ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Cours de Physique du Solide I Prof. Harald Brune Examen, salle PO 0 7 janvier 04 Corrigé
Question 5 points a) En adaptante la théorie classique cinétique des gaz Drude modèle les électrons d un métal comme étants des particules indépandants sans interactions entre elles. Les ions restent immobiles. Les électrons subissent des collisions instantanés avec les ions et atteignent ainsi l équilibre thermique. La probabilité de subir une collision entre t et t + dt est donnée par dt, où τ est le temps de relaxation entre deux collisions τ consécutives. Le libre parcours moyen λ est λ = v 0 τ. En appliquant la loi d Ohm on arrive à σ = ne τ. Valeur typique: m 0 5 0 4 s b) L effet Hall (signe et densité) / Tolmann et Stewart (seul signe, pas densité). L effet Hall: Quand on plonge un conducteur dans un champ magnétique B, le conducteur étant parcouru par un courant perpendiculaire au champ, il apparaît un champ électrique E H due à l accumulation de charges sur les faces opposées du conducteur par suite de la force de Lorentz. Le grandeur du champ transverse est proportionnel à la courant et B, soit E H = R H jb où R H est le coefficient de Hall. Le signe de R H est le même que celui des porteurs de charge (i.e.: pour des e, R H = < 0). Selon ces ne prédictions, R H ne dépendrait que de la densité électronique. c) Lorsque ωτ et ɛ = ɛ(ω) = ω p ω. d) La loi de Wiedemann-Franz: κel = constante σt (. 0 8 WΩ/K ) La conductibilité thermique κ el : κ el = 3 v τc el v Drude: Dans le modèle de Drude on utilise la statistique de Boltzmann (la théorie cinétique des gaz) où c v = 3n k B, τ = λ/v 0 où λ 300 Å (température ambiante) et mv 0 = 3 k BT Sommerfeld: La statistique de Fermi-Dirac. ( ) La vitesse v 0 est la vitesse v F au niveau de Fermi (vf = E F /m), c v = π kb T k B n. E F
Question 5 points a) Figure ci-dessous b) Figure f FD f FD (T=0K) f FD (T=300K) g f FD g g f FD (T=0) g f FD (T=300) E F E µ = E F E A T = 0, tous les niveaux tels que E E F sont occupés. A T 0 une partie des électrons d énergie E < E F sont excités à des énergies E > E F. Le nombre d électrons ainsi excités est de l ordre de grandeur de la largeur de la zone de transition de la distribution de Fermi-Dirac, soit k B T, multipliée par g(e F ). L énergie d excitation est elle-même de l ordre de grandeur de k B T. Le gain en énergie par unité de volume est de u [k B T g (E F )] k B T = (k B T ) g (E F ) d où c v = d u dt (k B) g (E F ) T. c) ( ) ( ) 4πk 3 F V = N 3 8π 3, k F = 3 3nπ avec n = N V d) L aire sous la courbe g(e)f F D (E) correspond au nombre de particules. g(e) donne la densité des états et f F D (E) donne la probabilité de les occuper. On peut écrire: n = 0 g(e)f F D (E)dE. () µ est défini de façon telle que le nombre de particules reste constant si la température augmente ou diminue. µ doit donc varier de telle façon à ce que l aire sous la courbe g(e)f F D (E) reste constante si on change T. L intégrant de l équation est le produit entre une fonction croissante et une fonction antisymmétrique par rapport au point (µ, /). Si on augmente T, une partie de l aire à gauche de µ (E < µ) passe à droite de E = µ. Vu que la partie qui passe de gauche à droite va recevoir plus de poids à droite dû au fait que g(e) est croissante, il faut déplacer µ vers des énergies plus basses pour garder l aire constante.
Question 3 5 points a) Figure U (x) 0 x b) u n (t) = N N ν=0 a ν exp[i(k ν na ω ν t)] + c.c. avec k ν = πν an, et ν = 0,..., N ; a ν amplitude. c) Figure ( ) ( + ) O A 0 optique acoustique Acoustique: pour ω 0, la vitesse de propagation des vibration correspond à la vitesse du son. Optique: les modes optiques peuvent induire des dipôles qui peuvent interagir avec les rayonnement életromagnétique. d) N valeurs de k; 3 branches acoustiques; 3(p ) branches optiques
Question 4 0 points a) 6 dégrés de liberté (3 cinétiques + 3 potentiels), chacun contribue avec k BT. Donc E = 3k B T par atome. Dulong et Petit: c v = 3nk B. b) Figure ci-dessous c) c v = T V k,s ( ) ω s (k) + n k,s c v 00% 95% < n > +/ 3 3 50% 0 0.5 D 0 3 x = k B T/h d) La croissance de la chaleur spécifique à haute température, qui est en désaccord avec la loi de Dulong et Petit; La dilatation thermique des solides; La largeur des pics observés dans l expérience de diffusion inélastique de neutrons; L existence d une conductibilité thermique non infinie, même dans un cristal parfait à température non nulle. e) Pour τ et λ: 3 régimes: basse T : λ et τ sont constants, déterminés par la taille de l échantillon; moyenne T : comportement exponentiel (nombre collisions proportionnel au nombre de phonons, décrit par n ; τ / n exp(t D /T )), processus Umklapp; haute T : n k B T/ ω, τ / n /T. Pour κ τc v : 3 régimes: basse T : τ constant, c v T 3, κ T 3 ; moyenne T : κ exp(t D /T ); haute T : τ /T, c v const, κ /T. Libre parcours moyen du phonon (log) Pente Exponentielle Conductivité thermique du réseau (log) Pente 3 Pente Exponentielle D Température T K (log) Température K (log)
Question 5 0 points a) En utilisant la condition a i b j = πδ ij, on peut montrer que les vecteurs b, b du rśeau réciproque sont donnés par b = π(, 0) et b = π(0, ). b) La ère zone de Brillouin est la cellule de Wigner-Seitz du réseau réciproque, c està-dire qu elle est formée de l ensemble des points qui sont plus proches d un point G 0 du réseau réciproque (généralement G 0 = (0, 0, 0)) que de n importe quel autre point G. On peut la construire en traçant les plans bissecteurs des vecteurs joignant G 0 à un point G quelconque du réseau réciproque. c) Figure ci-dessous ère ème
Question 6 5 points a) Moment magnétique de spin est donné par m = µ B S L hamiltonien d interaction est donné par H m = m B = µ B S B. b) Les énergies des niveaux électroniques, respectivement de spin up et down sont donnés par E ± = E cin ± µ B B. Pour un champ B de Tesla, µ B B =6 0-5 ev (µ B = e = m e 5.79 0-5 ev/tesla). c) On a g ± (E) = g (E µ BB). Voir figure ci-dessous. d) M z = µ B (n + n ) = µ B B g (E) f (E) de = µ E B B F µ B Bg (E F ) La susceptibilité des électrons de conduction est donné par χ Pauli = M z H µ 0 µ B g (E F ). Dans le cas des électrons libres on obtient χ Pauli = 3 µ 0n µ B E F 0 g (E) de + 0 (T ) = = µ 0 M z B = = 3 µ 0n µ B k B T F.
Question 7 5 points a) U harm = C(u n u n ) + C(u n+ u n ) ü = C M ( u n + u n u n+ ) b) ω (k) = 4 C M sin ( ka ) c) Figure ci-dessous ( ) /a + /a d) Figure ci-dessous ( ) +èmes voisins /a + /a
Question 8 5 points V Q [ω s (k)] k,s s d 3 k (π) 3 Q [ω s (k)] On peut remplacer l intégration de dans la ère zone de Brillouin, par une intégration sur tout l espace des k. L intégrant de tend vers zéro si ω s (k) = c s (ˆk)k k B T. Même si le cristal possède une base polyatomique, on peut négliger l effet des modes optiques. On peut remplacer, pour les modes acoustiques, la relation de dispersion ω = ω s (k) par sa limite pour k faible, soit ω = c s (ˆk)k En posant d 3 k = k dk dω, où dω est un élément d angle solide: c v = k 3 dk T (π) 3 dω c s (ˆk) [ ] exp β c s (ˆk)k s En posant x s (k) = β c s (ˆk)k, on obtient c v = T dω 3 (k BT ) 4 [ 4π s c s (ˆk) ] 3 3 π x 3 dx e x en posant c 3 = 3 s dω 4π [ c s (ˆk) ] 3 on obtient finalement c v = π (k B T ) 4 T 0 ( c) 3 ( ) 3 = π 5 k kb T B c