Maths 8 chapitre 1
1. Définition Une fraction est une division non effectuée de deux entiers relatifs n est appelé le numérateur d est appelé le dénominateur d 0 n d 2
2. Fractions propres et impropres Une fraction est dite propre lorsque le dénominateur est supérieur au numérateur Exemple : Une fraction est dite impropre lorsque le dénominateur est inférieur au numérateur Exemple : 1 2 3 2 3
3. Nombres fractionnaires Définition : Un nombre fractionnaire est constitué d'un nombre entier et d'une fraction propre. Exemple : 2 1 3 =2 1 3 4
4. Forme irréductible Définition : Une fraction doit toujours être écrite sous une forme irréductible c'est-à-dire sous la forme la plus simple possible. Il ne doit pas rester de facteur commun entre le numérateur et le dénominateur. Exemple : 6 4 = 3 2 2 2 = 3 2 14 21 = 2 7 3 7 = 2 3 35 7 = 7 5 7 1 =5 1 =5 5
5. Les rationnels sont également appelées des nombres rationnels. L'ensemble des nombres rationnels s'appelle Q 6
6. Comparer des rationnels (1) 1ère méthode : je les place sur une droite numérique : 1 2 5 2 2ème méthode : je les réduis à des décimaux 3 donc 4 =0,75 5 3 =1,666666... 3 4 5 3 7
6. Comparer des rationnels (2) 3ème méthode : je les mets sur le même dénominateur 3 4 = 3 3 4 3 = 9 12 5 3 = 5 4 3 4 = 20 12 donc 3 4 5 3 8
7.Rappels sur l'addition L'addition est une opération commutative : a + b = b + a L'addition est une opération associative : ( a + b )+ c = a + ( b + c) = a + b + c Le résultat de l'addition est la somme. La somme de deux nombres positifs est positive La somme de deux nombres négatifs est négative La somme d'un nombre par 0 est ce nombre 9
8.Rappels sur la soustraction La soustraction est l'opération inverse de l'addition. Le résultat de la soustraction est la différence. La soustraction n'est pas une opération commutative: a - b b - a La soustraction n'est pas une opération associative : ( a - b )-c a - ( b - c) a - b - c Soustraire un nombre est équivalent à additionner son opposé : a b = a + (-b) 10
9.Addition de fractions On ne peut additionner des fractions que si elles ont le même dénominateur. Exemple : 1 5 3 5 =1 3 5 = 4 5 11
Si les deux fractions ont des dénominateurs différents, il faut procéder en deux étapes : 1)D'abord, on ramène leur dénominateur au plus petit dénominateur commun 2)Ensuite, on les additionne. 3)Enfin, on simplifie (si nécessaire) On procède de la même façon pour la soustraction. 12
1 2 1 3 =? Problème : les dénominateurs sont différents 1 3 2 3 1 2 3 2 = 3 6 2 6 On ramène au même dénominateur 3 6 2 6 = 3 2 6 = 5 6 Maintenant on peut additionner 5 6 Résultat (pas de simplification possible) 13
1 2 1 3 =? Problème : les dénominateurs sont différents 1 3 2 3 1 2 3 2 = 3 6 2 6 On ramène au même dénominateur 3 6 2 6 = 3 2 6 = 1 6 Maintenant on peut additionner 1 6 Résultat (pas de simplification possible) 14
10.Rappels sur la multiplication La multiplication est une opération commutative : a x b = b x a La multiplication est une opération associative : ( a x b ) x c = a x ( b x c) = a x b x c Le résultat de la multiplication est le produit. Le produit de deux nombres positifs est positif Le produit de deux nombres négatifs est positif Le produit d'un nombre positif par un nombre négatif est négatif. Le produit d'un nombre par 0 est 0. 15
11.Multiplication de fractions Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs ensemble d'une part, on multiplie les dénominateurs ensemble d'autre part. a b c d = a c b d Exemples : 1 3 2 5 = 1 2 3 5 = 2 15 16
12.Inverse d'une fraction Définition: l'inverse d'une fraction a b est la fraction b a Le produit d'une fraction par sa fraction inverse est 1. Démonstration : a b b a =a b b a =ab ab =1 17
13.Rappels sur la division La division est l'opération inverse de la multiplication. Le résultat de la division est le quotient. La division n'est pas une opération commutative : La division n'est pas une opération associative : a b c a b c a b c Diviser par un nombre est équivalent à multiplier par son inverse a b=a 1 b a b b a 18
14.Division de fractions Pour diviser des fractions, on multiplie la première fraction par l'inverse de la deuxième a b c d = a b d c = a d b c Exemples : 1 3 2 5 = 1 3 5 2 = 1 5 3 2 = 5 6 19