2_et_3-cinematique.nb 22 2 Mouvement rectiligne uniforme 2.1 Définition ü Grandeur contante, grandeur uniforme Une grandeur f et qualifiée de contante lorque, conidérée comme fonction du temp, elle ne varie pa, c'et-à-dire ft cont f Ë t 0 Un grandeur f et appelée uniforme lorque, conidérée comme fonction de a poition dan l'epace, elle et partout la même. fx, y, z cont Par exemple, dan une pièce, la température peut être - contante mai non uniforme : il fait plu chaud prè de la porte que de la fenêtre mai le température ont le même le matin et le oir; - uniforme mai non contante : dan la pièce, le température ont partout le même mai il fait plu froid le matin que le oir. ü Mouvement uniforme Un mouvement et appelé uniforme lorque la vitee et la même en chaque point de a trajectoire. Il 'enuit que la vitee et contante. En d'autre terme, un mouvement et uniforme lorque l'accélération et nulle. v t cont v a t 0 ü Mouvement rectiligne Un mouvement et appelé rectiligne lorque tou le point de la trajectoire ont itué ur une même droite. Un mouvement peut être rectliligne mai non uniforme. Par exemple, dan le vide, la chute d'un corp lâché avec une vitee initiale nulle et un mouvement rectiligne uniformément accéléré. 2.2 Première approche intuitive r t v On en tire la règle uivante r v t où v et contante pour de intervalle de temp égaux, le déplacement ont égaux voir fig.
2_et_3-cinematique.nb 23 r r r r Conéquence 1 La trajectoire et une droite, c'et-à-dire le mouvement et rectiligne. 2 Le temp gradue uniformément la trajectoire (voir fig. ci-deou). 4 3 2 1 2.3 Equation paramétrique de la droite (complément mathématique) ü Equation cartéienne de la droite en dimenion 2 Deux point Ax 1, y 1, Bx 2, y 2 étant donné, on cherche à quelle condition le point Px, y appartient à la droite AB. P B A le point P appartient à la droite AB le vecteur AP et AB ont colinéaire le déterminant de vecteur AP, AB et nul det x x 1 x 2 x 1 0 y y 1 y 2 y 1 x x 1 y 2 y 1 y y 1 x 2 x 1 0 En cinématique, on utilie l'équation cartéienne pour décrire la trajectoire d'un mobile en mouvement rectiligne (pa néceairement uniforme). Repréentation graphique avec Mathematica (exemple) Si la droite n'et pa verticale, il et poible d'ioler y et de deiner la fonction affine correpondante.
2_et_3-cinematique.nb 24 5 x 4y 3 0 y 5x 3 4 Plot 1 5 x 3, x, 4, 4, ApectRatio Automatic, AxeLabel "x", "y" 4 y 4 2 4 2 2 4 x 2 4 ü Equation paramétrique de la droite en dimenion 2 Nou répondon à la même quetion que ci-deu en utiliant un autre critère le point P appartient à la droite AB le vecteur AP et AB ont colinéaire le vecteur AP et un multiple du vecteur AB AP k AB où k et un nombre réel appelé paramètre x x 1 y y 1 k x 2 x 1 y 2 y 1 x x 1 kx 2 x 1 y y 1 ky 2 y 1 Repréentation graphique avec Mathematica (exemple) Un point d'attache de la droite 5 x - 4 y + 3 = 0 et A-3; -3, un vecteur directeur et d Ø = Px; yappartient à la droite i et eulement i AP kd x 3 y 3 k4 5 4 5. Le point
2_et_3-cinematique.nb 25 x 4 k 3 y 5 k 3 ParametricPlot4 k 3, 5 k 3, k, 1, 2, ApectRatio Automatic, AxeLabel "x", "y" y 6 4 2 6 4 2 2 4 x 2 4 6 8 ü Equation paramétrique de la droite en dimenion 3 Deux point Ax 1, y 1, z 1, Bx 2, y 2, z 2 étant donné, on cherche à quelle condition le point Px, y, z appartient à la droite AB. le point P appartient à la droite AB le vecteur AP et AB ont colinéaire le vecteur AP et un multiple du vecteur AB AP k AB où k et un nombre réel appelé paramètre x x 1 y y 1 z z 1 k x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 x x 1 kx 2 x 1 y y 1 ky 2 y 1 z z 1 kz 2 z 1 A chaque valeur de k correpond un point de la droite 0 # Ax 1, y 1, z 1 1 # Bx 2, y 2, z 2 k # Px, y, z Nou avon aini gradué la droite AB au moyen du repère affine
2_et_3-cinematique.nb 26 A, AB où A déigne l'origine (en A, k = 0), AB repréente le vecteur unitaire de la graduation en k (en B, k = 1), et la graduation et uniforme (voir fig.) k4 k3 k2 0 A k1 B Pour déigner la poition d'un point P ur la droite, il uffit de donner la valeur de k correpondante. Repréentation graphique avec Mathematica (exemple) x y z 3 k 5 k 3 2 k 4
2_et_3-cinematique.nb 27 ParametricPlot3D3 k 5, k 3, 2 k 4, k, 0,5, ViewPoint 3, 1, 1, AxeLabel "x", "y", "z", ApectRatio Automatic z x y ü Converion de la forme paramétrique à la forme cartéienne, exemple en dimenion 2 Conidéron la droite du plan donnée par le ytème paramétrique x 3 5 k y 8 3 k Pour paer à la forme cartéienne, l'idée et d'éliminer le paramètre k. Pour ce faire, on tire k d'une équation pui on remplace k dan l'autre k x3 5 y 8 3 x3 5 Cette dernière équation et l'équation cartéienne cherchée 3 x 9 y 8 0 5 3 x 9 5 y 40 0 3 x 5 y 49 0
2_et_3-cinematique.nb 28 Au lieu de faire le calcul à la main, on peut utilier Mathematica (conultez l'aide) : Eliminatex 3 5 k, y 8 3 k, k 49 5y 3x ü Converion de la forme paramétrique à la forme cartéienne, exemple en dimenion 3 Conidéron la droite dan l'epace donnée par le ytème paramétrique x 1 3 t y 3 2 t z 7 4 t Contrairement au ytème paramétrique, le ytème cartéien ne contient pa de paramètre. Pour obtenir la forme cartéienne, l'idée et d'éliminer le paramètre t. Pour ce faire, on tire t d'une équation pui on remplace t dan le deux autre t x1 3 y 3 2 x1 3 z 7 4 x1 3 Le deux dernière équation forment le ytème cartéien cherché 2x2 3 4 x4 3 y 3 0 z 7 0 2 x 2 3 y 9 0 4 x 4 3 z 21 0 2 x 3 y 11 0 4 x 3 z 17 0 On remarquera qu'une droite dan l'epace et donnée, non par une équation cartéienne, mai par un ytème de deux équation cartéienne. La règle et la uivante: Dan un ytème, lorqu 'on élimine un paramètre, le nombre d'équation diminue de 1 Interprétation géométrique : chaque équation cartéienne repréente un plan dan l'epace; et c'et l'interection de deux plan qui définit la doite. Au lieu de faire le calcul à la main, on peut utilier Mathematica. Eliminatex 1 3 t, y 3 2 t, z 7 4 t, t 2x 11 3y&&2y 13 z Le réultat peut 'écrire de pluieur manière différente. Pour obtenir le même réultat que Mathematica, il uffit de tirer t de la dernière équation et de remplacer t dan le deux première. 2.4 Horaire (approche analytique) ü Détermination d'une primitive par calcul intégral (complément mathématique) Lorqu'on dérive une fonction polynomiale de degré n, a dérivée et de degré n - 1. Par exemple, la dérivée d'un polynôme de degré 3 donne un polynôme de degré 2 ft 5 t 3 3 t 2 8t 12 f Ë t 15 t 2 6 t 8 Réciproquement, cherchon une fonction f t dont la dérivée et donnée, par exemple f Ë t 2 t 2 8 t 12
2_et_3-cinematique.nb 29 Comme la dérivée et un polynôme de degré 2, la fonction cherchée f t era un polynôme de degré 3. On peut poer ft f 3 t 3 f 2 t 2 f 1 t f 0 où le coefficient f 3, f 2, f 1, f 0 ont inconnu. Calculon la dérivée de f t f Ë t 3 f 3 t 2 2 f 2 t f 1 Comparon le coefficient avec la donnée 3 f 3 2, 2 f 2 8, f 1 12 On en tire la répone ft 2 3 t3 4t 2 12t f 0 où f 0 et une contante quelconque. Etant donné que fonction f. f 0 = f 0, la contante f 0 et appelée valeur initiale de la On peut généralier i f Ë t et un polynôme de degré n alor ft et un polynôme de degré n 1 dan lequel apparaît la valeur initiale f 0 ü Mouvement rectiligne uniforme Horaire avec r 0 Par définition, dan un mouvement rectiligne uniforme, le vecteur vitee et contant v t v x v y v où v x, v y, v z ont de contante réelle v z è Puique le compoante de Ø v = Ø r t ont de polynôme de degré 0, le compoante de Ø r t eront de polynôme de degré 1 en t r t r 1x t r 0x r 1y t r 0y r Ë t r 1z t r 0z r 1x r 1y r 1z v x v y v z En comparant le coefficient, on obtient r t v x t r 0x v y t r 0y v t r 0 v z t r 0z où le vecteur r 0 r 0x r 0y r 0z, dénommé "poition initiale", indique la poition du mobile à l'intant t=0. Horaire avec rt 0 Si, au lieu de connaître la poition à l'intant 0, on connaît la poition à un intant t 0 quelconque, on peut écrire l'horaire ou une forme plu générale. Parton de l'idée que, pendant la durée Dt = t - t 0, le déplacement Dr = rt - rt 0 et égal à v Dt
2_et_3-cinematique.nb 30 Finalement, r v t r t r t 0 v t t 0 r t v t t 0 r t 0 ü Interection de deux droite donnée ou forme paramétrique, exemple en dimenion 2 Conidéron deux mobile en mouvement rectiligne uniforme dan un plan dont on donne le deux horaire (x et y en mètre, t en econde) x 1t 3 5 t y 1 t 8 3 t et x 2t 7 2 t y 2 t 1 4 t t4 t2 15 t3 t1 10 t2 t0 5 t1 t1 t0 t2 5 5 10 15 t3 20 t1 t 5 t2 Méthode graphique Il faut bien ditinguer deux type de quetion: * Le deux mobile e rencontrent-il? Si oui, à quelle heure et à quel endroit? * Le deux trajectoire e coupent-elle? Si oui, à quel endroit? En effet, pour qu'il e rencontrent, il ne uffit pa qu'il paent au même endroit. Encore faut-il qu'il y oient en même temp! En obervant la figure et avant tout calcul, on contatera que le trajectoire e coupent mai que le deux mobile ne e rencontrent pa. Calcul à la main Pour répondre à toute le quetion concernant la rencontre de deux mobile ou l'interection de leur trajectoire, on peut procéder comme uit : nommon t 1 = heure du paage du premier au point d'interection x, y;
2_et_3-cinematique.nb 31 t 2 = heure du paage du deuxième au point d'interection x, y pui réolvon le ytème de quatre équation à quatre inconnue: x 3 5 t 1 y 8 3 t 1 x 7 2 t 2 y 1 4 t 2 Eliminon temporairement x et y et calculon le heure de paage au point d'interection: 3 5 t 1 7 2 t 2 2 8 3 t 1 1 4 t 2 1 Dan le but d'éliminer t 2, multiplion la première équation par 2 pui additionnon le deux équation: 6 10 t 1 14 4 t 2 8 3 t 1 1 4 t 2 14 7 t 1 15 t 1 1 7 Pour calculer t 2, on ubtitue t 1 = 1 7 dan l'équation 8-3 t 1 = 1 + 4 t 2 8 3 1 7 1 4 t 2 4 t 2 46 7 t 2 23 14 Pour calculer le coordonnée du point d'interection x, y, on ubtitue t 1 = 1 dan l'horaire du premier mobile 7 x 3 5 1 7 26 7, y 8 3 1 7 53 7 Concluion: * le deux trajectoire e coupent au point x, y = 26, 53 ; 7 7 * au point d'interection, le premier mobile pae à l'intant 1 23 et le deuxième à l'intant ; 7 14 comme il n'y paent pa en même temp, il ne e rencontrent pa. Calcul avec Mathematica Pour répondre à toute le quetion concernant la rencontre de deux mobile ou l'interection de leur trajectoire, on peut procéder comme uit : nommon t1 = heure du paage du premier au point d'interection x, y; t2 = heure du paage du deuxième au point d'interection x, y pui réolvon le ytème de quatre équation à quatre inconnue: Reducex 3 5 t1 y 8 3 t1 x 7 2 t2 y 1 4 t2, x, y, t1, t2 x 26 7 && y 53 7 && t1 1 23 && t2 7 14 Concluion: * le deux trajectoire e coupent au point x, y = 26, 53 ; 7 7 * au point d'interection, le premier mobile pae à l'intant 1 23 et le deuxième à l'intant ; 7 14 comme il n'y paent pa en même temp, il ne e rencontrent pa. Remarque Dan le ca où le deux mobile e rencontrent, notre modèle uppoe que le deux mobile e rencontrent an interférer, c'et-à-dire an exercer d'influence l'un ur l'autre. Il ne 'agit pa ici d'un problème de colliion (choc élatique ou inélatique) car le deux mobile pouruivent leur coure an changer de vitee.
2_et_3-cinematique.nb 32 Exercice du 2 ü Exercice 2-1 On donne le point du plan A1; 3, B5; 2 a) Ecrivez l'équation cartéienne de la droite AB. b) Ecrivez un ytème d'équation paramétrique de la droite AB. c) Ecrivez un autre ytème d'équation paramétrique de la même droite AB. d) Ecrivez un ytème d'équation paramétrique de la droite AB tel que en A le paramètre vaut 7 et en B le paramètre vaut 2. ü Exercice 2-2 On donne le point de l'epace A1; 3; 2, B5; 2; 1 a) Ecrivez un ytème d'équation paramétrique de la droite AB. b) Ecrivez un ytème d'équation paramétrique de la droite AB tel que en A le paramètre vaut 5 et en B le paramètre vaut 12. ü Exercice 2-3 De la droite d'équation 3 x + 2 y - 5 = 0, on cherche deux repréentation paramétrique telle que x 1 2 k y 1? x 2? y 2 5 3 t 3 Complétez le ytème d'équation paramétrique. ü Exercice 2-4 On donne le équation paramétrique de deux droite x 1 3 2 k y 1 4 5 k x 2 5 3 t y 2 7 2 t a) Repréentez graphiquement la ituation. b) Déterminez le équation cartéienne de deux trajectoire. c) Déterminez le valeur de paramètre au point d'interection. ü Exercice 2-5 On donne le horaire de deux mobile (t en econde; x et y en mètre): x 1 2 3 t y 1 1 5 t x 2 5 2 t y 2 6 4 t a) Repréentez graphiquement la ituation. b) Calculez la vitee linéaire de chaque mobile. c) Déterminez par calcul i le deux mobile e rencontrent.
2_et_3-cinematique.nb 33 ü Exercice 2-6 (facultatif) Un mobile dont la vitee et contante pae au point 100 m; -120 m à l'intant 10 et au point 40 m; 60m à l'intant 20. Quel et on horaire? ü Exercice 2-7 Deux mobile ont animé de mouvement rectiligne uniforme. Le premier pae au point 6 m; -2 m à la vitee -2 m ;2 m. Au même intant, le deuxième pae au point 10 m; 10m. Quel doit être l'horaire du deuxième pour rencontrer le premier 4 plu tard? ü Exercice 2-8 D'un premier mobile, on donne l'horaire x 1 t y 1 1 2 t D'un deuxième mobile, on ait que on mouvement et rectiligne uniforme et on connaît l'équation de a trajectoire aini que a poition à l'intant 0 3 x y 2 0 0 2 Déterminez l'horaire du deuxième afin qu'il rencontre le premier. ü Exercice 2-9 On donne le horaire de deux mobile x 1 23t y 1 1 5 t z 1 2 t x 2 5 2 t y 2 6 4 t z 2 5 Calculez la vitee linéaire de chaque mobile. Le trajectoire e coupent-elle? Le deux mobile e rencontrent-il? ü Exercice 2-10 On donne le horaire de deux mobile x 1 83t y 1 11 5 t z 1 t 6 x 2 1 2 t y 2 2 4 t z 2 12 t Le trajectoire e coupent-elle? Le deux mobile e rencontrent-il? ü Exercice 2-11 On donne le horaire de deux mobile
2_et_3-cinematique.nb 34 x 1 23t y 1 1 5 t z 1 t 4 x 2 1 2 t y 2 2 4 t z 2 12 t Le trajectoire e coupent-elle? Le deux mobile e rencontrent-il? ü Exercice 2-12 On donne le point uivant A1; 1; 0, B3; 9; 5, C10; 2; 12 Un premier mobile, en mouvement rectiligne uniforme, pae en A à l'intant t = 5 et en B à l'intant t = 11. Un deuxième mobile, aui en mouvement rectiligne uniforme, pae en C à l'intant t = 3. Déterminez le horaire de deux mobile de manière qu'il e rencontrent à l'intant t = 7. ü Exercice 2-13 Un mobile animé d'une vitee contante v Ø = 2 3-5 pae par le point A-1; -4; 20 à l'intant t = 9. Déterminez on horaire par calcul intégral comme dan le 2.4 ü Exercice 2-14 On conidère la droite qui pae par le point A5; 2; 3, B1; 3; 4 a) Déterminez un ytème d'équation cartéienne de la droite. Faite le calcul à la main. b) Déterminez un autre ytème d'équation cartéienne de la droite. c) Déterminez un troiième ytème d'équation cartéienne de la même droite. ü Exercice 2-15 (facultatif) D'un mobile en mouvement rectiligne uniforme dan un plan, on donne l'équation de a trajectoire: 3 x - 2 y + 5 = 0 l'heure de paage au point A(3; 7): t = 8 la norme de a vitee: v = 4 où le coordonnée patiale ont donnée en mètre et le temp et exprimé en econde. Déterminez on horaire (ou le horaire poible).
2_et_3-cinematique.nb 35 3 Mouvement uniformément accéléré 3.1 Approche intuitive ü Mouvement uniformément accéléré Un mouvement uniformément accéléré et un mouvement dan lequel l'accélération et contante. a t cont a ü Exemple en dimenion 1 Conidéron un mouvement rectiligne avec a x 2 m, v x0 5 m, x0 10 m 2 Durant chaque econde, la vitee augmente de 2 m. La vitee évolue comme uit t 0 1 2 3 4... v x t... 5m 7m 9m 11 m 13 m Pour chaque tranche d'une econde, etimon ~ v = vitee moyenne durant la econde conidérée; Dx = déplacement effectué durant la econde. t 0; 1 1 ; 2 2 ; 3 3 ; 4... v ~ 6m 8m 10 m 12 m... x 6 m 8 m 10 m 12 m... En additionnant le déplacement effectué, on peut en déduire la poition du mobile t 0 1 2 3 4... xt 10 m 16 m 24 m 34 m 46 m... Le formule qui décrivent ce mouvement ont v x t 5 2 t xt 10 5 t t 2 En particulier, la vitee et un polynôme de degré 1 et l'horaire un polynôme de degré 2. Nou montreron plu loin que le formule générale ont v x t v x 0 a x t xt x0 v x 0 t 1 2 a xt 2
2_et_3-cinematique.nb 36 ü Evolution de la vitee du point de vue géométrique v t a On en tire la règle uivante v a t où a et contante en de intervalle de temp égaux, le variation de vitee ont égale voir figure v v 0 v v 1 v v 2 v v 3 v 4 La figure précédente et un hodographe. Le poition correpondante ont
2_et_3-cinematique.nb 37 v 4 v 3 r 4 v 2 r 3 v 1 r 2 r 1 v 0 r 0 3.2 Approche analytique ü Mouvement rectiligne uniformément accéléré Dan le ca particulier où le mouvement et rectiligne (par exemple, une voiture qui freine, un corp en chute libre,...) on peut choiir le repère O, i, Ø Ø j, Ø k de telle manière que la trajectoire du mobile coïncide avec l'axe de x. Alor, l'horaire e réduit à une eule compoante calaire r t xt 0 0, v t v x t 0 0, a a x 0 0 On a le relation è v x t = ax x è t = v x t où nou uppoon que a x et connu tandi que le fonction v x t et xt ont de fonction cherchée. Puique a x et un polynôme de degré 0, il 'enuit que v x t doit être un polynôme de degré 1 et xt un polynôme de degré 2. v x t v 1 t v 0 xt x 2 t 2 x 1 t x 0 Pour déterminer le coefficient v 1, calculon la dérivée de v x t et comparon avec a x Ë v xt v1 a x v x t a x t v 0 Pour déterminer le coefficient x 2, x 1, calculon la dérivée de x(t) et comparon avec v x t x Ë t 2x 2 t x 1 a x t v 0
2_et_3-cinematique.nb 38 2 x 2 a x et x 1 v 0 xt 1 2 a x t 2 v 0 t x 0 Finalement, on obtient (voir Formulaire et table p. 130) xt 1 2 a x t 2 v 0 t x 0 v x t a x t v 0 a x t a x cont où v 0 = v x 0 = vitee initiale (vitee à l'intant t = 0) x 0 = x0 = poition initiale (poition à l'intant t = 0). Si l'intant initial t 0 et quelconque, alor le formule précédante prennent la forme plu générale xt 1 2 a x t t 0 2 v 0 t t 0 x 0 v x t a x t t 0 v 0 a x t a x cont où v 0 = v x t 0 = vitee initiale (vitee à l'intant t 0 ) x 0 = xt 0 = poition initiale (poition à l'intant t 0 ). ü Mouvement uniformément accéléré en dimenion 3 r t xt yt zt, v t v x t v y t v z t, a a x a y a z On a le relation Ë v xt ax Ë v yt ay Ë v zt az x Ë t v x t y Ë t v y t z Ë t v z t où nou uppoon que a x, a y et a z ont connu tandi que le fonction v x t, v y t, v z t, xt, yt, zt ont cherchée. En répétant troi foi le raionnement fait auparavant pour la dimenion 1, on obtient v x t a x t v x 0 xt 1 2 a x t 2 v x 0t x 0 v y t a y t v y 0 yt 1 2 a y t 2 v y 0t y 0 v z t a z t v z 0 zt 1 2 a z t 2 v z 0t z 0 On peut écrire ce réultat ou une forme vectorielle (voir Formulaire et table) r t 1 2 a t 2 v 0t r 0 v t a t v 0 où a a x a y cont, v 0 a z v x 0 v y 0 v z 0, r 0 x0 y0 z0 Si l'intant initial t 0 et quelconque, le formule précédante prennent la forme plu générale
2_et_3-cinematique.nb 39 r t 1 2 a t t 0 2 v 0t t 0 r 0 v t a t t 0 v 0 où a cont, v 0 v t 0, r 0 r t 0 ö La trajectoire d'un tel mouvement et toujour ituée dan un plan car le déplacement Dr ont de combinaion linéaire de deux vecteur (a Ø ö, v 0): r r t r 0 t2 2 a tv 0 Par uite, il et poible de choiir un repère O, i, Ø j Ø, k Ø tel que z=0 et d'écrire l'horaire du mobile dan le plan Oxy avec deux compoante eulement r t xt 1 yt a 2 x t 2 v x 0t x 0 1 a 2 y t 2 v y 0t y 0 v t v xt v y t a x t v x 0 t v y 0 a a x a y 3.3 Balitique a y En balitique, on conidère un corp ur lequel 'exerce une et une eule force : la peanteur. On uppoe donc que l'on peut négliger toute le autre force telle que le force de frottement (mouvement dan le vide). Aini, l'accélération à laquelle le corp et oumi et l'accélération gravifique Ø g. De plu, i le dénivellation parcourue ne ont pa trop grande, on peut conidérer que cette accélération et contante. Et i on choiit un repère Oxyz avec le plan Oxy horizontal et l'axe Oz vertical orienté ver le haut, le vecteur accélération prend la forme a g 0 0 g Chez nou, g = 9.81 m 2. ü Chute libre (= balitique en dimenion 1) On conidère un corp qui * qui tombe verticalement et * qui et oumi à une accélération contante g Ø. Le mouvement et rectiligne dan le ca où le vecteur Ø v0 et Ø g ont colinéaire, autrement dit lorque la vitee initiale et nulle ou verticale.
2_et_3-cinematique.nb 40 z v 0 v t L'horaire du mobile et alor zt 1 2 g t2 v 0 t z 0 v z t g t v 0 a z t g où v 0 =v z 0 = vitee initiale (poitive ver le haut, négative ver le ba); z 0 = z0 = poition initiale (altitude à l'intant t = 0). ü Balitique en dimenion 2 ou 3 Intuitivement, a g ignifie que toute le variation de vitee ont de vecteur verticaux dirigé ver le ba.
2_et_3-cinematique.nb 41 v v 0 v 1 v v 2 v v 3 v v 4 Le vecteur accélération Ø g et le vecteur vitee initiale Ø v0 définient un plan vertical. On choiiant d'une manière adéquate le repère Oxyz, on peut faire en orte que y = 0. La trajectoire et alor ituée dan le plan vertical Oxz. a g 0 0 g, v 0 v x 0 0 v z 0 Ecrivon le équation en dimenion 2 et faion apparaître, pour la vitee initiale, l'angle d'élévation a a g 0 g, v 0 v x0 v z 0 v 0 co in z v 1 a v 2 v 0 a x
2_et_3-cinematique.nb 42 r t 1 2 g t 2 v 0 t r 0 1 2 0 g t2 v 0 co v 0 in t x 0 z 0 v 0 co t x 0 1 2 gt2 v 0 in t z 0 où x 0 = x0 = abcie initiale et z 0 = z0 = cote initiale On peut interpréter le tir balitique comme la compoition de deux mouvement * la compoante horizontale et un mouvement rectiligne uniforme; * la compoante verticale et une chute libre. Le équation de mouvement ont xt v 0 co t x 0 zt 1 2 gt2 v 0 in t z 0 v x t v 0 co v z t gt v 0 in ü Portée du tir Référon-nou au graphique précédent. Nou uppoon que le tir et effectué depui l'origine r 0 x 0 z 0 0 0 et que le ol et horizontal. Quelle et alor la portée du tir (meurée horizontalement)? Le mobile touche le ol à l'intant t où z = 0 zt 0 1 2 gt2 v 0 in t 0 t 1 2 gt v 0 in 0 t 0 ou t 2 v 0 in g La première répone et l'heure du départ, la deuxième l'heure de l'arrivée. La portée du tir et l'abcie à cet intant x 2 v 0 in g v 0 co 2 v 0 in g v 0 2 2 co in g La trigonométrie nou eneigne que (voir Formulaire et table) La portée 'écrit aui 2 co in in2 x 2 v 0 in g v 0 2 in2 g La portée et maximale lorque in(2 )=1, c'et-à-dire lorque a =45 ± = p 4 rad. La portée maximale et alor égale à v 0 2 g.
2_et_3-cinematique.nb 43 3.4 Vitee moyenne ü En général, il faut ditinguer "vitee moyenne", "moyenne de vitee", "vitee à la mi-temp" Conidéron le mouvement rectiligne uivant (t en econde, x en mètre) xt t 3 v x t 3 t 2 a x t 6 t m m m 2 La vitee moyenne ur l'intervalle de temp [0; 2] et v ~ 0; 2 x2 x0 2 0 8 0 2 4 m La moyenne de vitee aux extrémité de l'intervalle de temp [0; 2] vaut v x 0 v x 2 2 0 12 2 6 m La vitee au milieu de l'intervalle de temp [0; 2] (vitee à la mi-temp) et v x 1 3 m Le troi expreion ont différente. ü Pour le mouvement uniformément accéléré, la vitee moyenne et égale à la vitee à la mi-temp Dan le ca d'un mouvement uniformément accéléré, on a r t 1 2 a t 2 v 0 t r 0 v t a t v 0 La vitee moyenne ur l'intervalle t 1, t 2 et v m r t 2 r t 1 t 2 t 1 1 2 a t 2 2 v 0 t 2 r 0 1 2 a t 1 2 v 0 t 1 r 0 t 2 t 1 1 2 a t 2 2 t 2 1 v 0 t 2 t 1 1 t 2 t 1 2 a t 2 t 1 v 0 La moyenne de vitee aux extrémité de l'intervalle t 1, t 2 et La vitee à la mi-temp et 1 2 v t 1 v t 2 1 2 a t 1 v 0 a t 2 v 0 1 2 a t 1 t 2 v 0 v t 1 t 2 2 a t 1 t 2 2 v 0 Le troi expreion ont égale.
2_et_3-cinematique.nb 44 ü Illutration graphique en dimenion 1 xt t 2 v x t 2 t a x t 2 m m m 2 La courbe x(t) et une parabole. 1 P 0.5 M 0.5 1 La vitee moyenne ur l'intervalle [0, 1] et repréentée par la pente du egment OP. La vitee au milieu de l'intervalle et repréentée par la pente de la tangente à la courbe en M. L'égalité de ce deux pente ignifie que le deux droite correpondante ont parallèle. La moyenne de vitee aux extrémité et repréentée par pente de la tangente en O pente de la tangente en P Cette grandeur et égale aux deux précédente. Exercice 2 ü Exercice 3-1 Conidéron l'horaire zt 1 2 gt2
2_et_3-cinematique.nb 45 dont le graphique et Plot 1 2 9.81` t2, t, 0,3 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 10 20 30 40 a) Ce mouvement et-il rectiligne? Jutifiez votre répone. b) Dite i le grandeur uivante augmentent, diminuent ou ont contante: 1 la vitee linéaire; 2 la compoante verticale de la vitee; 3 la compoante verticale de l'accélération; 4 la ditance à l'origine; 5 la cote du mobile. ü Exercice 3-2 Du haut d'une tour de 30 m, un objet et lancé verticalement ver le haut à une vitee initiale de 3 m. a) Quelle hauteur atteint-il? b) A quelle vitee arrive-t-il au ol? c) Quelle et a vitee moyenne ur le 15 dernier mètre? ü Exercice 3-3 Une voiture roule à une vitee contante. Le conducteur aperçoit un obtacle. Aprè un temp de réaction de 1, il effectue un freinage dont la décélération et de 5.2 m (ur route èche). 2 a) Quelle et la ditance d'arrêt pour une vitee de 60 km? h ditance d'arrêt ditance de réaction ditance de freinage b) Même quetion pour une vitee de 120 km h. ü Exercice 3-4 Un objet et lancé horizontalement ur le ol à une vitee de 6 m. Il 'arrête ur une ditance de 15 m ou l'effet de force de frottement. a) Calculez a décélération (uppoée contante). b) Quelle et a vitee à mi-parcour (c'et-à-dire aprè 7.5 m)? c) Où e trouve-t-il lorque a vitee et de 3 m?
2_et_3-cinematique.nb 46 Exercice 3-5 Sur une table dont le plateau horizontal et itué à 75 cm au-deu du ol, un chariot roule en direction du bord pui tombe au ol à une ditance de 50 cm de la table (la ditance et meurée horizontalement ur le ol). a) A quelle vitee le chariot a-t-il quitté la table? b) A quelle vitee atteint-il le ol? c) Sou quel angle atteint-il le ol (angle avec la verticale )? d) Quelle devrait être a vitee initiale pour qu'il tombe à 1m de la table? ü Exercice 3-6 Deux objet partent en même temp du même endroit. Le premier tombe verticalement en chute libre. Le deuxième et lancé horizontalement avec une vitee initiale u Ø. Comparez a) le durée de leur chute; b) le vitee linéaire auxquelle il atteignent le ol. ü Exercice 3-7 Un projectile et lancé du ol à une vitee de 50 m. La cible et ituée à 240 m plu loin ur le ol horizontal. Sou quel() angle() d'élévation faut-il effectuer le tir? Directive La formule de la portée ne e trouve pa dan le formulaire. Etablir la formule fait partie de l'exercice. Il ne 'agit pa de la tirer du cour, mai de 'exercer à la retrouver. ü Exercice 3-8 a) Reprenon et pouruivon l'exemple du 3.4 xt t 3 ur l' intervalle 0; 2 Quelle et la vitee à mi-parcour? b) Pour un mouvement uniformément accéléré, la vitee à mi-parcour et-elle égale à la vitee à la mi-temp? Indication : i oui, faite une preuve générale; i non, donnez un contre-exemple. ü Exercice 3-9 D'un mobile en mouvement rectiligne uniformément accéléré, on donne a x 0.5 v x 5 12 x5 50 Déterminez a vitee à l'intant t et on horaire par calcul intégral (voir 3.2).