DOUBLE-PUITS- MECANIQUE QUANTIQUE Paramètres du problème : Largeur d un puits Hauteur d un puits Ecart entre les deux puits Modélisation de la liaison chimique : COURS 4 LES-PRINCIPES- DE-LA-MECANIQUE- QUANTIQUE QUENTIN GLORIEUX 3P001 UNIVERSITE PIERRE ET MARIE CURIE 015-016 Inversion de la molécule d ammoniac MODELISATION-DU-DOUBLE-PUITS On s intéresse aux niveaux d énergie E<V 0 PHÉNOMÈNE-D INVERSION On a trouvé les solutions symétriques et anti-symétriques (ce sont les états propres de l énergie). On peut les combiner linéairement : "b b Cette combinaison linéaire va donc évoluer dans le temps!!! On cherche les solutions sous la forme ci-contre avec des solutions paires et des solutions impaires. avec =(E A E S )/h =A / e K, la fréquence de Bohr du système. Cette valeur vaut = 4 GHz pour l ammoniac. Très sensible à b et V 0 3 4
Principe de superposition : A chaque système physique est associé un espace de Hilbert. L état du système est défini à chaque instant par un vecteur normé de : (t)i Espace de Hilbert : Espace vectoriel de dimension finie ou infinie, muni d une norme et d un produit scalaire défini positif, complet et séparable (contient un ensemble dénombrable dense) Exemple : espace des fonctions de carré sommable Description non unique : plusieurs bases dans une espace vectoriel, par exemple la représentation x et p que l on a vu en mécanique ondulatoire Ces deux représentations sont le même vecteur de PREMIER-POSTULAT- UN-EXEMPLE-AVEC-LA- MÉCANIQUE-ONDULATOIRE Comment caracteriser une fonction d onde? 1. A l aide de ses valeurs en tout point de l espace position (x) infinité non dénombrable. A l aide de sa transformée de Fourier (ses valeurs en tout point de l espace impulsion) '(p) = p 1 Z (x)e ipx/~ dx ~ infinité non dénombrable 3. A l aide de sa décomposition sur une base Hilbertienne n : C est à dire les coefficients C 0,C 1,...C n infinité dénombrable 5 6 PRODUIT-SCALAIRE-HERMITIEN CONSEQUENCES-DU-PREMIER-POSTULAT Définition d un produit scalaire de 1 i par i dans : Définition de la norme : Hermitien : Linéaire en 1 i Anti-linéaire en i En dimension finie : Normalisation : Décomposition : Dans les espaces séparables (espaces de Hilbert) il existe une base Hilbertienne. On peut décomposer les vecteurs de l espace sur cette base ni: i = X X C n ni C n =1 n n C n Les se calculent en faisant le produit scalaire : C n = h n i En dimension infinie : Relation de fermeture : X nih n = I n 7 8
PRINCIPE-DE-SUPERPOSITION NOTATIONS-DE-DIRAC-:-BRAS-ET-KETS- C est un point clé de la Physique Quantique, qui est sous-jacent de la notion d espace vectoriel. Si 1 i est dans et i est dans alors toutes combinaisons linéaires est également dans Pour conservez la normalisation on a par exemple : i = 1 p 1 i + ei p i Définitions des kets. Depuis le début de ce cours nous utilisons la notation de Dirac. On a vu qu un ket est un élement de Définitions des bras. On introduit l espace dual de noté " H, l espace vectoriel des applications linéaires de. Les élements de " H sont notés h et sont appelés : bras. Le facteur de phase global ne joue aucun role, par contre le facteur de phase entre les deux vecteurs 1 i et i est très important! Autres exemples : Le produit scalaire de kets peut s interpreter comme l application d un bra sur un ket. C est alors un produit matriciel d un vecteur ligne (le bra) sur un vecteur colonne (le ket) : bra X ket = nombre complexe les états symétriques et anti-symétriques de la molécule d ammoniac (espace de dimension ) Les fonctions de Hermite (espace de dimension infinie) Le bra associé à un ket est 9 10 EXEMPLE-:-LA-POLARISATION-D UN-PHOTON EXEMPLE-:-LA-POLARISATION-D UN-PHOTON Comme pour le champ électromagnétique, on peut définir la polarisation des photons lorsqu ils sont émis un par un. On travaille dans un espace vectoriel de dimension. Il est possible de construire une superposition des deux états : C est un degré de liberté supplémentaire (longueur d onde, direction ) i = cos li +sin $i Pour un photon se propageant dans le vide vers la droite (z >0), on définit une base pour la polarisation du photon : C est la situation suivante : i Orthonormé : Polarisation H Polarisation V $i li h$ li =0 h$ $i =1 $i hl li =1 Rien ne sort! hl $i =0 Loi de Malus : Probabilité de transmission : hl i = cos Préparation de l état Mesure 11 1
QUIZZ-< POLARISATION-CIRCULAIRE-: DEUXIEME-POSTULAT A toute grandeur physique A est associé un opérateur linéaire autoadjoint (ou hermitien)  de " H. On dit que  est l observable correspondant à la grandeur physique A. Soit i l état d un système au moment où l on effectue une mesure de la grandeur A. Quelque soit i, les seuls résultats possibles de cette mesure sont les valeurs propres a de l observable Â. Pour des valeurs propres non-dégénérées, la probabilité de trouver le resultat a lors d une mesure de A est donnée par : P(a )= C avec i = X C i On peut étendre ce résultat à toutes les valeurs propres : projecteurs Immédiatement après la mesure de A ayant donnée la valeur le nouvel état du système 0 iest : a 0 i = i/ 13 14 OPERATEURS-DANS-L ESPACE-DE-HILBERT OPÉRATEURS-HERMITIENS Un opérateur linéaire  est une application linéaire de qui transforme un ket i en un autre ket  i. dans lui même Produit scalaire avec un autre ket i : h ( i) =(h Â) i du fait de l associativité du produit matriciel. On note donc : h  i On peut caractériser totalement un opérateur hilbertien par sa matrice dans une base hilbertienne. En dimension finie l élement de matrice de  entre i et iest h  i " H Représentation matricielle d un opérateur auto-adjoint : En dimension finie, un opérateur est hermitien si et seulement si sa matrice [A vérifie A ij = A ij ] ji Les matrices sont donc réelles sur la diagonale et de symétrie hermitienne pour les termes non-diagonaux. Les operateurs x et p sont ils auto-adjoints? Théorème spectral : Un opérateur hermitien est diagonalisable et on peut former une base hilbertienne avec ses vecteurs propres La valeur moyenne d un opérateurâ pour l état i est donné par : hai = h  i 15 16
QUIZZ-:-REGLES-DE-CALCUL MESURE-ET-PROJECTEURS Multiplication d un ket par un bra : avec = hv i. Définition d un projecteur sur l état ni : On a : et Relation de fermeture : Pour des valeurs propres quelconques, la probabilité de trouver le resultat lors d une mesure de A est donnée par : a 17 18 HAMILTONIEN-:-OPÉRATEUR-ÉNERGIE TROISIEME-POSTULAT Les vecteurs propres i du Hamiltonien sont des états stationnaires Si on mesure l énergie du système, l observable est le Hamiltonien. Juste après la mesure l état du système est i correspondant à la valeur propre. E Evolution temporelle : Soit (t)i l état d un système à l instant t. Tant que le système n est soumis à aucune observation, son évolution au cours du temps est régie par l équation de Schro dinger : Son évolution temporelle est donc (t)i = ie ie t/~ Une mesure ultérieure de l énergie donnera donc à nouveau. Si maintenant on mesure l observable  quelconque, ses vecteurs propres n ont aucune raison d être des états stationnaires. Lors de la mesure, on projette sur un état propre de  : i E Si H ne dépend pas explicitement du temps, les états propres de l énergie sont les vecteur propres de H : On peut décomposer un vecteur d état quelconque sur la base formée de ces états propres : i peut se décomposer dans la base i. Immédiatement après la mesure on est dans l état i, mais il s ensuit une évolution temporelle qui ne conserve pas l état propre de Â!! 19 0
EVOLUTION-TEMPORELLE A l instant t, nous aurons : Trouver l évolution temporelle d un vecteur d état revient donc à trouver les coefficients (t) On pose donc l équation de Schrödinger : On a ensuite (orthogonalité de vecteurs propres) : On a donc : Ce n est rien d autre qu une généralisation du cours! SUPERPOSITION-D ETATS-STATIONNAIRES Soient 1 i et i deux vecteurs propres normalisés d un Hamiltonien Ĥ correspondant à des valeurs propres distinctes E 1 et E. Prenons l état i = p 1 ( 1 i i) Calculons la valeur moyenne de l énergie pour cet état, ainsi que l écart quadratique moyen? Le système est dans l état i à t=0, donnez son évolution temporelle? Imaginons un observable  qui a les propriétés suivantes : Donnez une représentation matricielle de Â. Donnez ses valeurs propres? Donnez ses vecteurs propres comme combinaison linéaire de 1 i et i? Si le système est dans l état i à t=0, quel est la probabilité de trouver la valeur -1 lors d une mesure de  au temps t? 1 RAPPEL-ET-POSITION-DU-PROBLEME EVOLUTION-TEMPORELLE Comme d habitude : A i Puis avec S i On ne s intéresse qu aux deux niveaux d énergie les plus bas, ce sont des états propres de H, donc stationnaires A i et S i. Un état quelconque s écrira dans cette base : ou sous forme matricielle : avec + µ =1 Que vaut le Hamiltonien dans cette base? Nous avions définis D i et G i, les états correspondant aux configurations classiques d une particule à droite ou à gauche. Soit sous forme matricielle : Ce sont les vecteurs propres de : C est la restriction du Hamiltonien au sous-espace qui nous intéresse! 3 4
OBSERVABLE-POSITION COUPLAGE-ET-TRANSITION L observable X est donc l observable «position» : On peut inverser le problème et se demander comment s écrit le Hamiltonien, l observable position et les états symétriques et antisymétriques dans la base D i et G i? On obtient la valeur +1 si la particule est à droite et -1 à gauche. Ce n est pas l observable position au sens des fonctions d onde! On a : On peut calculer la valeur moyenne de la position dans l état Dans cette base X est diagonal : Et H s écrit : On trouve : Si l état initial est Di Les termes diagonaux sont les énergies des états en absence de couplage (barrière haute et large). cela se simplifie en : On a donc bien une oscillation comme nous avions vu précédemment. Les termes anti-diagonaux sont des termes de couplage! Ils caractérisent la transition entre les deux états à la fréquence A/~ 5 CONGRES-DE-SOLVAY-197 6 QUIZZ- PRIX-NOBEL-015 7 8