Eercices type bac : correction Eercice 1: Pondichéry Avril 1 1. a) f est dérivable sur [;8] et est de la forme u e v + 3. Donc on a pour tout [;8], f () = u ()e v() +u()v ()e v() avec : u() = 4 +5 v() = u () = 8 v () = 1 Donc, pour tout [;8], on a : f () = 8e +( 4 +5) ( 1) e = (4 8 5)e b) Comme on sait que pour tout réel, e >, f () est du même signe que 4 8 5. Or pour les racines de ce trinôme sont 1 = 5 et = 1. On a donc le tableau de signe suivant : 4 8 5 e f (),5 8 + +. f (),5 8 f() 8 1,36,9 3. Divisons notre étude sur deu intervalles : [;,5] et [,5;8]. ur [,5;8] la fonction f est continue et strictement croissante et f(,5) < 3 et f(8) < 3. Donc pour tout [,5;8], f() < 3 et ainsi l équation f() = 3 n admet pas de solution sur [,5;8]. ur [;,5] la fonction f est continue et strictement croissante et 3 est compris entre f() et f(,5). D après la propriété des valeurs intermédiaires, l équation f() = 3 admet donc une unique solution sur [;,5]. En conclusion, l équation f() = 3 admet une unique solution sur [;8] et grâce à la calculatrice on a 1,1. 1. Dans cette question il faut calcule f() pour = 5. On a f(5),36 donc le coût moyen unitaire de production pour 5 litres est d environ 36 euros par hectolitre.. a) D après le tableau de variations de la partie A, f() atteint son minimum pour =,5 et f(,5) 1,36. Donc pour minimiser son coût de production, l entreprise doit produire 5 litres de peinture et le coût moyen de production est alors d environ 136 euros par hectolitre. b) Dans cette situation le coût de production d un hectolitre est de 136 euros alors que le pri de vente est de 1 euros pour un hectolitre. L entreprise ne fait donc pas de bénéfice, elle perd environ 36 euros par hectolitre vendu. TE-TL Page 1 Correction révisions
3. Dans cette question on cherche à savoir pour quelle quantité produite, le coût de production unitaire devient inférieur au pri de vente (la recette sera alors supérieure au coût donc l entreprise réalisera des bénéfice). Comme le pri de vente unitaire est de 3 euros, on cherche ici pour quelles valeurs de on a f() 3. D après l étude de la partie A cela se produit pour [ ;8]. Le seuil de rentabilité est donc de hectolitre soit environ 11 litres. Eercice : Amérique du nord mai 1 1. a) On trouve la valeur du nombre dérivé en 1 en cherchant sur le graphique la pente de la tangente à la courbe au point d abscisse 1. ci la tangente en A est horizontale donc la pente de la tangente est nulle. Ainsi f ( 1) =. b) La fonction semble décroissante sur [ 1;4] donc on peut dire que f () <. c) f () est égal à la pente de la tangente à la courbe au point d abscisse c est à dire le point B. Ainsi on a f () = 1.=. l est ici demandé d encadrer l aire sous la courbe entre les points d abscisse 1 et. Graphiquement on peut voir que 1 f() d 3. 1. L ordonnée du point A est f( 1) = ( 1+)e 1 = e.. La fonction f est dérivable sur [ ;4] et f () = ( 1)e On peut donc dresser le tableau de signes et de variations suivant : 1 e f () f() 3. La fonction F est dérivable sur [ ;4] et 4. a) 1 4 + + + + e 6e 4 F () = ( 1)e +( 3) ( e ) = ( 1++3)e = (+)e = f() Donc F est une primitive de f sur [ ;4]. 1 f() d = F() F( 1) = 3 ( e 1 ) = e 3 b) Grâce à la calculatrice on a e 3,4 donc on retrouve bien le résultat de la partie A. TE-TL Page Correction révisions
Eercice 3: Liban mai 1 Partie 1 1. f est dérivable sur [;5] et. f () = e +e e = e e f () f() 3. a) propriété des valeurs intermédiaires 5 + + + 9 b) f(,4) < < f(,41) donc,4 < α <,41. c) f() 4. a) La fonction g est dérivable sur [;5] et b) Donc g est une primitive de f su [;5]. 5 3 Partie 4e 5 8 α 5 g () = e +e e 6 = e e 8 = f() f() d = g(5) g(3) = 3e 5 4 (e 3 4) = 3e 5 e 3 16. 1. Grâce au tableau de signe de f on peut dire que l entreprise réalise des bénéfice partir de α milliers d objets produits, donc d après l encadrement de α, à partir de 41 objets produits.. La valeur moyenne est m = 1 () d = 3e5 e 3 16 4,58 5 3 3 La valeur moyenne du bénéfice est d environ 458 euros. 5 Eercice 4: Polynésie juin 1 1. b). a) 3. Hors programme... 4. b) Eercice 5: étropole septembre 1 1. c). a) 3. b) 4. d) TE-TL Page 3 Correction révisions
Eercice 6: Ploynésie septembre 1 1. f () < sur ]3;7].. y = 1,5 1 3.,5 4 f() d 1,5 1. g est dérivable sur R et : g () = e,5 +( ) (,5)e,5 = ( ++1)e,5 = ( 1)e,5. On peut résumer toute cette question dans le tableau suivant : 1 + 1 e,5 g () + + g() 4e,5 3. 4. Comme g = f on peut affirmer que g est une primitive de f. La valeur moyenne sur [;1] est donc : m = 1 1 1 f() d = g(1) g() = 4e,5 ( ) = 4e,5,43 Eercice 7: Polynésie septembre 1 1. Le pourcentage de feuillus dans la récolte totale est 11489,35 soit environ 35 %. 3397. Parmi les conifères le pourcentage de bois destiné à l industrie est 685,31 soit environ 31 %. 168 1. Arbre,3 F,45,55,7 C TE-TL Page 4 Correction révisions
. L énoncé nous dit que P() =,585 donc P() = 1,585 =,415 De plus on sait, d après la formule des probabilités totales que P() = P( C)+P( F) On connait P(), on cherche P( C) et grâce à l arbre pondéré on a P( F) = P(F) P F () =,3,45 =,135. On en déduit que P( C) = P() P( F) =,415,135 =,8. 3. On cherche dans cette question P (C). On a : P (C) = P( C) P() =,8,415,67 La probabilité qu un lot destiné à l industrie soit constitué de conifères est d environ, 67. 4. Notons X la variable aléatoire égale au nombre de lots constitués de bois d oeuvre parmi les 4 lots tirés. On effectue ici des tirages avec remise et la probabilité des succès est P() =,585. X suit donc la loi binomiale de paramètres 4 et,585. ( ) 4 Ainsi P(X 1) = 1 P(X = ) = 1,585,415 4,97. La probabilité qu au moins un lot soit contitué de bois d oeuvre est d environ, 97. Eercice 8: Nouvelle Calédonie novembre 1 Traduisons l énoncé par un arbre pondéré :,3 A,,8 Touriste,5 T,6,4, B On nous donne aussi P() =,4 1. On cherche ici P(B). On sait que P(A)+P(T)+P(B) = 1 donc on en déduit que P(B) = 1,3,5 =,. a) L événement A est l événement le touriste a voyagé en avion et est resté plus d une semaine en Angleterre. b) P(A ) = P(A) P A () =,3, =,6 P(T ) = P(T) P T () =,5,6 =,3 TE-TL Page 5 Correction révisions
3. D après la formule des probabilités totales, P() = P(A )+P(T )+P(B ), donc on a : 4. On cherche ici P (B). On a : P(B ) = P() P(A ) P(T ) =,4,6,3 =,4 P (B) = P(B ) P() =,4,4 =,1 La probabilité que le touriste ait voyagé en bateau sachant qu il est resté plus d une semaine en Angleterre est égale à,1. 5. On note X la variable aléatoire égale au nombre de touriste, parmi les trois interrogés, qui sont resté plus d une semaine en Angleterre. Commel énoncénousditquel onpeutconsidérerquel onauntirageavecremiseetquelaprobabilité de succès est,4, on peut ( dire ) que X suit la loi binomiale de paramètres 3 et,4. 3 On a donc P(X = 1) =,4 1,6 =,43. 1 Eercice 9: Eercice 44 page 5 1. Traduisons les données de l énoncé par un arbre :,41 C,477,53 Animal,59 C,445,555 a) D après la formule des probabilités totales P() = P(C )+P(C ). De plus P(C ) = P(C) P C () =,41,477 =,19557 et de même P(C ) =,655. Donc P() =,4581. b) P (C) =,3957 c) X suit la loi binomiale de paramètres 1 et,4581. P(X 1) = 1 P(X = ),9978. a) On a ici n = 5 et p =,487. On a bien n 3, np 5 et n(1 p) 5. Donc l intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de,95 est [ ] p(1 p) p(1 p) = p 1,96 ;p+1,96 [,45;,549] n n b) La fréquence observée est f = 13 5 =,5 Comme f on peut dire que l échantillon est représentatif. TE-TL Page 6 Correction révisions
3. a) f = 51 16 =,3 b) On a ici n = 16 et la fréquence observée est f =,3. On a bien n 3, n f 5 et n(1 f)geqslant5 donc un intervalle de confiance pour p au niveau de confiance,95 est : [ = f 1 ;f + 1 ] = [,95;,345] n n On peut donc estimer, avec une probabilité supérieure à,95, que la proportion de foyers ayant un poisson est comprise entre 9,5% et 34,5%. Eercice 1: 1. On effectue ici des tirages avec remise et la probabilité de succès est égale à, donc X suit la loi binomiale de paramètres 5 et,. ( ) 5. P(X = ) =,,98 5,36 ( ) 5 P(X = 1) =, 1,98 4 9,37 1 3. P(X ) = P(X = )+P(X = 1)+P(X = ),9 1. P(548 L 1 55),95. On cherche ici P([548 L 1 55] [18 L 11]). Comme les variable aléatoires sont indépendantes on a : Partie C P([548 L 1 55] [18 L 11]) = P(548 L 1 55) P(18 L 11),9 1. On a ici n = 11 et la fréquence observée est f =,94. On a bien n 3, n f 5 et n(1 f)geqslant5 donc un intervalle de confiance pour p au niveau de confiance,95 est : [ = f 1 ;f + 1 ] = [,84;1,4] n n. L amplitude de l intervalle de confiance est On cherche n tel que n. n,8. Résolvons cette équation : n,8... n 4,64 = 65 l faut prélever au minimum 65 plaques pour que l intervalle de confiance ait une amplitude inférieure à,8. TE-TL Page 7 Correction révisions