EXERCICE : On donne les matrices Fiche exercices sur les systèmes et les matrices a b A c 3 et B. 7 Déterminer a, b et c tel que A 3 B 3 EXERCICE : On donne les matrices A 3 6 6 et B. a) Calculer à la main la matrice 3A-B. b) Calculer à la main A² et B². Que remarque-t-on? c) Calculer à la main AB puis BA. EXERCICE 3 : On donne les matrices a A 3 b et B c. 8 Déterminer a, b et c tel que AB 9 a EXERCICE : On donne les matrices A et 0 c B 8. Déterminer a et b pour avoir l'égalité AB BA 6 EXERCICE 5 : On donne la matrice A où x désigne un nombre. x 6 0 0 ) a) Déterminer par le calcul la valeur de x pour laquelle A A 0 0. b) Dans ce cas peut-on calculer A? ) a) Déterminer par le calcul la valeur de x pour laquelle b) Dans ce cas, exprimer A 0 03 c) Que remarque t-on? en déduire A et A 0 A A 0. 3) Déterminer par le calcul la valeur de x pour laquelle 0 0 A A 0 0. x y 3z EXERCICE 6 : On donne le système suivant (S) x 3y z 7 3x y z 7 ) Ecrire le système (S) sous la forme AX=B où les matrices A, X et B sont à préciser. ) résoudre le système (S) en indiquant la méthode utilisée.
EXERCICE 7 : On donne la matrice x suivante : A a) Exprimer A avec la calculatrice, en déduire A en fonction de A b) Même question avec A 3. c) Exprimer A n en fonction de n et exprimer A n en fonction de A EXERCICE 8 : On donne la matrice 3x3 suivante : A 0 0 0 a) Exprimer A b) Exprimer A et A c) Exprimer A 3 3 et A d) Exprimer A et A e) Faire une conjecture sur l'expession de A n n en fonction de n et de A en fonction de n. f) Vérifier votre conjecture pour n = 0. EXERCICE 9 : une personne possède objets, ronds, carrés et triangulaires, une balance et masses de 0,5 kg. ( les objets de même forme ont le même poids ) Elle réussie à mettre la balance en équilibre trois fois, comme le montre la figure ci-contre ) Déterminer le poids de chaque objet. ) Pouvait-on trouver des pesées plus simples pour trouver le poids de chaque objet? Si oui, donner ces pesées. EXERCICE 0 : Résoudre, si possible, les systèmes suivants en utilisant des matrices et en indiquant la méthode utilisée. x y z 0 x y z 0 ) x y z ) x y z x 6y z x 6 y z EXERCICE (difficile) : a b On donne les matrices A 0 et B c d 0 e f 7 7 Déterminer a, b, c, d, e et f sachant que A B 5 5
Corrigé EXERCICE : On donne les matrices a b A c 3 et B 7 et A 3 B comme a b a 3 3b A3B 3 c 3 c 3 on a donc le système a 37 3b c 3 ; a 0 3b 3 c ; a5 b c d'où a5 ; b et c 5 03 3 7 vérification : A3B 3 3 3 6 6 EXERCICE : On donne les matrices 3 A 3 6 6 et B. 3 3 6 3-3 33-6 3-9- -9-3 a). 3AB 3 6 3-3 6-6 88 0 6 b) Calculer à la main A² et B². Que remarque-t-on? 3 3 +3 3+3 6 +6 3+8 7 A 6 6 +6 3+6 6 + 6+ 8 3 3+6-3 6+6-3 6 3 6 96 8 3 6 B -3- - -6- - 3 6+ On remarque que 3 3 6 6 A 7 7 A et que B B c) Calculer à la main AB puis BA. 3 3 6 3+3-6+3-33 66 0 0 AB 6 3+6-6+6-66 0 0 3 6 3 3+6 33+6 6 3 9+36 5 5 BA 6 -- -3-6 3 5 5
a EXERCICE 3 : On donne les matrices A 3 b et 8 B c et AB 9 a ac a 8 AB 3 b c 3 bc 3b et AB 9 ac 8 ac 8 ac 8 c 6 c 3 a a a a a on a donc le système ; ; ; ; 3 bc 9 3 bc 9 3 bc 9 c c 3 3b b 8 b b b d'où a ; b et c 3 6 8 vérification : AB 3 3 3 38 9 a EXERCICE : On donne les matrices A et c B. Déterminer a et b pour avoir l'égalité AB BA a c a ac AB 0 c et c a ac c BA a a a c c c c ac c ac 3 c ac 3 c 3 on a donc le système ; ; ; 0a a a a c c c c donc a = et c =- d'où A et B 0 Vérification : AB 0 et 0 BA 0 6 EXERCICE 5 : On donne la matrice A où x désigne un nombre. x 6 6 6 36 x 0 ) a) A A x 6 x 6 0 x 36 ; si 0 0 A A 0 0 alors.36 x 0 ; 36 x ; x 9 donc b) pour ) a) 6 A 9 6 6 A 9 6 6 6 36 et 9 36 donc on ne peut pas calculer A on a 6 6 36 x 0 A A x 6 x 6 0 x 36 ; si 0 A A alors.36 x ; 35 x ; b) pour 6 A 8,75 6 35 x 8,75 donc on a 0 6 A 8,75 6 6 6 36 et 8,75 35 donc on peut calculer A
6 on obtient A 8,75 6 c) on remarque que A A et donc que A I 0 006 d'où A 006 A I I et 03 0 006 A 006 AA A A AI AI A 6 6 36 x 0 ) a) A A x 6 x 6 0 x 36 ; si 0 0 A A 0 0 6 alors.36 x 0 ; 976 x ; x 9 donc A 9 6 x y 3z EXERCICE 6 : On donne le système suivant (S) x 3y z 7 3x y z 7 3 x ) pour A 3 ; X y et B 7 on peut écrire le système (S) sous la forme AX=B 3 z 7 ) résoudre ce (S) en indiquant la méthode utilisée. Comme AX B alors A AX A B d'où X A B 7 / / / 7 / On obtient A 7 5 / 7 / 5/ et A B / donc S ; ; / 5/ 7 / 5 / EXERCICE 7 : On donne la matrice x suivante : A 3 3 a) A 6 6 d'où A 3 3A 3 9 9 b) A 8 8 d'où 3 A 9 9A 3 A n n n 3 3 c) A n n 3 3 d'où n n n A 3 3 A EXERCICE 8 : On donne la matrice 3x3 suivante : A 0 0 0 8 8 a) A 0 b) A 0 et A 0 0 0 0 0 0 0 6 8 6 8 3 3 c) A 0 6 et A 0 6 0 0 0 0 8 3 8 3 d) A 0 8 et A 0 8 0 0 0 0
n n n n n e) il semble que A 0 n et A 0 n 0 0 0 0 0 00 n f) pour n = 0 on a n 0 0 et n 0 00 d'où A 0 0 0 0 ce qui est vérifié avec la calculatrice EXERCICE 9 : ) Soit x le poids d'un rond, y celui d'un carré et z d'un triangle, on obtient le système suivant : x y z x y z 0 x z y 0,5 et donc x y z 0,5 x z 3y 0, 5 x 3y z 0,5 x 0 soit les matrices A ; X y et B 0,5 3 z 0, 5 On peut écrire le système sous la forme AX=B Comme AX B alors A AX A B d'où X A B 0,5 0, 5 0 0, 5 On obtient A 3 et A B, 5 donc S 0, 5;, 5;,5 donc 0,5 3,5,5 le poids d'un rond est 0,5 kg, celui d'un carré est,5 kg et celui d'un triangle est,5 kg. ) On pouvait facilement trouver des pesées plus simples : première pesée : le rond car on possède un poids de 0,5 kg deuxième pesée : le triangle car on possède poids de 0,5 kg et 3 objets ronds troisième pesée : le carré car on possède poids de 0,5 kg et objet triangle EXERCICE 0 : Résoudre, si possible, les systèmes suivants en utilisant des matrices et en indiquant la méthode utilisée. x y z 0 x 0 ) x y z on pose A ; X y et B x 6y z 6 z Comme AX B alors A AX A B d'où X A B 7 / 5/ / 3 On obtient A 3/ 8 / 8 /8 et A B 0,5 donc S 3;0,5; 0 x y z 0 x 0 ) x y z on pose A ; X y et B x 6 y z 6 z Comme AX B alors A AX A B d'où X A B 7 / 5/ / 0, 5 On obtient A 3/ 8 / 8 /8 et A B, 5 donc S 3,5;0,75; 0,5
EXERCICE : a b 7 7 A 0 et B c d ; Déterminer a, b, c, d, e et f sachant que A B 5 5 0 e f a c e 7 a c 5 a b d f 7 a b a c e b d f b d f 7 b d f 7 3 c e 5 c 3 c 3 A 0 c d c e b d ; ; 0 e f c e d f b d 5 b d 5 b d 5 5 c e c 3 c 3 6 d f d f d f (3)+(5) donne 3e = 3 donc e = et donc c = 3 et a = b d f 7 b 7 il reste le système b d 5 on pose M 0 ; X d et B 5 d f 0 f on a ; X A B 3 d'où b = - et donc d = -3 et f = - et donc B 3 3