CONCOURS BLANC PCSI MATHÉMATIQUES - Correction Eercice. Calculs d intégrales Les trois questions sont indépendantes. t. Par I.P.P., arctan t dt = t arctan + t dt = t arctan t ln( + t + C.. Il faut se ramener à la forme canonique pour reconnaitre une primitive en arctan : + + 3 = ( + + = ( + donc : + 3. (a + + 3 d = ( + + = d = ( + arctan. + = + ( + + = + donc une primitive de est F : arctan. + + (b + cos θ ne s annulant pas sur l intervalle [0, π ], il s agit de l intégrale d une fonction continue (quotient de fonctions usuelles continues donc l intégrale est bien définie. De plus, par le changement de variable = tan I = π/ 0 cos θ + cos θ dθ = + 0 + + ( θ, on obtient que : + d = 0 + d = [ arctan ] 0 = π. Eercice. Étude d une fonction. La dérivée seconde de la fonction ep est positive donc c est une fonction convee. La courbe de la fonction ep est au-dessus de sa tangente au point d abscisse = 0. La tangente ayant pour équation y = u +, on obtient que pour tout u R, e u u + u.. Posons u = et eploitons l inégalité précédente : e(/. On a alors e / + 0 e / (e / + 0 (en multipliant par e / > 0. On obtient donc pour tout 0, e / + e / 3. La fonction est de classe C sur R ; la fonction eponentielle est de classe C sur R, ainsi + e / est de classe C sur R, de plus elle ne s annule pas sur R. Donc la fonction f est de classe C sur R en tant que quotient de deu fonctions dont le dénominateur ne s annule pas. 4. Il suffit d étudier la limite en 0 de f : lim 0 e / = 0 donc lim = 0 et lim + 0 +f( 0 e / = donc lim = 0. 0 f( En conclusion limf( = 0 donc la fonction f est prolongeable par continuité en 0, en notant toujours 0 f la fonction prolongée, la valeur de f(0 est 0. 5. Étude de la dérivabilité de f en 0. (a Pour tout 0, f ( = e / + e / ( + e /. 0.
(b Étudions la limite du tau d accroissement de f en 0+ : f( f(0 lim = lim 0 + 0 0 + + e / = donc f est dérivable à droite en 0 et f d (0 =. (c Étudions la limite du tau d accroissement de f en 0 : f( f(0 lim = lim 0 0 0 + e / = 0 donc f est dérivable à gauche en 0 et f g(0 = 0. La dérivée à droite et à gauche sont différentes donc f n est pas dérivable en 0 (son graphe admet un point anguleu. 6. Allure du graphe de f. (a L inégalité obtenue au. montre que 0, f ( 0 : donc f est croissante sur R et R +. Les limites en et ne posent aucun problème (pas de forme indéterminée donc : 0 f( (b Pour tout 0, on a f ( = e / ( e / Le signe de f ( est celui de ( 3 + e / 3 ( e / 0, il suffit d étudier son signe. 3. Or e / > < 0 donc : e / 0 + 0 + f ( (c La fonction f est donc concave sur les intervalles R et R + (mais pas sur R. (la demi-tangente à gauche en 0 est horizontale et se confond avec l ae des abscisses, tandis que la demi-tangente à droite a pour équation y =
Eercice 3. Étude asymptotique d une série divergente Un équivalent de S n.. Pour tout n N, S n+ S n = n + > 0 donc (S n n est croissante.. Il s agit d appliquer l inégalité des accroissements finis à la fonction sur l intervalle [n, n + ]. Cette fonction est continue et dérivable sur [n, n + ]. De plus [n, n + ], f ( = et m = n + n = M donc : n N, m f(n + f(n M 3. En ajoutant les inégalités obtenues pour k allant de à n, on obtient : n + n + n n n ( k + n k k= k= k soit n + S n (la somme de gauche est télescopique En ajoutant les inégalités obtenues pour k allant de 0 à n, on obtient : n k=0 soit S n n (la somme de droite est télescopique n k + ( k + k k=0 n + n S n. n On en déduit que n N, n + S n n soit n + n + On remarque que : lim = lim n n n n = lim n n En passant à la limite, on en déduit par les théorèmes de comparaison que lim S n = n + n n =. donc que S n n. Un D.A. à deu termes. 4. Ceci est équivalent à dire que lim n ε n = 0, en effet par définition ε n = o( 5. A la question 3., on a prouvé que n N, n + S n n, on a alors : n + n + un. lim n ε n = 0. Comme n + n > 0, on en déduit que (u n n est minorée par 0. 6. Pour tout n N, u n u n+ = n + n n + = n + + n Or n + + n < n + donc n + + n > On en déduit que la suite (u n n est décroissante. n + soit u n u n+ > 0. n + 7. La suite (u n n est décroissante et minorée donc convergente vers un réel l. Par conséquent lim u n l = 0 ce qui s écrit d après le. comme u n l = o( ou encore u n = l+o(. n 8. On a immédiatement S n = u n + n + = n + (l + o(, on pose alors α = l R. 3
PROBLÈME (d après Petites Mines 009 Partie A - Étude d une fonction. R est symétrique par rapport à 0 et pour tout 0, f( = ( sh car sh est impaire donc f est paire. ( ( = sh = f(. (a On sait que en 0, e X = + X + o(x donc e X = X + o(x et que sh X = ex e X. ( + X + o(x ( X + o(x X + o(x On en déduit que sh X = = X (ou alors on reconnait le tau d accroissement de la fonction sh pour démontrer que sh X X. En posant X =, quand ±, on a X 0, donc en et en : ( f( = sh = sh X X X 0 X. On a donc lim f( = et lim f( = 0 = sh X X (b Pour 0 +, on pose X = (, ainsi X tend vers et sh e X or lim = (par croissances comparées et X X lim e X X X Par parité lim f( = 0 = ex e X X. = 0 donc lim f( =. 0 + 3. Sur R, est dérivable, donc par composée avec la fonction sh qui est dérivable sur R, la fonction ( sh est dérivable sur R et par produit f est dérivable sur R. Pour tout R, ( f ( = sh + ( ( [ ( ch = th ] ( ch. 4. Pour tout X R +, on pose g( = th(x X, g est une fonction dérivable et g (X = th (X = th (X < 0 g est donc strictement décroissante et par suite inférieur ou égale à g(0 = 0. On en déduit que g(x < 0 sur R + donc que pour tout X R +, on pose th(x < X. 5. Comme la fonction ch est strictement positive, on trouve d après la question A.4. que f est strictement négative sur R +. On en déduit le tableau de variation suivant (complété par parité : 0 f( 6. On admet qu au voisinage de 0, sh X = X + X3 6 + o(x3. En posant X =, on a X 0+ et X 0. On en déduit ( que, en comme en : f( = + ( 6 3 + o 3 = + ( 6 + o soit a 0 =, a = 0 et a = 6. ( 7. La fonction f est dérivable sur R comme composée de deu fonctions dérivables. De plus, pour 0, au voisinage de 0 on a f ( = + 6 + o(. 4
( On en déduit que lim = ce qui prouve que f se prolonge par continuité en 0. 0 En notant F ce prolongement, F (0 =. F ( F (0 + On a également, au voisinage de 0, = 6 + o( = + o( 0 6 0. 0 Donc F (0 = 0 et F est dérivable sur R et en 0 donc F est dérivable sur R. Partie B - Tracé d une courbe paramétrée 8. La fonction est la fonction f étudiée dans la partie A. Passons à l étude de la fonction y. La fonction y est dérivable sur R et pour tout t R, on a : ( y (t = ep t ( ( ( t t ep = ep. t t t Le signe de y (t est celui de. Par ailleurs t lim t te/t = et lim t te/t =. Pour obtenir la limite en 0 + de y(t, on pose T = /t. lorsque t 0 +, T. Or te /t = et = (croissances comparées. Donc lim T t 0 te/t =. + En 0 il n y a pas de forme indéterminée : lim t 0 te/t = 0. Finalement, on obtient les tableau de variation et de signes suivants : 0 (t y (t + 0 + y(t 0 e 9. On a (t et y(t. De plus (t et y(t. t t t t La courbe Γ admet donc une asymptote verticale d équation =. Par ailleurs, d après le tableau de variation, tous les points M de Γ sont à droite de cette asymptote. On a (t et y(t 0. t 0 t 0 La courbe Γ admet donc une asymptote horizontale d équation y = 0. Les points M de Γ correspondant à un paramètre t < 0 sont en dessous de cette asymptote horizontale. On a (t et y(t. t 0 + t 0 + De plus y(t (t = e/t sh(/t = e /t e /t e /t. t 0 + e /t e /t 0 Enfin y(t (t = te /t 0. t 0 + La courbe Γ admet donc la droite d équation y = comme asymptote oblique. Comme y(t (t 0 pour t > 0 car te /t > 0 pour t > 0, la courbe Γ est au-dessus de son asymptote oblique pour les points M de paramètre t > 0. 5
0. Partie C - Une équation différentielle. On introduit l équation homogène (E 0 associée : y + y = 0. Sur R +, la fonction est continue et ne s annule pas. De plus, une primitive de a : est ln = ln. Donc les solutions de (E 0 sont y( = λe ln = λ, où λ est une constante réelle quelconque. Pour obtenir une solutions particulière de (E, on utilise la méthode de variation de la constante. On considère λ une fonction dérivable sur R +. On pose alors pour > 0, y( = λ(. y est dérivable et y ( = λ ( λ(. Ainsi y est solution de (E si et seulement si > 0, λ ( = ch. Prenons par eemple λ( = sh( pour tout > 0, les solutions de (E sont la somme de la solution particulière que l on vient d ehiber et des solutions de l équation homogène (E 0. Les solutions de (E sont donc de la forme R + λ + sh (λ étant une constante réelle quelconque.. En effectuant les mêmes calculs, on retrouve que les solutions de (E sont également de la forme R µ + sh (µ étant une constante réelle quelconque 3. Procédons par analyse-synthèse. Analyse : Supposons qu une telle solution eiste, alors d après les questions C. et C., il eiste deu constantes réelles λ et µ telle que : µ + sh si < 0 y( = λ + sh si > 0 Comme y est continue en 0 (car dérivable les limites de y en 0 + et 0 sont finies et égales, ce qui impose que λ = µ = 0. Ainsi, pour tout R, y( = sh. de plus y est continue en 0, par unicité du prolongement par continuité de y, elle est égale à la fonction F définie dans la question A.7.. Synthèse : La fonction F est dérivable sur R d après la question A.7.. De plus sur R +, F ( = y( = sh donc F est bien solution de (E sur ces deu intervalles. Enfin F (0 = donc en = 0, on a bien 0.F (0 + F (0 = ch(0. Finalement F est l unique fonction dérivable sur R, solution de (E sur R. Justifier que la fonction F (définie dans la question A.7. est l unique fonction définie et dérivable sur R qui soit solution de l équation différentielle (E sur R. 6
Partie D - Étude d une suite 4. La fonction f est continue et strictement décroissante sur l intervalle ]0; [. Par ailleurs lim f( = et lim f( = donc f réalise une bijection de l intervalle ]0, [ 0 + sur l intervalle ], [. Pour tout n N, le réel n + = + appartient à l intervalle ], [. n n Il possède donc un unique antécédent dans ]0, [ par la fonction f. On note u n cet antécédent. 5. D après la question précédente, puisque f est décroissante sur ]0, [, et que f(u n = + n + n + = f(u n+ on en déduit nécessairement que u n u n+. Donc la suite (u n n N est croissante. ( n + 6. En notant h la bijection réciproque de f, on a u n = h. n ( n + n + Comme lim = par composée de limites lim n n u n = lim h =. n n n (en effet lim h(y = car lim f( = y + y 7. Pour tout n N, f(u n = + n. Or. lim u n = permet d utiliser le développement obtenu dans la question A.6. et d obtenir n + ( 6u + o n u = + n n soit 6u n D où 6u n n et en prenant la racine carrée (possible vu que u n > 0 on obtient u n n 6. n Partie E - Une fonction définie par une intégrale 8. Pour tout R, ch( sh( = e + e e e = e e = sh(. 4 ( 9. Soit F une primitive de F sur R +, pour tout R +, J( = F ( F. Comme F est dérivable sur R +, J est dérivable sur R + en tant que différence et composée de fonctions continues. Pour tout R +, J ( = F ( ( F = f( ( ( f = sh ( 4 sh. ( ( ( Or sh = ch sh d après la question E.9. donc pour tout > 0 : ( [ J ( = sh ( ] [ ch = f( ( ] ch. 0. Sur R +, la fonction f est strictement positive. Résolvons sur R + l inéquation : ( ch 0. ( Celle-ci équivaut à ch, soit en remplaçant la fonction ch par son epression à l aide de la fonction eponentielle : e / + e / 4. En posant X = e /, l inéquation devient X + 4X, avec X > 0. X En multipliant par X qui est positif, obtient l inéquation équivalente X + 4X qui est une inéquation 7
du second degré équivalente (après résolution à 3 X + 3. Ainsi 3 e / + 3 soit ln( 3 ln( + 3. Or > 0 donc on trouve finalement ln( + 3. En conclusion J ( 0 ln( + 3 et de même J ( 0 ln( + 3. En utilisant les limites données en 0 + et en, on obtient le tableau (en notant α = ln( + 3. J ( 0 α 0 + J( J(α. 8