CIRCUITS RC EN RÉGIME SINUSOÏDAL

CACHAN Geii- MODULE CIRCUITS RC EN RÉGIME SINUSOÏDAL En électronique traditionnelle seulement trois composants prévalent à la réalisation de circuits linéaires : la résistance R, le condensateur C et la self-inductance L. Dans son acception idéale la résistance présente un comportement indépendant de la fréquence alors que les deux autres présentent respectivement une impédance décroissante et croissante avec la fréquence. Ce TP a pour objectif d étudier le rôle du condensateur dans un circuit électronique. Trois fonctions principales sont dévolues à ce composant : la fonction de liaison ; la fonction de découplage ; la fonction de filtrage. Les deux premières fonctions ressortissent à un usage qui, moyennant certaines hypothèses, est extrêmement dichotomique : le condensateur interdit le passage du courant continu et laisse totalement passer le courant alternatif. Ce sont ces fonctions, et leurs hypothèses associées, que nous allons étudier. Le troisième fonction sera étudiée dans le cadre simple des circuits du premier ordre et permettra l introduction de la réponse harmonique d un circuit à l aide du diagramme de Bode. Avertissement : avant d effectuer ce TP en laboratoire, il est impératif de l étudier complètement et de revoir les notions de calcul d'une impédance complexe et les propriétés des logarithmes. Matériel : condensateur de 0 nf, résistances de : kω (*), 0 kω, 0 kω (*), alimentation triple, générateur de fonctions. Sommaire I : circuits RC du premier ordre... - circuit passe-bas... - circuit passe-haut... 3 3 - condensateur de liaison... 4 4 - condensateur de découplage... 4 II : Manipulation... 6 - Condensateur de liaison (fig. )... 6 - Condensateur de découplage (fig. )... 6 - Passe bas du ordre (fig. 3).... 7 - Passe haut du ordre (fig.4).... 7 III : Annexes... 8 - Annexe : gain en tension, décibels (db)... 8 - Annexe : échelles logarithmiques... 8 3 - Annexe 3: diagramme de Bode, asymptotes...0 IUT Cachan - Geii électronique module J. Beau, Septembre 000

I : circuits RC du premier ordre - circuit passe-bas Le schéma d étude est celui de la figure ci-dessous. Les grandeurs indiquées sur le schéma correspondent aux amplitudes complexes associées aux grandeurs temporelles. forme temporelle représentation complexe amplitude complexe ( t) E Ve cos e V E V e jt s s ( + ϕ ) U V cos s t jt ϕ jϕ jt U V e s V e e u V s e + jϕ s e i R C Le circuit correspond à un pont diviseur avec les impédances R et /jc. La tension de sortie complexe s écrit : / jc H, avec R + / jc + jrc + jx X et c πf c ; fc est appelée la c RC fréquence de coupure et correspond à la fréquence pour laquelle les deux impédances ont des modules égaux ; X représente une normalisation de la fréquence et est sans dimension. L expression complexe de H, appelée fonction de transfert du filtre, permet de donner deux grandeurs accessibles à l expérience : le gain qui correspond au module de H, A v H + X la phase qui correspond à l argument de H, ϕ Arctg( X ) a - fonction de transfert en échelles linéaires La variable X correspond à une normalisation de la fréquence qui généralise les résultats à un filtre passe bas quelconque. Les figures ci-dessous donnent les graphes A v et ϕ caractérisant la fonction de transfert d un filtre passe bas. amplitude de la fonction de transfert u phase de la fonction de transfert Ce mode de représentation utilisant des échelles linéaires pour l amplitude, la phase et la fréquence (ou sa normalisation) pour les variables dépendantes et indépendante est d un usage assez rare en électronique car elle ne permet pas de «voir» les détails avec la même précision tout Les grandeurs complexes sont des quantités associées aux représentations temporelles et n ont aucune réalité dans notre monde et ne sont donc pas accessibles à la mesure. Seules les grandeurs réelles (le module et la phase) sont susceptibles d être mesurées, visualisées, etc. IUT Cachan - Geii électronique module J. Beau, Septembre 000

3 au long de l échelle des fréquences. On lui préfère généralement une représentation logarithmique : les diagrammes de Bode. b - diagrammes de Bode La représentation la plus classiques est celle des diagrammes de Bode. L amplitude de la fonction de transfert est en db (voir annexe ), celle de la phase reste linéaire en radians et l axe des fréquences est logarithmique. amplitude de la fonction de transfert phase de la fonction de transfert Parmi les résultats remarquables on note : pour X, l amplitude est de -3 db ( 0. 7 ) et la phase de -π/4, nous sommes à la fréquence de coupure ; pour X 0, l amplitude tend vers 0 db ( en échelle linéaire), nous sommes dans la zone de la bande passante ; pour X, l amplitude tend vers - db (0 en échelle linéaire), nous sommes dans la zone de la bande atténuée. Ces caractéristiques, comme la courbe amplitude, justifient le nom de passe-bas donné à ces types de filtres (LP pour Low Pass en anglais) - circuit passe-haut Par rapport au passe-bas les deux composants sont permutés et le schéma d étude est celui de la figure ci-dessous. Les grandeurs utilisées sont les mêmes que pour le précédent.. Le circuit correspond à un pont diviseur avec les impédances R et /jc. La tension de sortie complexe s écrit : C i R jrc jx H, R u R + / jc + jrc + jx e avec X et c πf c. RC L expression complexe de H, la fonction de transfert du filtre, permet de calculer deux grandeurs accessibles à l expérience : le gain qui correspond au module de H, X A v H + X la phase qui correspond à l argument de H, ϕ ( X ) π Arctg c IUT Cachan - Geii électronique module J. Beau, Septembre 000

4 Nous ne donnerons ici que la représentation la plus classique qui est celle des diagrammes de Bode représentée ci-dessous. L amplitude de la fonction de transfert est en db, celle de la phase reste linéaire en radians et l axe des fréquences est logarithmique. amplitude de la fonction de transfert phase de la fonction de transfert Parmi les résultats remarquables on note : pour X, l amplitude est de -3 db, comme pour le passe-bas,et la phase de +π/4, nous sommes à la fréquence de coupure ; on garde ici le nom de fréquence de coupure bien que ce soit celle à partir de laquelle le filtre devient passant, en fait il coupe au dessous de cette fréquence ; pour X 0, l amplitude tend vers - db (0 en échelle linéaire), nous sommes dans la zone de la bande atténuée ; pour X, l amplitude tend vers 0 db ( en échelle linéaire), nous sommes dans la zone de la bande passante Ces caractéristiques, comme la courbe amplitude justifient le nom de passe-haut donné à ces types de filtres (HP pour High Pass en anglais). 3 - condensateur de liaison Le circuit de départ est celui de la figure ( II- partie manipulation). Pour déterminer un schéma équivalent il faut considérer qu en alternatif le point Vcc (l alimentation classiquement) est virtuellement la masse (revoir les TD sur les schémas équivalents en alternatif) ; en outre la résistance interne du générateur peut être négligée. Dans ces conditions les deux résistances sont en parallèle et équivalentes à une résistance R 0 kω. En outre, on peut légitimement négliger la résistance interne du générateur. Dans ces conditions le schéma devient exactement celui du I- définissant le filtre passe haut et tous les résultats relatifs à ce dispositif sont applicables. 4 - condensateur de découplage Le circuit de départ est celui de la figure ( II- partie manipulation). Là aussi on peut négliger la résistance interne du générateur ce qui conduit au schéma équivalent ci-contre. Les grandes lignes du calcul de H sont données ci-dessous mais l on ne Vs e saurait trop vous conseiller de les refaire en détail. e R C R R 3 V s H z z + R avec z R R + R3 R + R + R 3 R3 + soit + jr C RR3 + j C R + R3 ( R + R ) R3 + j C R + R + R 3 3. IUT Cachan - Geii électronique module J. Beau, Septembre 000

5 Cette forme peut être simplifiée en notant que la première fraction, sans dimension, correspond à un gain statique, soit α sa valeur, et que les coefficient de jc dans la seconde fraction sont homogènes à des résistances soit R a et R b ces valeurs. L expression précédente peut alors être mise sous la forme plus simple et donc explicite : + j a H α aveca et b.en outre, avec les valeurs proposées on peut + j RaC RbC b vérifier que b < a et le tracé du module de la fonction de transfert correspond au diagramme ci-dessous. La lecture de cette courbe montre qu il y a trois zones : << b, ou plus simplement 0, le condensateur présente une impédance infinie (équivalent à un circuit ouvert) et la seconde résistance du pont diviseur est R + R 3 ; b < < a ou plutôt la zone de transition, et la forme complète doit être utilisée ; a <, ou plus simplement et, le condensateur présente une impédance nulle (équivalent à un court circuit) et la seconde résistance du pont diviseur est R ; IUT Cachan - Geii électronique module J. Beau, Septembre 000

6 - Condensateur de liaison (fig. ) Vo + V sin πft max ( ) II : Manipulation Avec les valeurs des éléments et la structure de la figure déterminez le type de filtre mis en jeu et calculez sa fréquence de coupure ; soit Fc cette valeur. En fonction de cette valeur et moyennant des approximations que vous justifierez effectuez les mesures suivantes. Ces mesures doivent être effectuées, certes avec soin, mais aussi assez rapidement en fonction des objectifs visés ; en particulier dans le cas où il faut faire varier une grandeur.. V o -V, V max V, f 30 khz et V cc 5 V. Visualisez la tension aux bornes de la résistance R et interprétez.. V max V, f 30 khz et V cc 5 V. Visualisez la tension aux bornes de R pour -5V < V o < +5 V et interprétez. 3. V o -V, f 30 khz et V cc 5 V. Visualisez la tension aux bornes de R pour 0 < V max < +5V et interprétez. 4. V o -V, V max V et f 30 khz. Visualisez la tension aux bornes de R pour V < V cc < 8V et interprétez. 5. V o -V, V max V et V cc 5 V. Visualisez rapidement (sans faire de mesure numériques sauf pour des fréquences particulières judicieusement choisies) la tension aux bornes de la résistance R pour f variant dans une large bande de fréquence et interprétez. 6. A partir de toutes ces analyses, concluez sur le rôle d'un condensateur de liaison et la façon de le choisir. - Condensateur de découplage (fig. ). Vo + V max sin ( πft). V o +4 V, V max V et f 30 khz. Visualisez la tension de sortie V s et interprétez.. V max V et f 30 khz. 0 < V o < +5V. Visualisez la tension de sortie V s et interprétez. 3. V o +4 V et f 30 khz. 0 < V max < 5V. Visualisez la tension de sortie V s et interprétez. 4. V o +4 V, V max V. Visualisez la tension de sortie V s pour f variant dans une large bande de fréquence et interprétez. 5. A partir de toutes ces analyses, concluez sur le rôle d'un condensateur de découplage et la façon de le choisir. Vcc Rg50Ω C l 0nF R0kΩ Rg50Ω RkΩ RkΩ générateur de fonctions R0kΩ générateur de fonctions C d 0nF R30kΩ V s fig. fig. IUT Cachan - Geii électronique module J. Beau, Septembre 000

7 - Passe bas du ordre (fig. 3). ( πft) Vo + V sin avec V max V. max. Faites varier la fréquence f dans une large bande de fréquence et visualisez la tension Vs aux bornes de C. Justifiez qualitativement les résultats obtenus ainsi le terme de «passe bas». Vérifiez que pour f << khz, le "gain" Vs du filtre est de. 3. Mesurez précisément la fréquence de coupure "à -3dB" f c, pour laquelle Vs. Mesurez alors le déphasage entre l entrée et la sortie. 4. Représentez précisément, lorsque f varie de 00 Hz à 00 khz, le diagramme de Bode (voir annexe) : amplitude en décibels (0log Vs en fonction de la fréquence (en échelle log) déphasage de V s par rapport à E g en fonction de la fréquence (en échelle log) 5. Tracez les asymptotes relatives à ce diagramme de Bode : lorsque f << f c et lorsque f >> f c. Indiquez les écarts entre le diagramme asymptotique et le diagramme réel. Comparez à la théorie. Quelle est votre opinion sur la manière de mesurer une fréquence de coupure? - Passe haut du ordre (fig.4). Vo + V sin πft avec V max V. max ( ). Faire varier la fréquence f dans une large bande de fréquence et visualisez la tension V s aux bornes de C. Justifiez qualitativement les résultats obtenus ainsi le terme de "passe haut ".. Vérifiez que pour f >> khz le "gain" Vs du filtre est de. 3. Mesurez précisément la fréquence de coupure "à -3 db" f c, pour laquelle Vs. Mesurez alors le déphasage entre l entrée et la sortie. 4. Représentez précisément, lorsque f varie de 00 Hz à00 khz, le diagramme de Bode (voir annexe) : amplitude en décibels (0log Vs en fonction de la fréquence (en échelle log) déphasage de V s par rapport à E g en fonction de la fréquence (en échelle log) 5. Tracez les asymptotes relatives à ce diagramme de Bode : lorsque f << fc et lorsque f >> fc. Indiquez les écarts entre le diagramme asymptotique ( annexe) et le diagramme réel. Comparez à la théorie. Quelle est votre opinion sur la manière de mesurer une fréquence de coupure? Rg50Ω R0kΩ Rg50Ω C0nF générateur de fonctions C0nF V s générateur de fonctions R0kΩ V s fig. 3 fig. 4 IUT Cachan - Geii électronique module J. Beau, Septembre 000

8 III : Annexes - Annexe : gain en tension, décibels (db) V e circuit linéaire V s Pour un dispositif linéaire, si Ve Ve 0 sin( t) et Vs Vs0 sin( t + ϕ ) sont respectivement la tension à l entrée et à la sortie, on définit le gain en tension par A v Vso et ce même gain exprimé en décibel (db) par : V eo A vdb V so 0log. V eo La relation précédente est généralement utilisée avec les diagrammes de Bode et lorsque les gains sont exprimés en db. Cependant il est important de revenir à la définition du db pour bien utiliser cette notion de db dans tous les cas. Information Le décibel (db) est la dixième partie du Bel. Ce n est pas une unité de mesure mais un moyen de représenter des rapports, généralement sans dimension et pouvant varier dans de grandes proportions, en utilisant une échelle logarithmique. La définition du G 0log P décibel s applique au rapport de deux puissances et est donnée par G 0log. P Dans l hypothèse où les puissance sont de nature électrique développées par des tension V sur des résistances R la formule de définition peut s écrire, pour des grandeurs sinusoïdales et avec V P : R P V R V R V R 0log 0log + 0log 0log + 0log P R V V R V R et en faisant R R on retrouve la relation simplifiée précédente. Un intérêt supplémentaire à l utilisation des db (soit une échelle logarithmique supra) réside dans la simplicité offerte pour la détermination d une cascade d éléments. Dans ce cas la fonction de transfert globale est le produit des fonctions de transfert des divers éléments, c est à dire une somme en coordonnées logarithmiques. - Annexe : échelles logarithmiques a - échelles semi-log Les graphiques peuvent se tracer sur divers types de papier permettant des représentations diverses en fonction des objectifs choisis. est représentée ci-dessus avec une échelle linéaire pour l une des variables, disons ici Y, et avec une échelle logarithmique pour l autre X. La courbe de la fonction Y f ( X ) C est souvent le cas en électronique où l on peut, par exemple dans l étude des propriétés d un filtre, avoir à mesurer une tension de sortie dans la bande passante d un dispositif (quelques volts) et aussi dans la bande atténuée pour vérifier la qualité de la rejection (quelques µv). IUT Cachan - Geii électronique module J. Beau, Septembre 000

9 Y échelle linéaire 0-0. 3 4 5 6 7 89 0 X échelle logarithmique En électronique, X est souvent une fréquence et Y la variable dépendante, par exemple un gain. L intérêt d une telle représentation est liée aux propriétés des logarithmes qui effectuent une compression de la grandeur d autant plus importante que sa valeur est élevée. C est une opération analogue à celle effectuée par l usage des db, mais dans le domaine des fréquences en permettant l examen d une grandeur dans une très large gamme de fréquence. On peut prendre un exemple musical. L information qui nous importe est la même que l on se trouve dans une octave ou une autre, c est la même «importance/différence» que l on trouve entre un La 440 et le Si bémol qui le suit (un rapport de ) qu entre le La 880 et le Si bémol qui le suit. Il s en suit que les éléments importants se répartissent selon une suite géométrique ; pour linéariser cette progression, et donc pouvoir effectuer un examen identique tout au long du domaine, le logarithme convient parfaitement. b - échelles log-log Dans l hypothèse où la grandeur Y serait exprimée en db, alors les deux échelles, bien que représentées sur du papier semi-log, seraient en fait en échelles log pour X et log pour Y : soit en échelles log-log. L intérêt des échelles log log est liée à la linéarisation de la représentation des fonctions puissances comme celles que l on rencontre dans le filtrage. Le module de la fonction de transfert (le gain) d un filtre de Butterworth 3 est donnée par : H ( j ), avec x n + x choisir trois cas particuliers : c et n l ordre du filtre. Pour la détermination de H nous pouvons x <<, cela correspond, dans le cas d un passe-bas, à une fréquence de travail faible devant la fréquence de coupure, donc à une zone correspondant à la bande passante. L expression de H devient H ( j) ; dans ce cas H est une constante égale à ; c est la valeur asymptoti- 0 que de la fonction en basse fréquence ; x, cela correspond strictement à la fréquence de coupure et l on trouve une atténuation : H ( j) 0. 707, soit -3 db ; + x >>, cela correspond, dans le cas d un passe-bas, à une fréquence de travail grande devant la fréquence de coupure, donc à une zone correspondant à la bande atténuée. Nous nous trouvons dans la zone asymptotique des hautes fréquences. L expression de H devient alors n H ( j ) x ; dans ce cas H varie polynômialement avec x selon le degré de n. En 0 n x n log H log x nlog x qui montre que prenant le logarithme de cette expression on obtient ( ) ( ) 3 Les filtres seront étudiés plus tard. Un filtre de Butterworth correspond à un type de filtre qui présente, dans la bande passante, une réponse relativement plate et, dans la bande atténuée, une faculté de réjection liée à l ordre n du filtre. IUT Cachan - Geii électronique module J. Beau, Septembre 000

0 la courbe décrivant cette expression devient en représentation log-log une droite de pente n. Remplacer des fonctions polynômes par des droites dans les caractérisations graphiques de filtres constitue un des intérêts majeurs des diagrammes de Bode : la représentation asymptotique. 3 - Annexe 3: diagramme de Bode, asymptotes À titre d exemple vous trouverez ci-dessous le diagramme de Bode (réponse exacte et réponse asymptotique) pour la réponse d un circuit passe bas du premier ordre. En ordonnées le gain est exprimé en db (donc dans une échelle logarithmique) et en abscisses la fréquence est placée sur une échelle logarithmique. Au lieu de la fréquence absolue, on a placé ici la grandeur relative normalisée : X. c Dans le diagramme de Bode, pour le gain les ordonnées sont en db et pour la phase en degrés ; on utilise aussi les radians qui sont une mesure plus mathématique des angles (des phases) et prêtent moins à des confusions asymptote pour x 0 asymptote pour x La courbe présente des asymptote (voir précédent) pour x tendant vers zéro et l infini. Elles se coupent en X, à la fréquence de coupure. De nombreuses études peuvent être effectuées directement à partir du diagramme asymptotique. En particulier, dans la mise en cascade d éléments la composition des diagrammes asymptotique est particulièrement aisée. Pour une meilleure précision les valeurs ci-dessous tabulent les valeurs de l amplitude de la fonction de transfert du passe bas. p X p H H en db IUT Cachan - Geii électronique module J. Beau, Septembre 000