IUT Louis Pasteur Mesures Physiques Mathématiques 2ème semestre Damien JACOB 08-09
Chapitre 1 : Espaces vectoriels I. Définitions et exemples Soit un ensemble et soit =R C. est un espace vectoriel sur si : 1. est muni d une addition interne (on peut additionner les éléments de entre eux) vérifiant : i., +=+ (commutativité) ii.,, ++=++ (associativité) iii. Il existe un élément neutre, noté 0, pour cette addition, c'est-à-dire +0 = iv. Tout élément de admet une opposé, noté, telle que + =0 2. est muni d une multiplication externe par les éléments de vérifiant : i., +=+ (distributivité) ii., +=+ (distributivité) iii. Cette multiplication admet 1 comme élément neutre, c'est-à-dire 1= Vocabulaire : les éléments de sont quelques fois appelés scalaires. Propriétés : i. 0.=0 ii. 1.= Vocabulaire et abréviation : On abrévie souvent espace vectoriel par et les éléments d un sont quelques fois appelés vecteurs. Exemples : i. =0 est un espace vectoriel de ii. = est un espace vectoriel de iii. = ensemble des vecteurs de la géométrie (du plan ou de l espace) (de cette situation que vient le vocabulaire) iv. =R est un espace vectoriel de R (voir cours de Fonctions à Plusieurs Variables) v. =R : ensemble de tous les polynômes à coefficients réels est un espace vectoriel de R On admet que ces exemples sont des espaces vectoriels et on les qualifiera d espaces vectoriels de référence. Les vecteurs (au sens de l algèbre linéaire) peuvent donc être des nombres, des vecteurs (au sens de la géométrie), des polynômes, des fonctions, etc MATHS2 chap1 Page 2
Soit un espace vectoriel de et soit (sous-ensemble de ). est un sous-espace vectoriel () de si et seulement si : i. ii., + iii. La propriété i. fait double emploi avec ii. et iii. mais on la mentionne parce qu elle permet quelques fois de prouver qu un sous-ensemble n est pas un sous-ensemble vectoriel. Pour le propriété ii., on dit que est stable pour l addition et pour la iii., on dit que est stable pour la multiplication par les scalaires. Soit un espace vectoriel de et un espace vectoriel, alors est lui-même un espace vectoriel de. En pratique, pour montrer qu un ensemble est un espace vectoriel, on essaie de montrer que c est un sous-espace vectoriel d un des espaces vectoriels de référence. Remarque : On ne peut pas à priori multiplier les éléments d un ensemble vectoriel entre eux. Mais certains exemples d ensembles vectoriels possèdent une telle multiplication, qui n a pas de lien avec la structure d espace vectoriel. Un ensemble qui vérifie les 4 propriétés de la première partie de la définition de l espace vectoriel est appelé groupe commutatif. On peut définir des espaces vectoriels plus généralement dès que est un corps (ensemble muni d une addition interne et d une multiplication interne pour laquelle tout élément non-nul est inversible). II. Combinaison linéaire, familles libres et liées Soit un espace vectoriel de. Soit,,,. On appelle combinaison linéaire de avec les coefficients de tel que = + + + est un espace vectoriel de et. est un sous-ensemble vectoriel de si et seulement si est stable, par combinaison linéaire, c'est-à-dire, et, + MATHS2 chap1 Page 3
Une famille de vecteurs (c'est-à-dire vecteurs) est libre si et seulement si aucun d entre eux ne peut s écrire comme combinaison linéaire des autres. Une famille qui n est pas libre est liée. Cas particuliers : i. Une famille contenant le vecteur nul est toujours liée 0. ii. Une famille contenant 2 fois le même vecteur est liée. Une famille de vecteurs,,, est libre si et seulement si la seule manière d écrire 0 comme combinaison linéaire de,,, est de prendre tous les coefficients nuls, c'est-à-dire que + + + =0 = = =0 III. Famille génératrice, famille de base, famille de dimension Soit un ensemble vecteur de et soit un sous-ensemble vectoriel. Une famille,,, est génératrice de si et seulement si tout élément de s écrit comme combinaison linéaire de,,,, c'est-à-dire,,,, = + + + i. Les notions libre/liée d une part et génératrice d autre part, sont indépendantes. ii. La notion libre/liée ne dépend que des éléments de la famille. iii. La notion de famille génératrice dépend du contexte : une famille génératrice est toujours génératrice de quelque chose (un sous-ensemble vectoriel). Soit un ensemble vectoriel de et,,, une famille d éléments de. On appelle sous-espace engendré par,,,, noté,,, le sousensemble vectoriel de formé de l ensemble des combinaisons linéaires de,,,.,,, = + + + \,,, Remarque : Il arrive quelque fois qu une famille de vecteurs soit à la fois libre et génératrice d une certain sous-ensemble vectoriel de. Soit un ensemble vectoriel de et un sous-ensemble vectoriel. On appelle base de une famille libre d éléments de,,, qui est également génératrice. Remarque : Il existe des sous-ensembles vectoriels qui n admettent pas de base. MATHS2 chap1 Page 4
Soit un sous-ensemble vectoriel de mais également un ensemble vectoriel de admettant des bases. Alors toutes ces bases sont constituées du même nombre de vecteurs. Le nombre de vecteurs constituant toute base de est appelée la dimension de, notée. 0 ne contient aucune famille libre, il n a pas de base et on pose 0 =0 Constatant que la notion de famille est une notion finie, certains espaces vectoriels n ont pas de base car il faudrait des familles infinies. Ces espaces vectoriels sont dits de dimension infinie et on ne s y intéressera pas beaucoup. Exemple : reprise des exemples de référence du I. i. Cf ci-dessus ii. R=1 est une base formée d un réel non-nul iii. Soit espace des vecteurs de la géométrie du plan. =2 et 1 0 0 en forment une base. 1 Soit l espace des vecteurs de la géométrie dans l espace. 1 0 0 =3 et 010 en forment une base. 0 0 1 1 0 0 iv. =R R 0 1 = et en forment une base. 0 0 0 1 Les bases données dans les exemples ii. et iii. sont à chaque fois les plus simples possibles, elles sont appelées bases canoniques. v. Les espaces des polynômes et des fonctions sont de dimension infinie. IV. Rang d une famille de vecteurs Soit une famille de vecteurs dans, un ensemble vectoriel de. On appelle rang de cette famille le nombre maximal de vecteurs pris parmi et formant une famille libre, c'est-à-dire le nombre de vecteurs formant la plus grande sousfamille libre extraite de. Propriétés : La famille est libre si et seulement si son rang est, c'est-à-dire qu une famille est libre si et seulement si son rang est égal au nombre de vecteurs qui la constitue. La famille est génératrice de, sous-ensemble vectoriel de avec = si et seulement si son rang est égal à, c'est-à-dire qu une famille est génératrice si et seulement si son rang est égal à la dimension du sousensemble vectoriel qu elle engendre. MATHS2 chap1 Page 5
Soit une famille d éléments de sous-ensemble de avec =. forme une base de si et seulement si = et =. Remarque : on note souvent pour rang. Soit une famille d éléments de sous-ensemble de avec =. i. Si <, alors la famille n est pas génératrice de. ii. = iii. Si >, alors la famille est liée. Le rang d une famille de vecteurs ne change pas : i. Si on échange 2 vecteurs ii. Si on multiplie un vecteur par un élément de iii. Si on ajoute à l un des vecteurs une combinaison linéaire des autres. Ces trois types d opération sont appelées opérations élémentaires sur les vecteurs. En pratique, pour connaître le rang d une famille de vecteurs, on va lui associer une famille dite échelonnée qui, obtenue à l aide d opérations élémentaires, a même rang que la famille de départ. Soit une famille d éléments de sous-ensemble de. En fixant une base de, on peut écrire les composantes ou coordonnées de dans la base. La famille est dite échelonnée si et seulement si : = = = Si est la 1 ère composante non-nulle de alors =0 pour tous les avec =2 Si cette 1 ère composante d indice non-nulle n est pas la 1 ère composante de, tous les =2 ont des composantes nulles de 1 à 1. On refait de même pour et tous les suivants. Le rang d une famille échelonnée est égal au nombre de vecteurs non-nuls qui y figure. Finalement, pour calculer le rang d une famille de vecteurs, on lui associe à l aide d opérations élémentaires une famille échelonnée. MATHS2 chap1 Page 6