Rencontre ARIVAF 5 Exposé (3) : Pinceaux de Lefschetz Soit X une variété projective lisse sur un corps k. Nous souhaitons construire un morphisme X P 1 k où X est une variété birationnelle à X et où la fibration X P 1 k possède peu de singularité, celles-ci étant toutes simples. La référence principale utilisée pour préparer ce travail est [FK88], chapitre III, les compléments venant de [SGA72] et [SGA73] (en particulier les exposés XII et XV) 1. Points doubles ordinaires Il convient tout d abord de préciser le type de singularités que nous autorisons dans la fibration : ce seront les points doubles ordinaires. 1.1. Formes quadratiques. Soit k un corps et Q: V k une forme quadratique sur un k-espace vectoriel de dimension finie. Nous noterons Φ la forme bilinéaire associée : Φ(x, y) = Q(x + y) Q(x) Q(y). Définition 1.1. La forme quadratique Q sera dite ordinaire si la quadrique associée dans P n est lisse. On voit que si Q est non-dégénérée, alors Q est ordinaire : l espace tangent à Q = 0 en un point e est donné par le noyau de la forme linéaire Φ(e, ), qui est donc de dimension n 1. Toutefois la réciproque est fausse, cf. la remarque 1.4. Proposition 1.2 (Classification des formes quadratiques ordinaires). Soit V un espace vectoriel de dimension finie sur un corps k et Q une forme quadratique ordinaire sur V. Alors, localement pour la topologie étale sur k, il existe une base e 1,..., e m de V telle que et Q( i l x i e i ) = x i x i+m i=1 si m est pair Q( x i e i ) = i avec λ inversible. l x i x i+m + λx 2 2m+1 i=1 si m est impair Preuve : Par récurrence sur la dimension de V. Si dim V = 0 ou dim V = 1 alors c est évident. Si dim V 2, la quadrique définie par Q est lisse, donc elle possède une section pour la topologie étale, i.e. un élément e V \ {0 V } tel que Q(e) = 0. Comme la quadrique est lisse, l espace tangent en e à Q = 0 est de dimension dim V 1 et le noyau de Φ est donné par l orthogonal de 1
2 dq, qui n est donc pas égal à tout l espace. On peut donc trouver f tel que Φ(e, f ) = 1. Notons f = Q(f )e + f de sorte que Q(e) = 0 Q(f) = Φ( Q(f )e, f ) + Q( Q(f ) 2 e) + Q(f ) = 0 Φ(e, f) = 1 Notons V 1 le sous-espace vectoriel de V engendré par e et f, et V 2 son orthogonal pour Φ de sorte que V = V 1 V 2 (les deux espaces n ont pas de vecteurs non nul en commun car Φ est non dégénérée sur V 1 ). On conclut alors en appliquant l hypothèse de récurrence. On remarque que si on remplace k par un anneau strictement hensélien A et V par un A-module libre de rang fini, alors la classification ci-dessus peut s étendre car la quadrique définie par Q est lisse, et possède donc des sections localement pour la topologie étale. Lemme 1.3. La forme Q est non-dégénérée si et seulement si Q est ordinaire et que cark 2 ou bien dim k V est paire. Preuve : C est une conséquence directe de la classification ci-dessus. Remarque 1.4. En caractéristique 2 et dimension impaire, les formes quadratiques ordinaires sont automatiquement dégénérées, et les formes données par la caractérisation ci-dessus sont effectivement ordinaire. En effet si Q( i x ie i ) = l i=1 x i x i+m + λx 2 2m+1, on a Φ( i x i e i, i y i e i ) = i (x i y i+m + y i x i+m ). En particulier, Φ((0,..., 0, 1), ) = 0. Toutefois si x = (x i ) i est un point de la quadrique, alors on a forcément x i 0 pour un i < 2m + 1. Par suite, l espace tangent en x est donné la matrice jacobienne qui possède sa i-ème coordonnée non nulle. 1.2. Points doubles ordinaires. Soit X un schéma au-dessus du corps k et x X un point fermé. Notons A = O X,x. Définition 1.5. Si k est algébriquement clos, le point x sera dit double ordinaire si  = k[[x 1,..., x n ]]/(f) avec f = Q + m 3, et Q est une forme quadratique ordinaire. Dans le cas général, x sera dit double ordinaire si tous les points de X k k au-dessus de x le sont. On remarque que le point est singulier si, pour tout i, on a f x i = 0. Par suite les points doubles ordinaires sont isolés : si f = i x ix i+m + λx 2 2m+1 est ordinaire, alors x i = 0 pour tout i < 2m + 1, et donc aussi x 2m+1 = 0 : seul le point fermé est singulier. Remarque 1.6. En remplaçant, dans la définition précédente, la forme quadratique ordinaire par une forme quadratique non-dégénérée, on obtient la notion de point non-dégénéré qui est plus restrictive. Afin de simplifier l exposition, nous nous limiterons à ce dernier cas.
En travaillant dans les anneaux de séries formelles et en utilisant des déformations infinitésimales, on montre la proposition suivante : Proposition 1.7. Soit A un anneau local complet, m son idéal maximal, Q(x 1,..., x m ) une forme quadratique non dégénérée à coefficients dans A et a, a 1,..., a n m. Soit F A[[x 1,..., x n ]] telle que 3 F = a + i a i x i + Q mod m 3 + (x 1,..., x n ) 3. Alors A[[x 1,..., x n ]]/(F ) = A[[x 1,..., x n ]]/(a + Q). 1.3. Morphismes quadratiquement singuliers non dégénérés. Afin de simplifier les énoncés, nous nous limiterons aux points doubles non dégénérés, mais la théorie se fait sans grands changements pour les points doubles ordinaires. Définition 1.8. Soit φ: A B un morphisme localement de type fini entre anneaux locaux. i) Si A est un corps algébriquement clos, φ est dit quadratiquement non singulier si B est isomorphe à A[[x 1,, x n ]]/(f) pour une série entière f congruente à une forme quadratique non dégénérée modulo (x 1,..., x n ) 3. ii) Dans le cas général, φ est dit quadratiquement non singulier si φ est plat et si la fibre géométrique spéciale de φ l est. Proposition 1.9. Supposons A strictement hensélien, notons m son idéal maximal et choisissons une forme quadratique non dégénérée Q A[x 0,..., x n ], n = dim B dim A. Alors il existe a m tel que R = (A[x 0,..., x n ]/(Q a)) m et B aient des hensélisés isomorphes. Preuve : La preuve se fait en utilisant le théorème d approximation d Artin qui permet de passer du complété à l hensélisé : on passe de f à Q + a en utilisant la proposition 1.7, de a  à un élément a A en utilisant les idéaux de Jacobi (qui permettent de réaliser a et a comme des générateurs d un idéal dont la formation commute à la complétion), puis de Q à Q en utilisant la classification 1.2 des formes quadratiques sur un anneau strictement hensélien (pour avoir une forme quadratique à coefficients dans A). Définition 1.10. Soit ψ : X S un morphisme de type fini entre schémas. Un point a X est dit double non dégénéré si O S,ψ(a) O X,a est quadratiquement singulier non dégénéré. Proposition 1.11. Soit ψ un morphisme quadratiquement singulier non dégénéré, ψ : X S = SpecA, A strictement hensélien, et p X un point double. Il existe un voisinage étale de p qui soit isomorphe à un voisinage étale de (0,..., 0) dans SpecA[x 1,..., x n ]/(Q + a) pour une forme quadratique Q non dégénérée et un bon choix de a A.
4 2. Pinceaux de Lefschetz Un morphisme X P 1 k est appelé pinceau de Lefschetz s il est plat, que seul un nombre fini de fibres sont singulières, et que ces fibres possèdent au plus un unique point double ordinaire. L existence de pinceaux de Lefschetz est relativement effective : partant d un plongement projectif, on construit un plongement de Lefschetz en le composant avec un plongement de Veronese, puis une projection depuis un éclatement explicite de X. 2.1. Plongement de Lefschetz. Soit r et d des entiers 1 et N = ( d+r) r 1. Considérons le morphisme S(d): P r P N (x 0,..., x r ) (x d ) d où x = (x 0,..., x r ) et d = (d 0,..., d r ) parcourt les d + 1-uplet d entiers positifs tels que i d i = d. Le morphisme S(d) induit une bijection entre les hyperplans de P N et les hypersurfaces de P r de degré d : si H est un hyperplan de P N définit par une équation d a dy d = 0 alors H = S(d) 1 (H) est définie par d a dx d = 0. Soit X une variété projective lisse et j : X P r k un plongement. Nous noterons ˇP r k le dual de Pr k. Définition 2.1. Un plongement j : X P r k est appelé plongement de Lefschetz s il existe un sous-schéma fermé A ˇP n k de codimension 2 tel que pour tout hyperplan H A( k) on a i) H ne contient aucune composante irréductible de X ii) l intersection schématique H X contient au plus un point singulier, et celui-ci est un point double ordinaire. Nous pouvons construire explicitement un plongement de Lefschetz d une variété projective en composant n importe quel plongement projectif avec un plongement de Veronese de degré suffisant : Théorème 2.2. Soit X une variété projective lisse sur un corps infini, et de dimension 1. Soit j : X P r k un plongement et, pour d 1, notons j(d) = S(d) j. Alors, pour d 3, j(d) est un plongement de Lefschetz. Il est en fait possible d être plus général : en caractéristique 0, j est déjà automatiquement un plongement de Lefschetz. Dans le cas de la caractéristique quelconque, on peut montrer que j(d) est un plongement de Lefschetz pour tout d 2. Démonstration du théorème. On peut supposer que k est algébriquement clos, ce que nous ferons pour la suite. Étant donné un point x X et un hyperplan H ˇP r k tel que x H, on voit que H est tangent à X en x si H contient l espace tangent T X,x,
i.e. X H ou bien X H est singulier. En effet, si X est définit par un faisceau d idéal J et H par une fonction f alors l intersection est donnée par (O P r/j ))x/(f). Ainsi, si f n est pas nul, et comme les espaces tangents sont égaux, on peut écrire f = Q mod J avec Q m 2 x. On trouve donc la singularité. Lemme 2.3. Notons Y (j) = {(x, H) X ˇP r k, H est tangent à X en x}. Alors Y (j) est une sous-variété lisse et irréductible de X ˇP r k de dimension r 1 (resp. si X = P r k ). Plus précisément, soit J le faisceau d idéaux de O P r associé à (X, j). Alors Y (j) est isomorphe au fibré conormal Proj ( J /J 2) X. Preuve : La première assertion est une conséquence de la description explicite de la deuxième car si X est de dimension n, elle est donnée localement par un système de r n1 paramètres (car c est une intersection locale complète). Le faisceau conormal projectif est donc de dimension (n + (r n)) 1. Concernant la deuxième assertion, elle provient du fait qu un hyperplan H tangent en X à x est donné par une (hypersurface) fonction qui s annule sur X en x (donc dans J x ) et de degré 1 (donc modulo Jx 2 ). On a donc un morphisme Y (j) ( J /J 2) X et la description ci-dessus montre que c est un isomorphisme. Lemme 2.4. Reprenons les notations ci-dessus et notons Ỹ (j) = {(x, H) Y (j), x n est pas un point double ordinaire de X H}. Preuve : Si x n est pas un point singulier de X H, alors X H et l ensemble des H qui contiennent X est fermé. Si x est un point singulier qui n est pas un point double ordinaire, alors H est donné par une forme quadratique (ou plus) dégénérée sur m x /mx 2, il en est donc de même sur ses spécialisations. Nous allons maintenant appliquer ces résultats à j(d). Lemme 2.5. Supposons d 2. Pour tout point x X il existe une hypersurface F de degré d tangente à X en x et telle que x est un point double ordinaire de X F. Preuve : Choisissons un système de cordonnées y 0,..., y r de P r k telles que a = (1, 0,..., 0) et que les fonctions régulières y 1 y 0,..., yr y 0 forment un système de paramètres de X en a. On peut alors trouver une forme quadratique Q non dégénérée en les variables y 1 y 0,..., yr y 0. Il suffit alors de prendre pour notre hypersurface l ensemble des zéros du polynôme homogène y0 d 2 Q(y 1,..., y r ). En particulier, on voit que Y (j(d)) Ỹ (j(d)) et, comme Ỹ (j(d)) est fermé dans Y (j(d)) qui est irréductible on a dim Ỹ (j(d)) dim Y (j(d)) 1 = N 2. 5
6 Nous allons maintenant faire une construire analogue mais pour les couples de points de X. Lemme 2.6. L ensemble Z(j(d)) = {(x, y, H) X X ˇP N, x y, H est tangent à X en x et en y} est fermé dans (X X \ ) ˇP N (où désigne la diagonale de X X), et on a dim Z(d) N 2 dès que d 3. Preuve : Considérons pr 1 et pr 2 les projections (X X \ ) ˇP N X ˇP N définit par les oublis de x et de y. Alors on voit que Z(j(d)) = pr1 1 (Ỹ (j(d))) pr 1 2 (Ỹ (j(d))), ce qui prouve la fermeture. Pour ce qui est de la borne sur la dimension, il suffit de montrer que les fibres de la projection Z(j(d)) X X \ sont de dimension au plus N 2 2 dim X. Comme les fibres au-dessus d un couple (a, b) sont les hypersurfaces de degré d qui sont tangentes à X en a et en b, la borne découlera du fait suivant en considérant pour V et W les espaces tangents à X en a et en b : Fait 2.7. Soient V, W P r deux sous-espaces linéaires et deux points a V, b W, a b. Notons Ū l espace vectoriel des équations homogènes de degré d (on a dim Ū = N + 1 = ( r+d) r ). Alors le sous-espace de U formé des équations f dont l ensemble des zéros F f P r est tangent à V en a et à W en b est un sous-espace linéaire U de Ū et dim U dim V + dim W + 2. Preuve : Soient a 0 = a, a 1,..., a dim V des points linéairement indépendants de V et b 0 = b, b 1,..., b dim W des points linéairement indépendants de W. Les conditions sur F f se résument à i) (contient a 0 et b 0 ) a 0, b 0 F f ii) (contient les espaces tangents) j 1 on a a j T a (F f ) et pour tout i 1 on a b i T b (F f ) Toutes ces conditions sont linéaires en f (évaluation de f et de sa différentielle) et il y en a dim V + dim W + 2. Il suffit donc de montrer qu elles sont libres. Pour cela, on peut agrandir V et W (ce qui ne fait que rajouter des équations) et supposer que V = W = P r. On retraduit alors ces conditions en a, b F f, F f est singulier en a et en b et T a (F f ) = P r = T b (F f ). Après changement de coordonnées on peut supposer que a = (1, 0,..., 0), que b = (0, 1, 0,..., 0) et que f = d a dx d. La première condition signifie alors que a d,0,...,0 = 0 = a 0,d,0,...,0.
La singularité de F f signifie que f X j (1, 0,..., 0) = 0 pour j 0, f X j (0, 1, 0..., 0) = 0 pour j 1 ce qui entraîne que les coefficients de X0 d 1 X j et X1 d 1 X j doivent être nul. L espace vectoriel U est donc de codimension 2r + 2 si d 3 (car alors ( r+d ) r 2r + 2 pour tout r 1 ), ce qui prouve que les conditions sont linéairement indépendantes. Notons maintenant A = Ỹ (j(d)) Z(d). D après les lemmes ci-dessus, A est de codimension au moins 2 et, par définition, tout hyperplan non contenu dans A rencontre X en un seul point singulier et celui-ci est double ordinaire. 7 Z(j(d)) X X ˇP n A ˇPn Ỹ (j(d)) Y (j(d)) X ˇP n 2.2. Existence de pinceaux de Lefschetz. Soit X une variété projective et lisse au-dessus d un corps infini k et j : X P r un plongement de Lefschetz. Considérons une droite Ď ˇP r. Il lui correspond un sous-espace linéaire D P r de dimension r 2 qu on peut voir comme l intersection de deux hyperplans 2. De plus, on peut trouver une telle droite vérifiant i) Ď A =, ii) D intersecte X transversalement. En effet, cette condition est vérifiée pour une courbe générique : i) comme codima > 1, une droite générique ne rencontre pas A! ii) c est une conséquence du théorème de Bertini (utilisé deux fois) qui dit que l intersection d une sous-variété lisse avec un hyperplan générique est lisse. Par suite, comme k est infini, on peut trouver une droite vérifiant ces conditions. Considérons la sous-variété projective X de X Ď définie par X = {(x, H), x H} et notons f : X Ď π : X X 1. ce qui, dans les faits, n enlève vraiment que le cas r = 1 si d 2 2. en fait, D = H ĎH mais comme Ď est une droite affine, on peut se limiter à deux plans H 1 et H 2. On remarque de plus que H Ď H = Pr
8 les deux projections. Les fibres de π au-dessus d un point x sont composées des hyperplans de Ď qui contiennent x : π 1 ({x}) = Ď si x D (car x appartient à tout les hyperplans!) si x D, alors il existe un unique H tel que x H car H Ď H = Pr et si x H 1 H 2 alors x D! Ainsi, on voit que π est l éclaté de X en X D. Comme X et X D sont lisses par hypothèses, il en est de même de X. Les fibres de f sont les intersections de X avec les hyperplans H Ď. On peut donc conclure. Théorème 2.8. Soit X un variété projective lisse de dimension > 0 audessus d un corps infini k. Alors il existe un morphisme birationel π : X X où X est lisse, et un morphisme f : X P 1 k qui n est singulier qu en un nombre fini de points et dont les fibres possède un plus un point singulier, celui-ci étant double ordinaire. Dans le cas où le corps k est fini, on peut montrer l existence d un tel morphisme après une extension finie. 2.3. Application à la cohomologie étale. Soit X X un morphisme birationel entre variétés projectives lisses au-dessus d un corps algébriquement clos k. Alors, pour tout entier l premier à car(p), le morphisme canonique H p (X, Z/lZ) H p ( X, Z/lZ) est injectif. Supposons out d abord que p = 2 dim X. On dispose alors d un morphisme trace fonctoriel T r : H p (X, Z/lZ) µ l ( d) qui est un isomorphisme (cf. [Mil80], Lemma VI.11.3). On a donc un diagramme commutatif H p (X, Z/lZ) H p ( X, Z/lZ) µ l ( d) µ l ( d) Supposons maintenant que p < dim X. On se ramène au cas précédent en utilisant le cup-produit qui est non dégénéré et compatible avec les images inverses H p (X, Z/lZ) H q (X, Z/lZ) H p ( X, Z/lZ) H q ( X, Z/lZ) H 2 dim X (X, Z/lZ) H 2 dim X ( X, Z/lZ)
Ainsi, pour les preuves des conjectures de Weil, on peut remplacer X par la variété X munie de son pinceau de Lefschetz f : X P 1 k. Ce qui permet à son tour de remplacer X par certains faisceaux sur P 1 k. [FK88] Références E. Freitag and R. Kiehl, Étale cohomology and the Weil conjecture, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), vol. 13, Springer-Verlag, Berlin, 1988. [Mil80] J. S. Milne, Étale cohomology, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1980. [SGA72] Groupes de monodromie en géométrie algébrique. I, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 288, Springer-Verlag, Berlin, 1972, Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie 1967 1969 (SGA 7 I), Dirigé par A. Grothendieck. Avec la collaboration de M. Raynaud et D. S. Rim. [SGA73] Groupes de monodromie en géométrie algébrique. II, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 340, Springer-Verlag, Berlin, 1973, Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie 1967 1969 (SGA 7 II), Dirigé par P. Deligne et N. Katz. 9