Chapitre 3 BASE DE LA GÉOMÉTRIE PLANE 2 de I Définition d un repère 1.1 Introduction Définition Soit d une droite, O et I deux points distincts de cette droite, alors (O, I) est appelé Propriété Soit d une droite munie du repère (O, I), alors pour tout point M de la droite est associé à un unique nombre x défini par : x = x = x est appelé Exemple Définition Soit P un plan. Un repère du plan P est un triplet (O; I, J) où O, I et J sont trois points non alignés de P. O est (OI) est (OJ) est Soit P un plan muni du repère (O; I, J) alors, pour tout point M du plan, il existe deux uniques points M x et M y tel que M x (OI), M y (OJ) et OM x MM y parallélogramme (on l admettra). On note x l abscisse de M x sur la droite (OI) munie du repère (O, I) et y l abscisse M y sur la droite (OJ) munie du repère (O, J). 1
Définition Propriété Soit P un plan muni d un repère (O; I, J), alors tout point M de ce plan est associé à un unique couple (x; y) défini ci-dessus, 1.2 Les différents types de repère Soit P un plan, on considère trois points non alignés O, I et J de P. On distingue les trois cas suivants : Le triangle OIJ est Le repère est 2
Exemple Placer dans le repère quelconque (O; I, J) les points A(2; 3), B( 1; 2), C(2; 2) et D( 2; 3). II Distance dans un repère orthonormé Propriété Soit P un plan muni d un repère orthonormé. Soient A et B deux points de P de coordonnées respectives (x A ; y A ) et (x B ; y B ). Alors la distance AB est donnée par la formule suivante : 3
Démonstration Remarque On a aussi la formule suivante : AB = Exemple A (5;3) et B(-1;2).Calculer AB. 4
III Milieu d un segment Propriété Soit P un plan muni d un repère quelconque. Soient A et B deux points de P de coordonnées respectives (x A ; y A ) et (x B ; y B ) et M(x M ; y M ) milieu de [AB]. Alors : Exemple A (-2 ; -2) et B(6 ; 4). Déterminons les coordonnées du milieu de [AB]. Exercice Dans un repère orthonormé (O ; I, J), on a placé les points D(-2 ; 1), E(3, 3), F(1, -1) et G(-4, -3). Démontrer que le quadrilatère DEFG est un parallélogramme. Indication : montrer que les diagonales DEFG ont même milieu 5
IV Configurations du plan 4.1 Cercles et triangles Définition Tangente à un cercle Soit C un cercle de centre O et A un point de C. Figure Remarque Définition Cercle circonscrit à un triangle Les médiatrices se coupent en un même point qui est le centre du cercle circonscrit à ce triangle : ce cercle passe par les trois sommets du triangle. Propriété Droite des milieux (i) Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au 3 ème côté. (ii) Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d un côté et est parallèle à un autre côté, alors elle coupe le 3 ème côté en son milieu. 4.2 Quadrilatères Définition Parallélogramme Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. 6
Propriétés Parallélogramme (i) Un quadrilatère est un parallélogramme, si, et seulement si, ses diagonales se coupent en leur milieu. (ii) Un quadrilatère est un parallélogramme, si, et seulement si, il est non croisé et a deux côtés opposés parallèles et de même longueur. Définition Rectangle Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits. Propriétés Rectangle (i) Un quadrilatère est un rectangle si, et seulement si, c est un parallélogramme avec un angle droit. (ii) Un quadrilatère est un rectangle, si, et seulement si, c est un parallélogramme dont les diagonales ont même longueur. (iii) Un quadrilatère est un rectangle, si, et seulement si, il a 3 angles droits. Définition Losange Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur. Propriétés Losange (i) Un quadrilatère est un losange si, et seulement si, ses diagonales sont perpendiculaires en leur milieu. (ii) Un quadrilatère est un losange, si, et seulement si, c est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur. Définition Carré Un carré est à la fois un rectangle et un losange. C est-à-dire que c est un quadrilatère qui possède 4 angles droits et 4 côtés de même longueur. 7