Électronique September 7, 2017
1 2 3 4
Hypothèses On considère un électron d un milieu conducteur. Il subit les forces : Poids négligé : m g 0 Force électrique : e E Force magnétique négligée : e v B 0 Force exercée par l environnement assimilée à une force de frottement fluide : h v L équation différentielle du mouvement est : m d v dt = e E h v Le référentiel du conducteur est supposé galiléen.
Mouvement On pose τ = m/h, l équation différentielle est donc : d v dt + v τ = e m v La solution générale est de la forme v g = Aexp t, la solution τ particulière v p = eτ E. m Avec les conditions initiales, on trouve l expression suivante : v = ( v 0 + eτ E m ) ( exp t ) eτ E τ m
Régime permanent Au bout de quelques τ, on peut considérer que exp t/τ 0. Le régime est indépendant du temps et la vitesse de l électron est proportionnelle au champ électrique : v = eτ m E Par définition, la densité volumique de courant est : j = ne v où n est la densité volumique de particules chargée mobiles par unité de volume du conducteur. On a donc : j est en A m 2 et que i = j d S S
La densité de courant j est proportionnelle au champ électrique E : locale : j = γ E = ne2 τ m E où γ en Ω 1 m 1 est la conductivité électrique du conducteur. À cette loi locale, valable en tout point du conducteur, correspond une loi globale pour la totalité du conducteur : globale : u = Ri avec R = 1 l pour un conducteur de section S et de longueur γ S l. R en Ω est la résistance électrique du conducteur.
La puissance de la force électrique est : électrique P 1e = e E v En régime permanent, nous avons vu que v = eτ m E. La puissance fournie à un électron est donc proportionnelle au carré du champ électrique : P 1e = e2 τ m E 2 Si l on raisonne par unité de volume : p vol = ne2 τ E m 2 = γe 2 = j E = j 2 γ
Comme pour la, il y a une forme locale et une forme globale pour la loi de Joule : Loi de Joule locale : p vol = j E = γ E 2 = j 2 En calculant la puissance globale pour le conducteur de volume S l, on a : p Joule = ( j E)Sl = (El)(jS) γ Loi de Joule globale : p Joule = ui
moyenne La puissance instantanée est p(t) = u(t)i(t), très souvent seule la puissance moyenne est significative : Évolution quelconque : P moy = 1 t Évolution périodique : P moy = 1 T t0 + t t 0 t0 +T t 0 u(t)i(t)dt u(t)i(t)dt La puissance dans un conducteur ohmique en continu est : P = P moy = RI 2 = U2 R puisque i(t) = I et u(t) = U = RI t.
Résistance en régime sinusoïdal On considère la résistance R = 1/G alimentée par l intensité i(t) = I m cosωt, la puissance instantanée est p(t) = RI 2 m cos2 ωt. La puissance moyenne est donnée par : P moy = 1 T t0 +T t 0 p(t)dt = RI 2 m 1 t0 +T cos 2 ωtdt T t 0 Nous savons que la moyenne de la fonction cos 2 ωt est 1/2 : 1 t0 +T cos 2 ωtdt = 1 α0 +2π cos 2 (ωt)(ωdt) = 1 T t 0 2π α 0 2 P moy = R I2 m 2 = U2 m 2R = GU2 m 2 = RI2 eff = G U2 eff
Valeur efficace Son carré Seff 2 est la moyenne du carré de la grandeur instantanée s 2 (t) : S 2 eff = s 2 (t) = 1 t t0 + t t 0 s 2 (t)dt u(t) = U 0 +U m cos(ωt +ϕ) Tension efficace : U eff = U 2 0 + U2 1 2 Utile pour les calculs des valeurs moyennes 1 2 m v 2, 1 2 kx2, 1 2 Cu2, 1 2 Li2...
Grandeurs mesurées Contrôleur numérique Oscilloscope numérique mode DC U 0 average mode DC U 0 mode AC +DC U 2 0 + U2 1 2 average mode AC 0 RMS mode DC U 2 0 + U2 1 2 mode AC U 1 2 RMS mode AC U 1 2
Cas général en régime sinusoïdal Une impédance Z = R +jx = 1/Y, dont le module est Z = R 2 +X 2, est traversée par l intensité i(t) = I m cosωt. La tension à ses bornes est : u(t) = Z I m cos(ωt +ϕ) avec ϕ = arg u i = argz = arctan X R Avec U m = Z I m, la puissance moyenne dissipée est : P moy = 1 T t0 +T t 0 p(t)dt = U mi m T t0 +T t 0 cosωtcos(ωt +ϕ)dt P moy = U eff I eff cosϕ = R(Z)I 2 eff = R(Y)U2 eff
Électronique Il fournit en sortie une tension image du produit des deux tensions d entrée : u s (t) = ku e1 (t) u e2 (t) = u e1(t) u e2 (t) V 0 Le coefficient k - inverse d une tension - correspond à une tension V 0 = 10V pour le multiplieur très courant AD534. i 1 = 0 i 2 = 0 k i s 0 e 1 u s e2
Électronique On multiplie u e1 (t) = U m1 cosω 1 t et u e2 (t) = U m2 cosω 2 t : u s (t) u s (t) = U m1u m2 2V 0 u s (t) = U m1u m2 V 0 cosω 1 t cosω 2 t [cos(ω 1 +ω 2 )t +cos(ω 1 ω 2 )t] U m 0 π ω 2 2π ω 2 4π 4π ω 1 ω 2 t U m
Électronique On constate sur le graphique que la tension u s (t) issue du produit de signaux de pulsations ω 1 et ω 2 est bien la superposition d un signal haute fréquence correspondant à ω 1 +ω 2 et d un signal basse fréquence ω 1 ω 2 : u s (t) U m t U m
Électronique Conçu pour réaliser des opérations mathématiques courantes. ε V + i 0 V i + 0 - + µ 0 10 6 f 0 = ω0 2π 10Hz i s 0 Régime linéaire : u s = µε = µ(v + V ) = u s µ 0 1+j ω ω 0 ε Régime de saturation : u s = +V sat et u s = V sat pour ε > 0resp. < 0.
Électronique u s V sat Saturation Régime linéaire ε Saturation V sat Régime linéaire : u s = µε avec µ 1 autorise à considérer ε 0. Régime de saturation : u s = +V sat pour ε > 0 et u s = V sat pour ε < 0.
Électronique R 2 R 1 - u 1 u 2 R 1 R 2 + u s Montage soustracteur en régime linéaire : u s = R 2 R 1 (u 2 u 1 )
Électronique u e R C Montage intégrateur en régime linéaire : En notation fréquentielle : u s = 1 jrcω u e En notation temporelle : u s (t) = 1 u e (t)dt RC - + u s
Électronique Absence de rétroaction entre la sortie et les entrées + et. u 2 ε u 1 - + u s Montage comparateur simple en régime : Saturation haute 1 : u 1 > u 2, ε > 0 et u s = +V sat Saturation basse 0 : u 1 < u 2, ε < 0 et u s = V sat
i Les deux modèles initiaux i d u d i = i 0 expα(u U seuil ) 0 Interrupteur ouvert U seuil 0,7V i = G dyn (u U seuil ) u
i d Modèle simplifié avec seuil i d u d ud = Useuil id > 0 i d = i 0 expα(u d U seuil ) 0 Interrupteur ouvert U seuil 0,7V u d
i d Interrupteur fermé ud = 0 id > 0 i d u d Modèle idéal Interrupteur ouvert i d = 0 u d < 0 0 U seuil 0,7V i d = i 0 exp(u d U seuil ) u d