CHAPITRE II FORMATION DES IMAGES EN OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE II.1- Système optique centré Un système optique est un ensemble de milieux transparents, en général homogènes et isotropes, séparés par des surfaces réfractantes (dioptres) ou réfléchissantes (miroirs). En pratique, les systèmes utilisés sont symétriques par rapport à un axe, dit de révolution ou axe optique ; le système est dit alors centré sur cet axe (l origine des abscisses étant choisie sur cet axe). Le système optique centré est dit : dioptrique : s il ne comporte que des dioptres ; catadioptrique : s il est constitué de dioptres et de miroirs ; catoptrique : s il ne contient que des miroirs. Exemples : Association de deux dioptres sphériques (Fig. II.1) Fig. II.1 Association d un dioptre sphérique et d un miroir sphérique (Fig. II.2) Fig. II.2 20
Association de deux miroirs sphériques (Fig. II.3) Fig. II.3 II.2- Points conjugués Les systèmes optiques sont destinés à former des images d objets lumineux. Considérons un système optique SO séparant deux milieux d indice n et n et soit A une source ponctuelle de lumière située sur l axe optique. Supposons que A envoie un faisceau divergent sur le SO (Fig. II.4) Fig. II.4 Soit A un point de l axe par où passent tous les rayons émergents issus de A. On dit que A est l image de l objet A à travers le SO. Comme les trajets ne dépendent pas du sens de parcours (principe de retour inverse), les points A et A jouent des rôles réciproques : le point A peut être considéré comme objet ; le point A est dans ce cas son image. On dit alors que A et A constituent un couple de points conjugués ou que l un est le conjugué de l autre par rapport au SO. Un point est dit réel si les rayons lumineux passent effectivement par ce point. Il est dit virtuel si seulement les supports de ces rayons passent par ce point (Fig. II.5). 21
Fig. II.5 L espace optique est donc divisé par le SO en quatre parties (Fig. II.6). Notons F E la face d entrée de SO et F S sa face de sortie de la lumière en se référant au sens positive de propagation choisi de la gauche vers la droite de SO. Fig. II.6 espace d objets réels : l ensemble des points situés en avant de FE ; espace d objets virtuels : l ensemble des points situés en arrière de FE ; espace d images réelles : l ensemble des points situés en arrière de FS ; espace d images virtuelles : l ensemble des points situés en avant de FS Convention d orientation : On oriente positivement les trajectoires dans le sens de la propagation de la lumière et on compte algébriquement les trajets parcourus. Considérons l exemple de la figure II.7. Fig. II.7 22
Le point A virtuel est considéré appartenir physiquement au milieu d indice n. La lumière se propageant de gauche à droite, le chemin optique s écrit : L = (AA ) = (AI) + (IJ) + (JA ) L nai(ij) n 'JA' nia(ij) n 'JA' Ainsi, le chemin optique est affecté du signe moins pour un point virtuel. On dit que le chemin est virtuel. II.3- Stigmatisme rigoureux Stigmatisme approché On dit que le SO réalise le stigmatisme rigoureux pour le couple de points (A, A ) si A et A sont parfaitement ponctuels. La condition du stigmatisme rigoureux est que le chemin optique L soit constant quelque soit le trajet suivi pour aller de A à A. L = (AA ) = cste le trajet En pratique, il est difficile de réaliser le stigmatisme rigoureux. On se contente d un stigmatisme approché lorsque les rayons lumineux passent suffisamment près d un point. On n a donc plus un point lumineux, mais une tâche lumineuse de dimension négligeable (cercle ou tâche de moindre diffusion). Si le stigmatisme rigoureux est vérifié pour un couple (A, A ), l est -il pour tous les points proches de A et A? On montre que le stigmatisme rigoureux n est conservé que pour les points de front et les points de l axe voisins de A et A. II.4- Condition d aplanétisme d Abbe C est la condition du stigmatisme rigoureux pour les points conjugués B et B voisins de A et A et situés dans des plans perpendiculaires à l axe (Fig. II.8). Fig. II.8 23
α : angle d incidence ; α : angle d émergence. Le SO est rigoureusement stigmatique pour : - (A, A ) si L 1 =(AA ) = cste le trajet; - (B, B ) si L 2 =(BB ) = cste le trajet. Soit si ΔL = L 2 L 1 = cste le trajet; ΔL # (HH ) (AA ) n'a'h' nah n 'A'B' sin ' nab sin le trajet, en particulier pour α = 0 = α ; donc la cste = 0. D où la condition d aplanétisme ou des sinus d Abbe : n 'A'B'.u ' nab.u ; ou n 'A'B'sin ' nab sin Le système est dit aplanétique pour le couple de points (A, A ) s il est rigoureusement stigmatique pour les points (B, B ) du front. La loi des sinus d Abbe doit être vérifiée. I.5- Condition d Herschel Elle donne la condition de conservation du stigmatisme rigoureux le long de l axe optique pour le couple C et C (Fig. II.9). Fig. II.9 n 'A'C'.u ' nac.u cste le trajet ; ou cste n 'A'C' nac. D où la condition d Herschel : 2 ' C 2 n'a'c'sin na sin 2 2 24
II.6- Grandissement d un système optique ponctuel. C est le rapport γ entre la dimension de l image et la dimension de l objet non Grandissement transversal : Grandissement longitudinal : A 'B' n sin t AB n 'sin ' 2 n sin A 'C' 2 AC 2 n 'sin ' 2 II.7- Approximation de Gauss Les instruments d optique doivent fournir des images nettes d objets étendus. Ils doivent par conséquent réaliser le stigmatisme rigoureux. L expérience montre que cette condition n est vérifiée que pour certaines surfaces (miroirs elliptiques par exemple) difficiles à réaliser. On montre aussi que ces surfaces ne sont rigoureusement stigmatiques que pour un ensemble restreint de points, ce qui limite leur intérêt dans la formation d images nettes. Le stigmatisme ne peut donc être qu approché. Voyons d abord dans quel cas les conditions d Abbe et d Herschel sont compatibles. Ainsi, pour γ t et γ l donnés : cste = 1. Les deux conditions sont donc compatibles si : n sin cos A 'B' n sin t 2 2 AB n 'sin ' ' ' n 'sin cos 2 2 cos 2 cste α et α ; en particulier pour α = 0 et α = 0 ; ou la ' cos 2 α = α L instrument d optique doit donc travailler dans des conditions sévères : α = ± α ; d où un intérêt très limité de cet instrument. 25
Gauss a proposé des conditions moins sévères et facilement réalisables en pratique, c est de prendre des angles α et α faibles. En effet, dans ce cas : 2 cos 1 2 2 on réalise ainsi la condition α = ± α. et ' ' cos 1 2 2 Une telle condition est dite approximation de Gauss ou approximation des rayons paraxiaux.. II.8- Application au dioptre sphérique 1) Invariant fondamental Soit AI un rayon lumineux incident traversant en I un dioptre de centre C, de sommet S et de rayon de courbure R = CS (Fig. II.10). 2 Fig. II.10 Les triangles CIA et CIA ' permettent d écrire : CA IA IA sin i sin() sin CA ' IA ' et sin i ' sin D où la condition du stigmatisme rigoureux pour le dioptre sphérique : CA CA ' n n ' IA IA ' Cette relation ne dépend que du centre C et du sommet S du dioptre ; on l appelle invariant CA CA ' fondamental du dioptre sphérique, puisque la quantité n n ' = cste. SA SA ' Les points vérifiant cet invariant s appellent les points de Weierstrass. 26
2) Relations de conjugaison - Vergence On réalise un stigmatisme approché en choisissant l angle θ faible ; soit si I est proche du sommet S. L invariant devient : CA CA ' n n ' SA SA ' a- Origine des abscisses en S CS SA CS SA ' n n ' SA SA ' au sommet S : ; d où la relation de conjugaison du dioptre sphérique avec origine n ' n n ' n V SA ' SA SC V étant la vergence du dioptre. Le dioptre est dit convergent si V > 0 ; il est divergent si V < 0. b- Origine des abscisses en C La relation de conjugaison du dioptre devient : n ' n n ' n CA CA ' CS 3) Foyers Distances focales On appelle point foyer (objet F ou image F ) le conjugué d un point situé à l infini sur l axe (A ou A ). Les quantités f dioptre. SF et f ' SF' sont les distances focales du La vergence s écrit alors : nsc f SF ; n n ' n ' n V f ' f n 'SC f ' SF' n ' n 27
II.9- Application au dioptre plan Le dioptre plan est un dioptre sphérique dont le centre est rejeté à l infini (Fig. II.11). C est un système afocal, ses foyers étant situés à l infini. Fig. II.11 La relation de conjugaison du dioptre plan avec origine en S s écrit : n ' n SA ' SA II.10- Application au miroir sphérique La figure II.12 permet d établir l invariant fondamental du miroir sphérique : Fig. II.12 CA CA ' IA IA ' Les relations de conjugaison deviennent : 1 1 2 V SA ' SA SC 1 1 2 CA CA ' CS 28
II.11- Application au miroir plan Dans ce cas, la relation de conjugaison s écrit : SA ' SA L objet A et son image A sont symétriques par rapport au plan du miroir (Fig. II.13). Fig. II.13 29