire aux élèves que l on trouve des nombres entiers dans plusieurs situations de la vie courante. Lire la situation A : «Tu gagnes 5 points à un jeu vidéo». Questions à poser Par quel nombre entier peuxtu représenter le nombre de points que tu as gagnés? On peut les représenter par + 5. Ce nombre est-il situé à la gauche ou à la droite de 0 sur la droite numérique? Ce nombre est situé à la droite de 0 sur la droite numérique. Combien d unités y a-t-il entre 0 et + 5? Il y a cinq unités entre 0 et + 5. Éléments à écrire sur la droite numérique collective et sur le transparent Tracer le déplacement, sur la grande droite numérique, au moyen d une flèche. 5 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Remplir, sur le transparent, les trois premières colonnes du tableau. Nombre entier + 5 Droite numérique Représentations Mots 5 5 unités 0 + 5 vers la droite Jetons bicolores Mots Revoir avec les élèves : que les nombres entiers peuvent aussi être représentés par des jetons bicolores; que la quantité est représentée par le nombre de jetons; Numération et sens du nombre/mesure Module 3 Série 2 3 1 39

Activité 1 que le signe d un nombre est représenté par la couleur du jeton : la couleur rouge représente une valeur négative et la couleur jaune représente une valeur positive. Questions à poser Quels jetons peut-on utiliser pour représenter le nombre + 5? On peut utiliser 5 jetons jaunes. Pourquoi utilise-t-on des jetons jaunes pour représenter ce nombre? On utilise des jetons jaunes, car + 5 est un nombre positif, et les jetons jaunes représentent des valeurs positives. Éléments à écrire sur le transparent Remplir, sur le transparent, les deux dernières colonnes du tableau. Nombre entier + 5 Droite numérique Représentations Mots 5 5 unités 0 + 5 vers la droite Jetons bicolores Mots 5 jetons jaunes Reprendre la même démarche pour les situations B, C et D. Laisser des traces sur la droite numérique collective et remplir chaque tableau au fur et à mesure que les élèves répondent aux questions. Éléments à écrire sur la droite numérique collective Situations A, B, C et D 5 2 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 5 Éléments à écrire sur le transparent Situation B Tu perds 5 points à un jeu vidéo. Nombre entier Droite numérique Représentations Mots Jetons bicolores Mots 5 5 5 unités 5 0 vers la gauche 5 jetons rouges Situation C Tu avances un pion de 2 cases sur un échiquier. Nombre entier Droite numérique Représentations Mots Jetons bicolores Mots + 2 0 2 2 unités vers la droite + 2 2 jetons jaunes 40

Situation D Tu recules un pion de 2 cases sur un échiquier. Nombre entier Droite numérique Représentations Mots Jetons bicolores Mots 1 Activité 2 2 2 unités 2 0 vers la gauche 2 jetons rouges Faire ressortir : que l on peut représenter un même nombre entier au moyen d une droite numérique et de jetons bicolores; qu un jeton jaune représente un nombre entier positif; ce nombre peut aussi être représenté par un déplacement vers la droite sur la droite numérique; qu un jeton rouge représente un nombre entier négatif; ce nombre peut aussi être représenté par un déplacement vers la gauche sur la droite numérique. Questions à poser Quels mots de sens contraire trouve-t-on dans chacune des situations décrites sur le transparent? On trouve les mots gagnes et perds dans les situations portant sur le jeu vidéo. On trouve les mots avances et recules dans les situations portant sur le jeu d échecs. Si tu observes les déplacements tracés sur la droite numérique, que peux-tu dire des déplacements représentés par les situations A et B, et par les situations C et D? Dans les situations A et B, chaque déplacement est de 5 unités en partant de 0. Le nombre + 5 représente un déplacement vers la droite et le nombre 5 représente un déplacement vers la gauche. Dans les situations C et D, chaque déplacement est de 2 unités en partant de 0. Le nombre + 2 représente un déplacement vers la droite et le nombre 2 représente un déplacement vers la gauche. Éléments à écrire au tableau Écrire les mots de sens contraire. gagnes avances perds recules Ajouter les notes ci-dessous sur la droite numérique. 5 2 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 et 2 sont des nombres opposés 5 et 5 sont des nombres opposés 2 5 Numération et sens du nombre/mesure Module 3 Série 2 3 1 41

Activité 1 Faire ressortir : que les nombres + 5 et 5 sont des nombres de signes contraires tout comme les mots gagnes et perds sont des mots de sens contraire; que les nombres + 2 et 2 sont des nombres de signes contraires tout comme les mots avances et recules sont des mots de sens contraire; qu en mathématiques on dit que ces nombres sont des opposés; que deux nombres opposés sont à égale distance de zéro, l un est à la droite de zéro et l autre est à la gauche de zéro; qu un des nombres est positif et que l autre est négatif. Expliquer aux élèves : qu il est possible d entrer des nombres entiers sur une calculatrice; que la touche représentant l opération de soustraction est différente de la touche représentant le signe négatif associé aux nombres entiers négatifs. Note : Utiliser des calculatrices sur lesquelles il est possible d écrire des nombres entiers négatifs. Préciser que, sur les calculatrices, on écrit les nombres entiers positifs de la même façon que les nombres naturels. Toutefois, la procédure pour entrer les nombres entiers négatifs varie selon la calculatrice utilisée. Voici deux exemples. Parfois, il faut écrire le nombre, puis appuyer sur la touche «+/». Parfois, il faut appuyer sur la touche avant d écrire le nombre. Demander aux élèves d écrire les nombres ci-dessous, sur la calculatrice, en utilisant les touches appropriées. l opposé de 8 : 8 l opposé de l opposé de ( 10) : 10 l opposé de 9 : + 9 l opposé de 6 + 13 : 19 Remettre à chaque élève une droite numérique de la feuille Les nombres entiers. Demander aux élèves d écrire les nombres entiers sur la droite numérique et de la conserver, dans leur cahier, pour s y référer, au besoin, tout le long du module. 42

Étape 2 Fixer, au tableau, le tableau tracé sur la feuille grand format. Droite numérique Jetons bicolores Égalités équivalentes 1 Activité Déposer un jeton jaune et un jeton rouge sur la surface vitrée du rétroprojecteur. Questions à poser Quel nombre le jeton jaune et le jeton rouge représentent-ils? Comment le saistu? C est 0, car un jeton jaune, c est 1 et un jeton rouge c est 1, alors cela fait 0. Comment peut-on représenter cette situation sur une droite numérique? On peut effectuer un déplacement de 0 à + 1 et un autre de + 1 à 0. Comment peut-on écrire le nombre zéro au moyen d égalités lorsqu on observe les jetons et la droite numérique? On peut écrire : 1 1 = 0. Peut-on écrire cette égalité d une autre façon? Oui, on peut écrire : + 1 1 = 0 ou + 1 + 1 = 0. Éléments à écrire sur la feuille grand format Remplir le tableau au fur et à mesure que les élèves donnent des réponses. Encercler les deux jetons pour montrer qu ils représentent le nombre zéro. Droite numérique 1 1 0 + 1 Jetons bicolores Égalités équivalentes 1 1 = 0 + 1 1 = 0 + 1 + 1 = 0 Numération et sens du nombre/mesure Module 3 Série 2 3 1 43

Activité 1 Déposer un jeton rouge et un jeton jaune sur la surface vitrée du rétroprojecteur. Questions à poser Quel nombre le jeton rouge et le jeton jaune représentent-ils? C est encore zéro, car c est 1 et + 1. Comment peut-on représenter cette situation sur une droite numérique? On peut effectuer un déplacement de 0 à 1 et un autre de 1 à 0. Comment peut-on écrire le nombre zéro au moyen d égalités lorsqu on observe les jetons et la droite numérique? On peut écrire : 1 + 1 = 0 ou 1 + + 1 = 0. Éléments à écrire sur la feuille grand format Remplir le tableau au fur et à mesure que les élèves donnent des réponses. Encercler les deux jetons pour montrer qu ils représentent le nombre zéro. Droite numérique 1 1 0 + 1 ou 1 1 1 0 Jetons bicolores ou Égalités équivalentes 1 1 = 0 + 1 1 = 0 + 1 + 1 = 0 ou 1 + 1 = 0 1 + + 1 = 0 Remettre à chaque élève des jetons bicolores. Dire aux élèves : de reproduire le tableau dans leur cahier; de reprendre la même démarche en plaçant, sur leur pupitre, une quantité égale de jetons rouges et de jetons jaunes de manière à représenter le nombre zéro; de remplir le tableau en représentant la situation au moyen de droites numériques, de jetons bicolores et d égalités équivalentes. Donner aux élèves le temps requis pour réaliser le travail. Circuler parmi les élèves et intervenir, au besoin, en leur posant des questions. Voici des exemples de questions : Ces deux nombres sont-ils des opposés? Pourquoi? Comment peux-tu les représenter sur la droite numérique? au moyen de jetons bicolores? Comment peux-tu écrire le nombre zéro au moyen d égalités lorsque tu observes les jetons bicolores et la droite numérique? Animer un échange mathématique au cours duquel les élèves échangent leurs solutions. Remplir le tableau au fur et à mesure que les élèves donnent des réponses. Encercler les jetons pour montrer aux élèves qu ils représentent le nombre zéro. Voici des exemples de solutions possibles. Droite numérique Jetons bicolores Égalités équivalentes 3 3 3 = 0 + 3 3 3 = 0 3 + 3 = 0 0 + 3 44

1 3 3 ou ou ou 3 + 3 = 0 3 + + 3 = 0 Activité 3 0 5 5 5 = 0 5 + 5 5 = 0 5 + 5 = 0 0 + 5 5 5 ou ou ou 5 + 5 = 0 5 + + 5 = 0 5 0 Faire ressortir : que deux nombres opposés ont une valeur neutre ou égale à zéro; que, sur la droite numérique, le point de départ de la première flèche est toujours 0; que le point de départ de la seconde flèche se situe au point d arrivée de la première flèche; qu en suivant, sur la droite numérique, les flèches représentant les déplacements des nombres opposés, on revient au point de départ, soit le 0; qu un jeton jaune et un jeton rouge représentent le nombre zéro; que l on peut représenter le nombre zéro de plusieurs façons; qu une addition de nombres entiers peut s exprimer au moyen d une soustraction (p. ex., 1 + 1 = 1 1). Remettre à chaque élève la fiche Représentations de nombres entiers et choisir les exercices à réaliser individuellement. Lien journal Dire aux élèves de répondre, dans leur journal de mathématiques, à la question suivante. Chaque nombre entier a un opposé. Qu est-ce que cela signifie? Numération et sens du nombre/mesure Module 3 Série 2 3 1 45

Activité 1 Les ensembles de nombres Nombres rationnels : Nombres obtenus à partir d un quotient de deux nombres. Nombres entiers : Nombres obtenus en soustrayant un nombre naturel d un autre nombre naturel (p. ex., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3). Nombres naturels : Nombres obtenus en additionnant autant de «1» que l on veut (p. ex., 0, 1, 2, 3, 4,...). Nombres irrationnels : Nombres que l on ne peut pas exprimer sous la forme d une fraction. 2 = 1,414 213 562... = 3,141 592 654... 46

1 Des nombres entiers en contexte Activité Situation A Tu gagnes 5 points à un jeu vidéo. Nombre entier Représentations Droite numérique Mots Jetons bicolores Mots Situation B Tu perds 5 points à un jeu vidéo. Nombre entier Représentations Droite numérique Mots Jetons bicolores Mots Situation C Tu avances un pion de 2 cases sur un échiquier. Nombre entier Représentations Droite numérique Mots Jetons bicolores Mots Situation D Tu recules un pion de 2 cases sur un échiquier. Nombre entier Représentations Droite numérique Mots Jetons bicolores Mots Numération et sens du nombre/mesure Module 3 Série 2 3 1 47

Les nombres entiers 0 0 0 Activité 1 48

Représentations de nombres entiers Nom : 1 Activité jetons bicolores Section A 1. Dans chaque cas, trouve le nombre mystère. a) Je suis l opposé de + 100. b) Je suis le nombre entier plus petit que 2 mais plus grand que 4. c) Je suis le nombre entier plus grand que l opposé de + 7 mais plus petit que l opposé de + 5. d) Je suis le nombre entier plus petit que l opposé de 4 mais plus grand que l opposé de 2. 2. Reproduis le tableau ci-dessous et remplis-le. Droite numérique a) 6 b) c) 6 5 4 3 2 1 0 Nombre entier 5 Jetons bicolores 3. Reproduis le tableau ci-dessous et remplis-le. Aligne les jetons, associe-les, puis encercle-les de manière à représenter le nombre zéro. Droite numérique Jetons bicolores Égalités équivalentes 4. Dans chaque cas, encercle le nombre entier qui est le plus près de zéro. a) + 4 ou 3 b) 7 ou + 9 c) + 9 ou 8 d) 4 ou + 4 Numération et sens du nombre/mesure Module 3 Série 2 3 1 49

Activité 1 5. Mets les nombres entiers ci-dessous en ordre croissant. a) 3, + 9, 8, 0, 2, + 4 b) 10, + 5, 0, 9, + 3, 2 6. a) Écris les nombres entiers qui se situent entre 6 et 0. b) Écris les nombres entiers qui se situent entre 15 et 5. c) Écris quatre nombres entiers inférieurs à l opposé de 6. d) Écris quatre nombres entiers supérieurs à l opposé de 5. e) Écris quatre nombres entiers supérieurs à l opposé de 9 et inférieurs à l opposé de 4. 7. Il y a 12 unités qui séparent deux nombres opposés sur la droite numérique. Quels sont ces nombres entiers? Illustre ta solution à l aide d une droite numérique. 8. Il y a 6 unités entre deux nombres entiers. Quels sont ces deux nombres entiers? Donne deux réponses différentes. Illustre tes solutions à l aide de droites numériques. 9. À Kapuskasing, la plus basse température enregistrée fut de - 47 C et la plus haute température enregistrée fut de 38 C. Quel est l écart de température? Laisse des traces de ton travail. 10. En 2006, la température moyenne à Ottawa était de 10 C en février et de 20 C en juillet. Quel est l écart de température? Laisse des traces de ton travail. 11. Voici un tableau des températures minimales enregistrées au cours d une période de 6 jours, en janvier 2008, à Opasatika en Ontario. Illustre les données au moyen d une droite numérique. 25 janvier 26 janvier 27 janvier 28 janvier 29 janvier 30 janvier 14 C 21 C 10 C 3 C 0 C 25 C a) Durant cette période, quelle journée a été la plus froide? b) Durant cette période, quelle journée a été la plus chaude? c) Entre quelles journées consécutives y a-t-il eu la plus grande variation de température? Quelle est cette variation? d) Entre quelles journées consécutives y a-t-il eu la plus petite variation de température? Quelle est cette variation? e) Il faisait 15 C de moins le 24 janvier que le 25 janvier. Quelle était la température le 24 janvier? Section B 1. En partant des additions ci-dessous, écris deux soustractions différentes. a) 4 + 3 b) 5 + 3 c) 6 + 5 2. Détermine la valeur de l inconnue. Laisse des traces de ton travail. a) 4 + a = 16 b) b 3 = 21 3. Utilise la relocalisation pour évaluer chaque expression numérique. a) 24 + 4 10 14 + 6 b) 12 20 + 5 3 + 8 50

Section A Représentations de nombres entiers Corrigé 1 Activité 1. Dans chaque cas, trouve le nombre mystère. a) Je suis l opposé de + 100. Je suis 100. b) Je suis le nombre entier plus petit que 2 mais plus grand que 4. Je suis 3. c) Je suis le nombre entier plus grand que l opposé de + 7 mais plus petit que l opposé de + 5. Je suis 6. d) Je suis le nombre entier plus petit que l opposé de 4 mais plus grand que l opposé de 2. Je suis 3. 2. Reproduis le tableau ci-dessous et remplis-le. Droite numérique a) 6 b) 6 5 4 3 2 1 0 7 c) 0 1 2 3 4 5 6 7 5 5 4 3 2 1 0 Nombre entier 6 7 5 Jetons bicolores 3. Reproduis le tableau ci-dessous et remplis-le. Aligne les jetons, associe-les, puis encercle-les de manière à représenter le nombre zéro. Voici des exemples de réponses possibles : Droite numérique Jetons bicolores Égalités équivalentes Exemple 1 4 4 4 0 Exemple 2 4 4 0 + 4 Exemple 1 Exemple 2 4 4 = 0 + 4 4 = 0 4 + 4 = 0 4 + 4 = 0 4 + + 4 = 0 Exemple 1 3 3 3 0 Exemple 2 3 3 0 + 3 Exemple 1 Exemple 2 3 3 = 0 + 3 3 = 0 3 + 3 = 0 3 + 3 = 0 3 + + 3 = 0 Numération et sens du nombre/mesure Module 3 Série 2 3 1 51

Activité 1 4. Dans chaque cas, encercle le nombre entier qui est le plus près de zéro. a) + 4 ou 3 b) 7 ou + 9 c) + 9 ou 8 d) 4 ou + 4 Les deux nombres sont à égale distance de zéro. 5. Mets les nombres entiers ci-dessous en ordre croissant. a) 3, + 9, 8, 0, 2, + 4 8, 3, 2, 0, + 4, + 9 b) 10, + 5, 0, 9, + 3, 2 10, 9, 2, 0, + 3, + 5 6. a) Écris les nombres entiers qui se situent entre 6 et 0. Les nombres entiers qui se situent entre 6 et 0 sont 1, 2, 3, 4, 5. b) Écris les nombres entiers qui se situent entre 15 et 5. Les nombres entiers qui se situent entre 15 et 5 sont 14, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6. c) Écris quatre nombres entiers inférieurs à l opposé de 6. Voici des exemples de réponses possibles : L opposé de 6 est 6. 7, 14, 140, 16 d) Écris quatre nombres entiers supérieurs à l opposé de 5. Voici des exemples de réponses possibles : L opposé de 5 est 5. 10, 20, 140, 38 e) Écris quatre nombres entiers supérieurs à l opposé de 9 et inférieurs à l opposé de 4. L opposé de 9 est 9 et l opposé de 4 est 4. Les nombres entiers situés entre 9 et 4 sont 8, 7, 6 et 5. 7. Il y a 12 unités qui séparent deux nombres opposés sur la droite numérique. Quels sont ces nombres entiers? Illustre ta solution à l aide d une droite numérique. 6 12 6 Les deux nombres entiers sont + 6 et 6. Il y a 12 unités qui séparent ces deux nombres. 6 0 + 6 8. Il y a 6 unités entre deux nombres entiers. Quels sont ces deux nombres entiers? Donne deux réponses différentes. Illustre tes solutions à l aide de droites numériques. Voici des exemples de réponses possibles : 6 Les deux nombres entiers sont + 3 et 3. Il y a 6 unités qui séparent ces deux nombres. 3 0 + 3 6 Les deux nombres entiers sont 0 et + 6. Il y a 6 unités qui séparent ces deux nombres. 0 + 6 52

9. À Kapuskasing, la plus basse température enregistrée fut de - 47 C et la plus haute température enregistrée fut de 38 C. Quel est l écart de température? Laisse des traces de ton travail. 1 Activité + 38 C + 47 C 38 C 0 C 47 C L écart de température est de 85 C, car 47 + 38 = 85. 10. En 2006, la température moyenne à Ottawa était de 10 C en février et de 20 C en juillet. Quel est l écart de température? Laisse des traces de ton travail. + 20 C + 10 C 20 C 0 C 10 C L écart de température est de 30 C, car 10 + 20 = 30. 11. Voici un tableau des températures minimales enregistrées au cours d une période de 6 jours, en janvier 2008, à Opasatika en Ontario. Illustre les données au moyen d une droite numérique. 25 janvier 26 janvier 27 janvier 28 janvier 29 janvier 30 janvier 14 C 21 C 10 C 3 C 0 C 25 C 25 21 14 10 3 0 a) Durant cette période, quelle journée a été la plus froide? La journée la plus froide a été le 30 janvier. b) Durant cette période, quelle journée a été la plus chaude? La journée la plus chaude a été le 29 janvier. c) Entre quelles journées consécutives y a-t-il eu la plus grande variation de température? Quelle est cette variation? 25 25 21 14 10 3 0 La plus grande variation de température a eu lieu entre le 29 et le 30 janvier. La température a varié de 25 degrés Celsius. Numération et sens du nombre/mesure Module 3 Série 2 3 1 53

Activité 1 d) Entre quelles journées consécutives y a-t-il eu la plus petite variation de température? Quelle est cette variation? 3 25 21 14 10 3 0 La plus petite variation de température a eu lieu entre le 28 et le 29 janvier. La température a varié de 3 degrés Celsius. e) Il faisait 15 C de moins le 24 janvier que le 25 janvier. Quelle était la température le 24 janvier? 15 29 25 21 14 10 3 0 Le 24 janvier, la température était de 29 C. Section B 1. En partant des additions ci-dessous, écris deux soustractions différentes. a) 4 + 3 = 7 7 3 = 4 7 4 = 3 b) 5 + 3 = 8 8 3 = 5 8 5 = 3 2. Détermine la valeur de l inconnue. Laisse des traces de ton travail. a) 4 + a = 16 4 + a = 4 + 12 a = 12 b) b 3 = 21 24 3 = 21 b = 24 3. Utilise la relocalisation pour évaluer chaque expression numérique. a) 24 + 4 10 14 + 6 = 24 14 + 4 + 6 10 = 10 + 10 10 = 10 b) 12 20 + 5 3 + 8 = 12 + 8 20 + 5 3 = 12 + 8 20 + 2 = 20 20 + 2 = 0 + 2 = 2 c) 6 + 5 = 11 11 5 = 6 11 6 = 5 54