1. Modes de génération d une suite ; représentation graphique DÉFINITION : Suite numérique Une suite numérique est une fonction de N dans R. L image de l entier n par la suite est notée u n. On l appelle terme d indice n de la suite. Cette suite est notée(u n ) ou encore u. NOTATION : N désigne l ensemble des nombres entiers positifs, appelés entiers naturels. Exemple Voici la suite des nombres impairs : u 0 = 1 ; u 1 = 3 ; u 2 = 5 ; u 3 = 7... Le terme d indice 0 de la suite u est 1, celui d indice 1 est 3... REMARQUE : Le mode de génération d une suite est la façon dont cette suite est définie. DÉFINITION : Suite définie de façon explicite Définir une suite par une formule explicite, c est exprimer chaque terme de la suite en fonction de n. REMARQUE : Cela signifie que l on peut calculer un terme de la suite sans connaître les termes précédents. MÉTHODE 1 Étudier une suite définie de façon explicite Ex. 15 p. 117 et Ex. 35 p. 120 Vérifier s il existe des valeurs de n pour lesquelles u n n est pas défini. Calculer les termes de la suite en remplaçant n par sa valeur dans l expression f(n) donnée. Représenter les points de coordonnées (n ; u n ) qui sont les points d abscisse positive de la courbe C de f. Calculer, puis représenter les dix premiers termes de la suite (u n ) définie par u n = 1 n pour n 1. On remarque que cette suite n est pas définie pour n = 0. 0.5 0.4+ 0.3+ 0.2+ 0.1+ + + + + + + + + + + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n u n 1 1,00 2 0,50 3 0,33 4 0,25 5 0,20 6 0,17 7 0,14 8 0,13 9 0,11 10 0,10 Chapitre A5. Notion de suite 109
MÉTHODE 2 Utiliser la calculatrice dans l étude d une suite définie par une formule explicite Ex. 16 p. 118 Calculer la suite (u n ) définie par u n = 1 pour n 1. n CASIO Choisir le menu 6 (RECUR) TI Choisir le mode SEQ ou SUIT Appuyer sur e pour choisir le type de suite : Définie par sa forme explicite :q On complète la ligne a n en tapant r pour n Réglage de la table de valeurs en tapant y (SET) : Taper sur la touche f(x) et entrer l expression de la suite avec la touche pour n : Réglage de la table de valeurs en tapant déf 0 : Taper d pour revenir à la formule puis u (TABL) pour voir la table de valeurs : Taper 0 pour voir la table de valeurs : Visualisation de la représentation graphique : Taper u (G.PLT) avec une fenêtre adaptée Visualisation de la représentation graphique : Taper s avec une fenêtre adaptée 110 Chapitre A5. Notion de suite
DÉFINITION : Suite définie par une relation de récurrence Définir une suite par une relation de récurrence, c est donner le premier terme de la suite et une méthode de calcul de u n+1 en fonction du terme précédent u n. REMARQUE : On ne peut alors calculer un terme que si l on connaît le précédent, il faut calculer de proche en proche tous les termes à partir du premier. MÉTHODE 3 Étudier une suite définie par récurrence Ex. 17 p. 118 et Ex. 38 p. 120 Algébriquement On calcule les termes de proche en proche à partir du premier et d une expression de la forme u n+1 = f(u n ). Graphiquement Construire la courbe représentant f. Construire la droite d équation y = x. Placer u 0 sur l axe des abscisses. Construire son image u 1. La reporter sur l axe des abscisses à l aide de la droite d équation y = x. Construire de la même façon u 2 puis u 3... Soit (u n ) la suite définie pour tout entier naturel n par u 0 = 2, u n+1 = 1 2 u n + 6. 1) Calculer u 3. 2) Représenter graphiquement(u n ). 1) Pour calculer u 3, il faut calculer u 1, u 2 puis u 3 : u 1 = 7 ; u 2 = 19 2 ; u 3 = 43 4. 2) u 4 = f(u 3 ) u 3 = f(u 2 ) u 2 = f(u 1 ) u 1 = f(u 0 ) y = f(x) 1 y = x 0 1 u 0 u 1 u 2 u 3 u 4 REMARQUE : Une relation de récurrence peut aussi faire intervenir plusieurs des termes précédents, par exemple la célèbre suite de Fibonacci u n+1 = u n + u n 1. Pour définir la suite, la donnée du premier terme ne suffit pas, il faut en donner plusieurs. Ici par exemple u 0 = 1 et u 1 = 1. Chapitre A5. Notion de suite 111
MÉTHODE 4 Utiliser la calculatrice dans l étude d une suite définie par une relation de récurrence Ex. 17 p. 118 Calculer les dix premiers termes de la suite définie pour tout entier naturel n par : u 0 = 2 u n+1 = 1 2 u n + 6. CASIO Choisir le menu 6 (RECUR) Appuyer sur e pour choisir le type de suite : Définie par une relation de récurrencew On complète la ligne a n+1 en tapantwpour a n. TI Taper f(x) pour rentrer l expression. Attention : écrire u(n) en fonction de u(n 1) Table de valeurs Réglage de la table de valeurs en tapant y(set). Penser à écrire le premier terme. Pour représenter la suite, aller dans FOR- MAT Et choisir Web ou Esc Taper dpour revenir à l écran précédent puis u(tabl) pour visualiser la table de valeurs et enfin r(web) pour la représentation graphique, en tapant lplusieurs fois : Taper spuis ret la flèche de droite plusieurs fois pour tracer pas à pas. 112 Chapitre A5. Notion de suite
2. Les suites arithmétiques DÉFINITION On dit qu une suite(u n ) est arithmétique, s il existe un réel r tel que pour tout entier naturel, on a u n+1 = u n + r. Le réel r est appelé la raison de la suite arithmétique(u n ). REMARQUE : Une suite arithmétique est définie par une relation de récurrence ; on ajoute toujours le même terme. Pour la définir, il faut donner son premier terme et sa raison. Exemple raison 5. La suite définie par { u 3 = 4 u n+1 = u n 5 pour n 3 est une suite arithmétique de MÉTHODE 5 Démontrer qu une suite est arithmétique Ex. 41 p. 121 Pour tout entier appartenant à N, on calcule la différence u n+1 u n. On montre que cette différence est constante. Montrer que la suite (u n ) définie sur N par u n = 2+3n est arithmétique. Pour tout n dans N : u n+1 u n = 2+3(n+1) (2+3n) = 2+3n+ 3 2 3n = 3 Donc(u n ) est une suite arithmétique de raison 3. MÉTHODE 6 Démontrer qu une suite n est pas arithmétique Ex. 43 p. 121 On utilise un contre-exemple pour prouver qu une suite n est pas arithmétique. On calcule deux différences de termes consécutifs et on montre qu elles ne sont pas égales. { u 0 = 0 La suite définie par u n+1 = u n + 2n pour n 0 est-elle une suite arithmétique? On calcule les trois premiers termes, par exemple : u 0 = 0 u 1 = u 0 + 2 0 = 0 u 2 = u 1 + 2 1 = 2 Puis on calcule les différences : u 1 u 0 = 0 et u 2 u 1 = 2 donc u 1 u 0 = u 2 u 1. La suite(u n ) n est pas arithmétique. THÉORÈME : Forme explicite d une suite arithmétique Si (u n ) est une suite arithmétique de raison r, alors pour tout entier naturel n, on a : u n = u 0 + nr. Si (u n ) est une suite arithmétique de raison r, alors pour tous les entiers naturels n et k, on a : u n = u k +(n k) r. Chapitre A5. Notion de suite 113
PREUVE Par définition, on sait que pour tout entier naturel n, on a u n = u n + r. u 1 = u 0 + r u 2 = u 1 + r Donc u 3 = u 2 + r.... u n = u n 1 + r On ajoute alors membre à membre et on obtient : u 1 + u 2 +...+u n 1 + u n = u 0 + u 1 +...+u n 1 + nr. On retranche de chaque côté le terme u 1 + u 2 +...+u n 1 et on obtient u n = u 0 + nr. Soient deux nombres entiers naturels n et k. En écrivant la propriété précédente pour k, on obtient : u k = u 0 + kr, soit u 0 = u k kr (1) D autre part : u n = u 0 + nr donc en utilisant l égalité (1) : u n = u k kr+ nr donc u n = u k +(n k)r. MÉTHODE 7 Déterminer la forme explicite d une suite arithmétique Ex. 44 p. 121 1) Soit la suite arithmétique(u n ) de premier terme u 0 = 3 et de raison 4. Déterminer sa forme explicite. 2) Soit la suite arithmétique(v n ) de raison 5 et telle que v 10 = 7. Déterminer sa forme explicite. 1) Pour tout entier naturel n, u n = 3 4 n. 2) Pour tout entier naturel n, v n = v 10 +(n 10)r v n = 7+5(n 10) = 5n 43. PROPRIÉTÉ La somme des n premiers entiers naturels est égale à n(n+1). 2 PREUVE On peut exprimer la somme des n premiers entiers naturels de deux manières : S = 1+ 2 +...+ n S = n+(n 1) +...+ 1 2S = (n+1)+(n+1) +...+(n+1) On additionne les deux égalités. Puis on obtient 2S = n(n+1) d où le résultat S = n(n+1). 2 NOTATION : La somme de k = 0 à n des u k se note S = n u k = u 0 + u 1 +...+ u n. k=0 Ainsi, la propriété précédente peut s écrire n k=0 k = n(n+1). 2 114 Chapitre A5. Notion de suite
3. Les suites géométriques DÉFINITION On dit qu une suite (u n ) est géométrique s il existe un réel q non nul tel que pour tout entier naturel n, on a u n+1 = u n q = qu n. Le réel q est appelé la raison de la suite géométrique(u n ). REMARQUE : Une suite géométrique est définie par récurrence ; on multiplie toujours par le même terme. Pour définir une suite géométrique, il faut donner son premier terme et sa raison. Exemples La suite des puissances de 10 est géométrique de raison 10. La suite définie par u n = ( 1) n pour n N est géométrique de raison 1. Elle ne prend que les valeurs 1 et 1. MÉTHODE 8 Démontrer qu une suite est géométrique Ex. 51 p. 122 On calcule le quotient u n+1 u n et on montre qu il est égal à une constante. Montrer que la suite (u n ) définie sur N par u n = 2n+1 est géométrique. 32n Pour tout entier n de N : u n+1 u n = 2 n+2 3 2(n+1) 2 n+1 3 2n = 2n+2 32n 32n+2 2 n+1 = 2n+2 n 1 3 2n+2 2n = 2 3 2 = 2 9. Donc(u n ) est une suite géométrique de raison 2 9. MÉTHODE 9 Démontrer qu une suite n est pas géométrique Ex. 53 p. 122 On utilise un contre-exemple pour démontrer qu une suite n est pas géométrique. On calcule deux quotients de termes consécutifs et on montre qu ils ne sont pas égaux. { u 1 = 1 La suite définie par u n+1 = u n 2n pour n 1 est-elle géométrique? On calcule les trois premiers termes. u 1 = 1, u 2 = u 1 2 1 = 2, u 3 = u 2 2 2 = 8. Puis on calcule les quotients : u 2 = 2 et u 3 = 8 u 1 u 2 2 = 4 donc u 3 = u 2. u 2 u 1 On en déduit que la suite(u n ) n est pas géométrique. Chapitre A5. Notion de suite 115
THÉORÈME : Forme explicite d une suite géométrique Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, alors pour tout entier naturel n on a : u n = u 0 q n. Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, alors pour tous entiers naturels n et k on a : u n = u k q n k. PREUVE Par définition, on sait que pour tout entier naturel n, on a u n = qu n. Donc u 1 = qu 0, u 2 = qu 1, u 3 = qu 2,..., u n = qu n 1. On multiplie membre à membre et on obtient : u 1 u 2... u n 1 u n = q n u 0 u 1... u n 1 On divise de chaque côté par le terme u 1 u 2... u n 1 et on obtient u n = u 0 q n. Soient deux nombres entiers naturels n et k. Comme q = 0, en écrivant la propriété précédente pour k, on obtient : D autre part, u n = u 0 q n. Donc en utilisant l égalité (1) : u k = u 0 q k u 0 = u k q k. (1) u n = u k q k qn donc u n = u k q n k. MÉTHODE 10 Déterminer la forme explicite d une suite géométrique Ex. 54 p. 122 1) Soit la suite géométrique(u n ) de premier terme u 0 = 1 et de raison 2. Déterminer sa forme explicite. 2) Soit la suite géométrique(u n ) telle que u 4 = 21 et de raison 3. Déterminer sa forme explicite. 1) u n = 2 2 n = 2 n+1 2) u n = u 4 q n 4 = 2 3 n 4 PROPRIÉTÉ : Somme des n+1 premières puissances d un réel q non nul et q = 1 Pour tout réel q non nul et différent de 1, n q k =1+q+...+ q n = 1 qn+1 k=0 1 q. de 1 : PREUVE On écrit la somme des n+ 1 premières puissances d un réel q non nul et différent S = 1+q+...+ q n (1) On multiplie S par q et on obtient qs = q+ q 2 +...+ q n+1. (2) On soustrait membre à membre les équations (1) et (2), donc on obtient : (1 q) S = 1 q n+1, c est-à-dire S = 1 qn+1 (1 q). 116 Chapitre A5. Notion de suite