Conveité 10.1. Conveité 1. Fonctions convees, fonctions concaves Définitions : f est une fonction dérivable sur un intervalle I et C sa courbe représentative dans un repère. Dire que f est convee sur I signifie que sur I, la courbe est entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes. Dire que f est concave sur I signifie que sur I, la courbe est entièrement en-dessous de chacune de ses tangentes. 2. Conveité des fonctions de référence La fonction 2 est convee sur. La fonction est concave sur ; 0. La fonction e est convee sur. La fonction ln est concave sur ; 0. Cours Terminale ES E. Poulin O. Leguay Page 1
3. Point d infleion Définition : f est une fonction dérivable sur un intervalle I et C sa courbe représentative dans un repère. Dire que a f a tangente. A ; est un point d infleion de C signifie qu en A la courbe C traverse sa Conséquence : En l abscisse a d un point d infleion, f passe de convee à concave ou de concave à convee. T a 3 Eemple : g est la fonction définie sur par L origine O du repère est un point d»infleion de la courbe représentant u. U est concave sur ;0 et convee sur 0 ;. g 10.2. Propriétés des fonctions convees 1. Conveité et etremum Si f est une fonction convee et dérivable sur un intervalle I et si pour un réel c de I, f c 0, alors f admet un minimum absolu sur I en c. Démonstration : Si f c 0, la tangente d à la courbe au point d abscisse c est parallèle à l ae des abscisses. Cours Terminale ES E. Poulin O. Leguay Page 2
Or f est convee sur I, donc sa courbe représentative est située au dessus de toutes ses tangents, et en particulier de la droite y f c. y Cela signifie que pour tout réel de I, f f c. c Donc que f admet un minimum absolu en c. O d Si f est une fonction concave et dérivable sur un intervalle I et si pour un réel c de I, f c 0, alors f admet un maimum absolu sur I en c. Démonstration : Analogue à la précédente 2. Conveité et opération Si f et g sont deu fonctions dérivables et convees sur un intervalle I, alors f + g est une fonction convee sur I Si f est une fonction dérivable et convee sur un intervalle I et un réel positif, alors f est une fonction convee sur I Si f et g sont deu fonctions dérivables et concaves sur un intervalle I, alors f + g est une fonction concave sur I Si f est une fonction dérivable et concave sur un intervalle I et un réel strictement positif, alors f est une fonction concave sur I Si f est une fonction dérivable et convee sur un intervalle I, alors f est une fonction concave sur I Si f est une fonction dérivable et concave sur un intervalle I, alors f est une fonction convee sur I 10.3. Conveité et dérivée 1. Conveité et sens de variation de f Propriétés (admises) f est une fonction dérivable sur un intervalle I f est convee si, et seulement si, f est croissante sur I f est concave si, et seulement si, f est décroissante sur I Eemples : et f est croissante sur est convee sur. Sa dérivée pour tout est f 2 est concave sur 0 ;. Sa dérivée pour tout de 0 ; est f 2 0; et f est décroissante sur Définition : 2. Conveité et signe de f Cours Terminale ES E. Poulin O. Leguay Page 3
f est une fonction dérivable sur un intervalle I Dire que f est deu fois dérivable sur I signifie que f est elle-même dérivable sur I. La dérivée de f, notée f, est appelée dérivée seconde de f. Eemple : déterminer la dérivée seconde de. Propriétés f est une fonction deu fois dérivable sur un intervalle I f est convee si, et seulement si, pour tout de I, f 0 f est concave si, et seulement si, pour tout de I, f 0 Preuve : cela se déduit immédiatement de la propriété précédente Eemple : f est une fonction deu fois dérivable définie sur par f e et f e. Pour tout de f 0, donc f est concave sur. f 1 e. 3. Point d infleion et dérivée seconde Propriété (admise) f est une fonction deu fois dérivables sur un intervalle I. C est la courbe représentative de f dans un repère et a I. Le point A a; f a est un point d infleion de C si, et seulement si, f s annule en a en changeant de signe. Eemple 3 2 Pour tout nombre réel, g, g 3, g 6 Avec le tableau de signe ci-contre, on retrouve que l origine O du repère représente un point d infleion de la courbe f. 0 g 6 0 + 10. 4. Position relative de courbes 1. Une propriété de ep Pour tout nombre réel, e Démonstration La fonction eponentielle est convee sur, donc, dans un repère, sa courbe C est au-dessus de toutes ses tangentes. En particulier, C est au-dessus de sa tangente T au point d abscisse 0 dont on sait qu une équation est y 1 Ainsi pour tout nombre réel, e 1. Or 1, donc e. 2. Une propriété de ln Pour tout nombre réel 0, ln Démonstration La fonction logarithme est concave sur, donc, dans un repère, sa courbe C est en-dessous de Cours Terminale ES E. Poulin O. Leguay Page 4
toutes ses tangentes. En particulier, C est en-dessous de sa tangente T au point d abscisse 1 dont on sait qu une équation est y 1 Ainsi pour tout nombre réel, ln 1. y e Or 1, donc ln. y 3. Conséquences graphiques Il résulte immédiatement des deu propriétés ci-dessus, que dans un repère La courbe représentative de la fonction eponentielle est au-dessus de la droite d équation y sur. y ln Cours Terminale ES E. Poulin O. Leguay Page 5