Le théorème de Thalès et agrandissement/réduction A) Le théorème de Thalès. 1. Enoncé du théorème. Théorème : Si ACE et ABD sont deux triangles tels que : B est un point de [AC). D est un point de [AE). (BD) parallèle à (CE). AB AD BD Alors on a l égalité :. AC AE CE Rédaction : Dans le triangle ACE on a : B [AC] D [AE] (BD) est parallèle à (CE) D après le théorème de Thalès on a : AB AD BD AC AE CE 2. Application du théorème. Exercice n 1 : À l aide de la figure ci-contre représentée à main levée, calcule RV.
B) Agrandissement et réduction. 1. Définition. Définition : Quand deux figures ont la même forme et des longueurs proportionnelles, on dit que l'une est l'agrandissement ou la réduction de l'autre. Dans un agrandissement ou une réduction, les mesures des angles, la perpendicularité et le parallélisme sont conservées. Remarques : Si F est un agrandissement de F' alors F' est une réduction de F. Le coefficient de proportionnalité est le rapport d'agrandissement ou de réduction. 2. Application. Exercice n 2 : On considère la figure ci-contre : On sait que : Les droites (VL) et (CN) sont sécantes en A. (LC) et (VN) sont perpendiculaires à (CN). Le triangle LAC est-il une réduction du triangle VAN? Justifie ta réponse. Exercice n 3 : Pour chacune des figures ci-dessous, rédige soigneusement la démarche te permettant de calculer la longueur en cm du côté marqué d un «?», en utilisant le théorème de Thalès. Exercice n 4 : Soit deux rectangles R1 et R2. Le rectangle R2 est-il une réduction du rectangle R1? Justifier votre réponse.
Exercice n 5 : Vu au Brevet Voici un schéma du garage qu Eli veut construire sur son terrain (l unité est le mètre) : Données : M (AB) ; L (AC) et (ML)//(BC) Quelle est la hauteur du poteau? Exercice n 6 : Vu au Brevet Cristo Redentor, symbole brésilien, est une grande statue dominant la ville de Rio qui s érige au sommet du mont Corcovado. Au pied du monument, Julien et Magali souhaitent mesurer la hauteur de la statue (socle compris). Julien qui mesure 1,90 m, se place debout à quelques mètres devant la statue. Magali place le regard au niveau du sol de telle manière qu elle voit le sommet du Cristo (S) et celui de la tête de Julien (T) alignés ; elle se situe alors à 10 m de la statue et à 50 cm de Julien. La situation est modélisée ci-dessous par la figure qui n est pas à l échelle. Déterminer la hauteur SC de la statue en supposant que le monument et Julien sont perpendiculaires au sol. Exercice n 7 : Vu au Brevet Sur la figure ci-dessous le point J appartient au segment [IM] et le point K appartient au segment [IL]. Sur la figure, les longueurs sont données en mètres. 1) Montrer que IKJ est un triangle rectangle. 2) En déduire que (KJ) et (LM) sont parallèles. 3) Montrer que LM est égal à 3,75 m. 4) Calculer la longueur KM au centimètre près.
Exercice n 8 : 1) Construis un triangle ABC tel que : AB = 3,4 cm ; AC = 4,5 cm et BC = 7 cm. 2) Construis un triangle CDE qui soit un agrandissement de rapport 2 du triangle ABC et tel que D appartient a la demi-droite [CA) et E appartienne à la demi-droite [CB). Exercice n 9 : Vu au Brevet On désire rajouter une cheminée à une maison. Après consultation des règles de l urbanisme en vigueur dans la ville en question, les dimensions suivantes sont décidées : les points H, E et A sont alignés ; les points C, M et A sont alignés ; [CH] et [EM] sont perpendiculaires à [HA] ; AM = 16 dm ; MC = 10 dm ; HAC = 30. Calculer EM, HC et HE afin de pouvoir obtenir construire cette cheminée. Exercice n 10 : Vu au Brevet Pendant les vacances, Robin est allé visiter le phare Amédée. Lors d une sieste sur la plage il a remarqué que le sommet d un parasol était en parfait alignement avec le sommet du phare. Robin a donc pris quelques mesures et a décidé de faire un schéma de la situation dans le sable pour trouver une estimation de la hauteur du phare. On sait que : les points B, J et R sont alignés. (SB) et (BR) sont perpendiculaires. (PJ) et (BR) sont perpendiculaires. Quelle hauteur, arrondie au mètre, va-t-il trouver à l aide de son plan? Justifier la réponse.
Exercice n 11 : Sur la figure ci-contre, ABCD est un parallélogramme tel que : AB = 5cm ; BC = 3cm. E est un point de la demi-droite [BC) tel que : CE = 4cm. Les droites (AE) et (DC) se coupent en F. Calcule, en cm, la longueur FC. Donne l arrondi au dixième du résultat. Exercice n 12 : Vu au Brevet Des élèves participent à un cross. Avant l'épreuve, un plan leur a été remis. Il est représenté ci-après : On peut y lire les indications suivantes : AB = 400 m ; AC = 300 m ; l'angle CAB est droit ; BE = 2AB et les droites (BC) et (DE) sont parallèles. 1) Calculer BC. 2) Calculer AD puis CD. 3) Calculer DE. 4) Vérifier que la longueur du parcours ABCDE est 3 000 m. Exercice n 13 : Vu au Brevet Dans cet exercice, l'unité de longueur est le centimètre. 1) Tracer un rectangle ABCD tel que AB = 8 et BC = 4. Placer le point I sur le segment [AB] tel que AI = 6 puis le point J, milieu du segment [BC]. Tracer la parallèle à la droite (IJ) passant par A : cette parallèle coupe le segment [DC] en K et la droite (BC) en H. 2) Calculer BH. 3) Quelle est la nature du triangle ABH? 4) Préciser la position du point K sur le segment [DC]. 5) Que peut-on en déduire pour les droites (KJ) et (DB)? Justifier la réponse.
Exercice n 14 : Vu au Brevet Funiculaire : chemin de fer a traction par câble pour la desserte des voies à très forte pente. La longueur AD de la voie du funiculaire est de 125 m. 1) De quelle hauteur AH s'est-on élevé a l'arrivée? 2) Lorsque le funiculaire a parcouru 42 m, il s'est élevé d'une hauteur MP. Faire un dessin à l'échelle 1/1 000. 3) Que peut-on dire des droites (MP) et (AH)? Justifier la réponse. 4) Calculer MP. Exercice n 15 : Vu au Brevet La figure PRC ci-dessous représente un terrain appartenant à une commune. Les points P, A et R d une part et P, S et C d autre part sont alignés. Il est prévu d aménager sur ce terrain avec une «zone de jeux pour enfants» sur la partie PAS et un «skatepark» sur la partie RASC. On connaît les dimensions suivantes : PA = 30m; AR = 10m; AS = 18 m. 1) La commune souhaite semer du gazon sur la «zone de jeux pour enfants». Elle décide d acheter des sacs de 5 kg de mélange de graines pour gazon à 13,90 (l unité. Chaque sac permet de couvrir une surface d environ 140m 2. Quel budget doit prévoir cette commune pour pouvoir semer du gazon sur la totalité de la «zone de jeux pour enfants»? 2) Calculer l aire du «skatepark».
Exercice n 16 : Vu au Brevet Pour consolider un bâtiment, des charpentiers ont construit un contrefort en bois. (Sur le schéma ci-dessous, les mesures sont en mètres.) 1) En considérant que le montant [BS] est perpendiculaire au sol, calculer la longueur AS. 2) Calculer les longueurs SM et SN. 3) Démontrer que la traverse [MN] est bien parallèle au sol. Exercice n 17 : Vu au Brevet Dans le croquis ci-dessous, le tiki représente Moana, un élève de 3e qui mesure 1,80 m. Moana a d abord posé sur le sol, à partir du cocotier, des noix de coco régulièrement espacées à chacun de ses pas, puis il s est ensuite placé exactement comme indiqué sur le croquis, au niveau de la 7 ème noix de coco. À l aide d informations qui proviennent des documents précédents, calcule la hauteur du cocotier en expliquant clairement ta démarche.
Exercice n 18 : Vu au Brevet Madame Duchemin a aménagé un studio dans les combles de sa maison, ces combles ayant la forme d un prisme droit avec comme base le triangle ABC isocèle en C. Elle a pris quelques mesures, au cm près pour les longueurs et au degré près pour les angles. Elle les a reportées sur le dessin ci-dessous représentant les combles, ce dessin n est pas à l échelle. Madame Duchemin souhaite louer son studio. Les prix de loyer autorisés dans son quartier sont au maximum de 20 par m 2 de surface habitable. Une surface est dite habitable si la hauteur sous plafond est de plus de 1,80 m (article R111 2 du code de construction) : cela correspond à la partie grisée sur la figure. Madame Duchemin souhaite fixer le prix du loyer à 700. Peut-elle louer son studio à ce prix? Exercice n 19 : Vu au Brevet La figure ci-dessous représente le plan de coupe d une tribune d un gymnase. Pour voir le déroulement du jeu, un spectateur du dernier rang assis en C doit regarder au-dessus du spectateur placé devant lui et assis en D. Une partie du terrain devant la tribune lui est alors masquée. On considèrera que la hauteur moyenne d un spectateur assis est de 80 cm (CT = DS = 80 cm). Sur ce plan de coupe de la tribune : les points R, A et B sont alignés horizontalement et les points B, C et T sont alignés verticalement ; les points R, S et T sont alignés parallèlement à l inclinaison (AC) de la tribune ; on considérera que la zone représentée par le segment [RA] n est pas visible par le spectateur du dernier rang ; la largeur au sol AB de la tribune est de 11 m et l angle BAC d inclinaison de la tribune mesure 30. 1) Montrer que AC vaut 12,70 m et en déduire que la hauteur BC de la tribune mesure 6,35 m, arrondie au centième de mètre près. 2) Quelle est la mesure de l angle BRT? 3) Calculer la longueur RA en centimètres. Arrondir le résultat au centimètre près.